Apostila Estado Duplo de Tensão

ESTADO DUPLO DE TENSÃO:\n\nN\nMt\n\nELEMENTO EM ESTADO DUPLO DE TENSÃO\n\nσ = SIGMA = COMPONENTE NORMAL DA TENSÃO\nτ = TÁU = COMPONENTE TANGENCIAL DA TENSÃO\nσc = σ + τ\ntc = σ + τ\n A. σ = N = FORÇA NORMAL\nA. τ = Q = FORÇA CORTANTE\n\nFazendo: ∑ MA = 0 , Temos\nτy.ds.cosα.t.ds.senα/2 - τx.ds.senα.ds.cosα/2 = 0 simplificando:\nτy = τx\n\nFazendo: ∑ Fv = 0\n∑ Fu = 0 , Temos: ∑ FV = 0\nσ = σx cos²α + σy sen²α + 2τx senα cosα\n\n∑ Fu = 0\nτ = (σy - σx) senα cosα + τx (cos²α - sen²α)\n\nAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS ACIMA POSSUEM PONTOS DE VALOR MÁXIMO E MÍNIMO, DETERMINANDO ESTES PONTOS TEMOS:\n\nA) σ\n\nVALOR NO PONTO DE MÁXIMO: σ1\nσ1 = (σy + σx)/2 + √((σy - σx)²/2) + τx²\n\nVALOR NO PONTO DE MÍNIMO: σ2\nσ2 = (σy + σx)/2 - √((σy - σx)²/2) + τx²\n\nB) τ\n\nVALOR NO PONTO DE MÁXIMO: τMAX\nτMAX = √((σy - σx)²/2) + τx²\n\nVALOR NO PONTO DE MÍNIMO: τMIN\nτMIN = -√((σy - σx)²/2) + τx²\n\nσ1 ; σ2 ; τMAX ; τMIN SÃO AS TENSÕES COMBINADAS OU TENSÕES PRINCIPAIS α1 ⇒ POSIÇÃO ONDE OCORRE σ1\nα2 ⇒ POSIÇÃO ONDE OCORRE σ2\nα1' ⇒ POSIÇÃO ONDE OCORRE τMAX\nα2' ⇒ POSIÇÃO ONDE OCORRE τMIN\n\nTANGα1 = (σx - σ1)/τx\nTANGα2 = (σx - σ2)/τx\n\n|α1| + |α2| = 90° = π/2\n\nα1 - α1' = 45° = π/4\n\nα2 - α2' = 45° = π/4 PROBLEMA:\n\nUma força horizontal P de 670 N é aplicada à extremidade D da alavanca ABD. Determinar: (a) as tensões normal e de cisalhamento em um cubo elementar situado no ponto H, com lados paralelos aos eixos x e y; (b) as tensões principais. Solução: Substituímos a força P por um sistema de momentos e força cortante aplicado no ponto C, centroide da seção transversal que contém o ponto H\n\nP= 670N\nT = (670 N)(0,45 m)= 301,5 N m\nMx=(670N)(0,25m) = 167,5Nm\ny\nP = 670 N\nT = 301,5 N · m\n\n z x\n\nM_x = 167, N · m (a) Tensões\n\nτ_Q = Q_t / A = 670 / (0,03 π/4) = 94785 N / m² = 0,95 MPa (Despresível)\n\nτ_MF = M_T / J_P · r = M_T / W_T = 301,5 / (0,2 · 0,03³) = 55,8 MPa\n\nσ_MF = M_F / J · y = M_F / W_F = 167,5 / (0,1 · 0,03³) = 62,04 MPa\n\nσ_y ↑\n\nσ_x ↑ τ_x\n\nσ_y\n\nσ_y\n\nσ_x\n\nσ_y\n\nσ_C\n\nσ_t\n\nα\n\nt τ_y\n\nσ_x\n\nτ_y\n\nσ_x\n\nσ_y\n\nσ_y\n\nσ_x b) tensões principais\n\nσ_1 = (σ_y + σ_x) / 2 + √((σ_y − σ_x)² / 4 + τ_x²)\n\nσ_2 = (σ_y + σ_x) / 2 − √((σ_y − σ_x)² / 4 + τ_x²)\n\nτ_MAX = (σ_y − σ_x) / 2 + τ_x²\n\nτ_MIN = −√((σ_y − σ_x)² / 2 + τ_x²)\n\nσ_MAX · σ_MIN =\n\nσ_1 = (0 + 62,04) / 2 ± √((0 − 62,04)² / 2 + (55,8)²) = 31,02 ± 63,84 =\n\nσ_MAX = +94,86 σ_MIN = −32,82 MPa\n\nτ_MAX · τ_MIN = ±63,84 MPa\n\nTgα_1 = (62,04 − 94,86) / 55,8 = −0,588 ⇒ α_1 = −30,46° PROBLEMA 2:\nDada a barra circular abaixo, verificar se as tensões combinadas principais estão dentro dos valores admissíveis:\nN=10.000 kgf\nMF= 100.000 kgf.mm\nMT= 120.000 kgf.mm\nD = 50mm\nMaterial: σruptura= 60kgf/mm²\nCoeficiente de Seg.= 4\n\n(a) Tensões\nσN = N / A = 10.000 / (π * 50² / 4) = 5,09kgf/mm²\n\n\t\t\tσN\n\t\t\t\n\t\t\t\n\nτM = MI / Jp * r = MT / WT\n120.000 / (0,2 * 50³) = 4,8kgf/mm²