Capítulo 8 Estática e Mecânica dos Materiais

304 Estática e mecânica dos materiais Conceito de tensão 8.1 Introdução 8.2 Tensões nos elementos de uma estrutura 8.3 Carga axial e tensão normal 8.4 Tensão de cisalhamento 8.5 Tensões de armazenamento e compressão 8.6 Aplicação à análise e projeto de estruturas simples Projeto 8.8 Tensão em um plano oblíquo sob carregamento axial 8.9 Tensão sob condições gerais de carregamento Componentes de tensão 8.10 Considerações de projeto 8.1 Introdução O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas portadoras de carga. Tanto a análise quanto o projeto de uma dada estrutura envolvem a determinação das tensões e deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito de tensão. A Seção 8.2 apresentará o conceito de tensão em um elemento estrutural e mostrará como esta tensão pode ser determinada a partir da força nesse elemento. Você estudará sucessivamente as tensões normais em uma barra sob carga axial (Seção 8.3), as tensões de cisalhamento originadas pela aplicação de forças transversais equivalentes (Seção 8.4) e as tensões de esmagamento criadas por parafusos e pinos em barras por eles atravessadas (Seção 8.5). Esses vários conceitos serão aplicados na Seção 8.6 para a determinação das tensões nas barras de estrutura simples. Aspectos relacionados à noção de engenharia serão abordados na Seção 8.7. Na Seção 8.8, examinaremos novamente um elemento estrutural em axial e verificaremos que as tensões em um plano oblíquo naquela seção incluem também uma tensão de cisalhamento. Na Seção 8.9, o conceito de tensão será apresentado em seu estado mais geral, ou seja, presente em um ponto no corpo, sob condições mais generalizadas de carga, incluindo tensão térmica. A Seção 8.10 será dedicada às tensões de maior efeito no dimensionamento dos por conta de fatores como imperfeições no sistema de conexão e falhas ocorridas no passado — e às estratégias desenvolvidas para assegurar que tal estrutural feito em casos reais esteja seguro. 8.2 Tensões nos elementos de uma estrutura A força por unidade de área ou intensidade das forças distribuídas sobre uma determinada seção é chamada de tensão na seção e representa por meio da letra grega σ (sigma). A tensão na seção transversal de área de uma barra submetida a carga axial P (Fig. 8.1) é obtida dividindo o valor da carga P pela área A. σ = P/A (8.1) Utilizam-se um sinal positivo para indicar uma tensão de tração (barra tracionada) e um sinal negativo para indicar tensão de compressão (barra comprimida). Como nessa discussão são utilizadas as unidades métricas do Sistema Internacional (SI), com P expresso em newtons (N) e A em metros quadrados (m²), a tensão σ será expressa em N/m². Essa unidade é chamada de pascal (Pa). No entanto, considerando que o pascal é um valor extremamente pequeno, deverá, na prática, ser utilizadas múltiplas dessa unidade, ou seja, o quilopascal (kPa), o megapascal (MPa) e o gigapascal (GPa). Temos 1 kPa = 10³ Pa = 10² N/m² 1 MPa = 10⁶ Pa = 10⁵ N/m² 1 GPa = 10⁹ Pa = 10⁸ N/m² Capítulo 8 • Conceito de tensão 305 Quando são utilizadas as unidades inglesas, a força P geralmente é expressas em libras (lb) ou quilolibras (kips), e a área da seção transversal A, em polegadas quadradas (in²). A tensão σ será então expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi). 8.3 Carga axial e tensão normal A barra mostrada na Fig. 8.1 está sujeita a forças P e P' aplicadas nas extremidades. As forças estão dirigidas ao longo do eixo e, dizemos que a barra está sob carga axial. Um exemplo real de estrutura formada por barras sob carga axial é a ponte em treliça mostrada na Foto 8.1. Foto 8.1 Essa ponte em treliça é composta de barras simples que podem estar sob tração ou compressão. Como mostrado na Fig. 8.1(a), a força interna e a tensão correspondente são perpendiculares ao eixo da barra, e a tensão correspondente é descrita como tensão normal. Assim, a Eq. (8.1) nos dá a tensão normal em um elemento sob carga axial: σ = P / A (8.1) Devemos notar também que, na Eq. (8.1), σ é obtido dividindo a intensidade P da resultante das forças internas distribuídas sobre a seção transversal pela área A. da seção transversal. A tensão σ representa, portanto, o valor médio da tensão sobre a seção transversal e não a tensão em um ponto específico da seção transversal. Para determinarmos a tensão em um determinado ponto Q da seção transversal, devemos considerar uma pequena área ΔA (Fig. 8.2). Ao dividirmos 306 Estática e mecânica dos materiais Figura 8.3 Figura 8.4 A intensidade de ΔF por ΔA, obtemos o valor médio da tensão sobre ΔA. Ao aproximarmos ΔA de zero, obtemos a tensão no ponto Q: σ = lim ΔA→0 (ΔF / ΔA) (8.2) Em geral, o valor obtido para a tensão σ em um determinado ponto Q da seção é diferente do valor da tensão média determinada pela Eq. (8.1) e verificadoque e varia através da seção. Em uma barra achatada submetida a cargas concentradas P e P' iguais e de sentidos opostos (Fig. 8.3a), essa variação é pequena em uma região distante dos pontos de aplicação das cargas concentradas ( Fig. 8.3a ), mas é bastante significativa nas vizinhanças desses pontos ( Fig. 8.3b e c ). Pela Eq. (8.2), vê-se que a intensidade da resultante das forças internas distribuídas é ∫0A σdA = ∫0A (ΔF / ΔA)dA (8.3) Mas as condições de equilíbrio de cada uma das partes da barra mostrada na Fig. 8.3 exige que essa intensidade seja igual à intensidade P das cargas concentradas. Temos, portanto, ∫σ dA = ∫(ΔF / ΔA)dA (8.3) Isso significa que a resultante sob cada uma das superfícies de tensão na Fig. 8.3 deve ser igual à intensidade F das cargas. Essa, no entanto, é a única informação que o estática nos fornece em cada seção transversal das tensões normais nas várias seções da barra. A distribuição ideal de força em uma determinada seção é extremamente importante. Para saber mais sobre essa distribuição, a seção deveria considerar as características resultantes dos efeitos produzidos pela aplicação de cargas nas extremidades – assunto que será discutido no Cap. 10. Na prática, consideramos que a distribuição de tensões normais em uma barra sob carga axial é uniforme, exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das cargas 0 valor da tensão e então igual a σ e pode ser obtido pela Eq. (8.1). No entanto, devemos perceber que, quando assumimos uma distribuição uniforme das tensões na seção, ou seja, quando assumimos que as forças internas estão distribuídas uniformemente através da seção, segue-se da estática claramente que a resultante F das forças internas deve ser aplicada no centroide C (σ seja) da seção transversal( Fig. 8.4 ). Isso significa que uma distribuição uniforme de tensão se seguirá apenas se a linha de ação das cargas concentradas P e P' passar através do centroide da seção considerada (Fig. 8.5). Esse tipo de carregamento é chamado de carga centrada, e considerações que seguem aplicam-se a elementos de barra retos, encontrados em treliças e estruturas, conectados por pinos. No entanto, se um elemento de barra estiver exercendo axialmente por uma carga excêntrica como mostra a Fig. 8.6, percebemos que, pelas condições de equilíbrio da parte da barra mostrada na Fig 8.6b, que as forças internas em uma determinada seção devem ser equivalentes a uma Capítulo 8 • Conceito de tensão 307 força P aplicada no centroide da seção e um conjugado Mz cuja intensidade é dada pelo momento M = Pd A distribuição das forças e a distribuição correspondente das tensões não podem ser uniformes, assim como a distribuição de tensões não pode ser simétrica, como mostra a Fig. 83 Esse caso será discutido detalhadamente no Cap 11 8.4 Tensão de cisalhamento As forças internas e as tensões correspondentes discutidas nas Seções 82 e 83 eram normais à seção considerada Um tipo muito diferente de tensão é obtido quando forças transversas P e P são aplicadas a barra AB (Fig 87) Ao passarmos um corte na seção transversal C entre os pontos de aplicação das forças (Figs 8.8), obtemos o diagrama da parte AC mostrado na Figura a força de cisalhamento devem existir forças internas no plano de seção C que se valessem essas forças iguais a P E essas forças internas elementares dessa natureza dizem força de cisalhamento, e intensidade de Parversal braços T de cortante em função da seção Ao dividirmos a força cortante P pela área c=A da seção transversal, obtemos a tensão média de cisalhamento na seção Indicando a tensão de cisalhamento pela letra grega τ (tau), temos τ 𝑃𝑐𝑖𝑠𝑎 ±/𝐴 (8.4). Deve-se enfatizar que o valor obtido é um valor médio da tensão de cisalhamento sobre a seção toda Ao contrário do que dissemos antes para as tensões normais, a distribuição da tensão de cisalhamento por meio da seção não pode ser considerada uniforme. Conforme veremos no Cap 13, o valor real x da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo τ satisccessante, que pode ser muito maior do que a valor médio t aučio. As tensões de cisalhamento são encontradas geralmente em parafusos. parafusos pinos e rebites utilizadas para conectar vários elementos estruturais Figure 8.5 Figure 8.6 Figure 8.7 Figure 8.8 Digitalizado com CamScanner 308 Estática e mecânica dos materiais componentes de máquinas (Foto 82). Considere as duas placas A e B conectadas por um parafuso CD (Fig 89). Se as placas estivessem sujeitas as forças de tração de intensidade F, seriam desenvolvidas tensões na seção EC da tração. Desenhando os diagramas do parafuso e da parte localizada da plano EF (Fig 8.10), concluímos que uma força FP seria desenvolvida no P na seção e igual a F A tensão de cisalhamento média na seção de obtida C de acordo com a Eq (84), dividindo a força cortante P = Pela área F da seção transversal τ 𝑃𝑐𝑖𝑠𝑎 ±/𝐴 Podemos deste que o parafuso que acabamos de considerar encontra-se em cisalhamento simples No entanto, podem corret diferentes sítias de carga Por exemplo, se forem utilizadas chapas de ligamento C e D para conectar as placas A e B (Fig 811), o cisalhamento concentre-se na fusão li CD em cada um dos dois planos AK e LtU’E similarmente no parafuso FG). Dizemos que os parafusos estão na condição de cisalhamento ducio Para determinarmos a tensão de cisalhamento média em cada plano desenvolvemos os diagramas do corpo livre do parafuso li CD e a do parafuso F a força seções localizada entos dois planos e (FIG 8 12). Obtém-se duas F F em cada uma das seções é P/2 concluímos que a tensão cs media de cisalhamento é τ cisa = P/𝐴 ou F2/A (b τ𝑚𝑖𝑑=2𝐹/ 𝑋 Figura 811 Figura 812 Figura810 8.5 Tensão de esmagamento em conexões Parafusos pinos e rebites criam tensões ao longo da superfície de esmagamento. ou de contato nos elementos que eles conectam Para exemplo Digitalizado com CamScanner Capítulo 8 • Conceito de tensão 309 considere novamente as duas placas A e B conectadas por um parafuso CD que discutimos na seção anterior (Fig. 8.9). O parafuso exerce na placa A uma força P igual e oposta à força F exercida pela placa no parafuso (Fig. 8.13). A Figura representa a resultante das forças elementares distribuídas na superfície interna de um meio-cilindro de diâmetro d e de comprimento t igual à espessura da placa. Como a distribuição dessas forças e as tensões correspondentes são muito complicadas, utiliza-se, na prática, um valor médio σn para a tensão, chamada de tensão de esmagamento, obtido dividindo a carga P pela área do retângulo que representa a projeção do parafuso sobre a seção da placa (Fig. 8.14). Como essa área é igual a td, onde t é a espessura da placa, e d, o diâmetro do parafuso, temos σ𝑛 = 𝑃/𝑡𝑑 (8.7) 8.6 Aplicação da análise e projeto de estruturas simples Podemos agora determinar as tensões nos elementos e nas conexões de várias estruturas simples bidimensionais e, portanto, projetar essas estruturas. A estrutura mostrada na Fig. 8.15 foi projetada para suportar uma carga de 30 kN. Essa estrutura é composta de uma barra AB com uma seção transversal retangular de 30 x 50 mm e uma barra BC com uma seção transversal circular com diâmetro de 20 mm. As duas barras estão conectadas entre si, e o primeiro nó B em suportado por pinos em C e C, respectivamente. Nosso primeiro passo será desenhar um diagrama de corpo livre da estrutura, separando-a de seus suportes em C e C e mostrando as reações Figura 8.13 Figura 8.14 Figura 8.15 Digitalizado com CamScanner