Area e Integral Definida - Calculo de Area Sob Curvas

Seja u 02t² 4t 64 de modo que du 04t 4 dt 401t 1 dt ou Portanto Ct 00102t² 4t 6423 63 Área e a Integral Definida Uma Visão Intuitiva Suponha que a taxa anual de consumo de petróleo de certo estado durante um período de quatro anos seja constante dado pela função ft 12 0 t 4 onde t é medido em anos e ft em milhões de barris por ano Então o consumo total de petróleo desse estado durante o período em questão é 124 0 Taxa de consumo tempo transcorrido ou 48 milhões de barris Se você examinar o gráfico de f mostrado na Figura 5 verá que esse total é precisamente a área da região retangular limitada acima no gráfico de f abaixo pelo eixo t à esquerda e à direita pelas retas verticais t 0 o eixo y e t 4 respectivamente A Figura 6 mostra o consumo real de petróleo de um estado da Nova Inglaterra durante um período de quatro anos de 1990 t 0 a 1994 t 4 Observe que a taxa de consumo não é constante isto é a função f não é uma função constante Qual é o consumo de petróleo total do estado durante esse período de quatro anos Parece razoável conjecturar que tal consumo seja dado pela área da região limitada acima no gráfico de f abaixo pelo eixo t e à esquerda e à direita pelas retas verticais t 0 e t 4 respectivamente Esse exemplo levanta duas questões 1 O que é a área da região mostrada na Figura 6 2 Como calculamos essa área O Problema da Área O exemplo que acabamos de ver diz respeito ao segundo problema fundamental do cálculo calcular a área da região limitada pelo gráfico de uma função não negativa f o eixo x e as linhas verticais x a e x b onde a b veja a Figura 7 Essa área é chamada área sob o gráfico de f no intervalo a b ou de a a b Definindo Área Dois Exemplos Assim como usamos as declividades de retas secantes quantidades que podíamos calcular para nos ajudar a definir a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto adotaremos agora um procedimento paralelo e usaremos as áreas de retângulos quantidades que podemos calcular para nos ajudar a definir a área sob o gráfico de uma função Começamos examinando um exemplo específico EXEMPLO 1 Seja fx x² e considere a região R sob o gráfico de f no intervalo 0 1 Figura 8a Para obter uma aproximação da área de R construímos quatro retângulos não justapostos desconsiderando suas bordas da seguinte forma dividimos o intervalo 0 1 em quatro subintervalos 014 1412 1234 341 de mesmo comprimento 14 Em seguida construímos quatro retângulos com esses subintervalos como bases e com alturas dadas pelos valores da função nos pontos médios 18 38 58 78 de cada subintervalo Então cada um desses retângulos tem largura 14 e altura f18 f38 f58 f78 respectivamente Figura 8b Se aproximamos a área A de R pela soma das áreas dos quatro retângulos obtemos A 14 f18 14 f38 14 f58 14 f78 14 f18 f38 f58 f78 14 18² 38² 58² 78² 14 164 964 2564 4964 2164 Lembrese de que fx x² ou aproximadamente 0328125