Lista Calculo 1

1 2 3 4 5 6 Derivamos ambos os lados com respeito a x sec2xy2 1 y2 x 2yy 1 2x y 2y Juntando os termos envolvendo y para o mesmo lado sec2xy2 2xyy y 2y 1 2x sec2xy2 y2 Isolando y e simplificando y sec2xy2 2xy 1 2y 1 2xy2 sec2xy2 2x y 4xy32 sec2xy2 1 2y 1 2xy2 sec2xy2 2x Finalmente calculando y y y x 1 2xy2 sec2xy2 4xy32 sec2xy2 1 Derivamos ambos os lados com respeito a x seny x cosy y y cosx y senx y 1 yx 1 y 12 Isolando y e simplificando y x cosy cosx x 1 y 12 y senx seny y 1 y 12 y y senx senyy 12 y 1 x cosy cosxy 12 x 1 O coeficiente angular da reta tangente no ponto x 3 é mT dydx 3 f3 Derivando implicitamente a equação em relação à variável x obtemos 3y2 dydx 4xy 2x2 dydx 3 0 fazendo x 3 e y 1 temse 3 dydx 3 12 18 dydx 3 3 0 dydx 3 37 Portanto a equação da reta tangente de fx no ponto 31 é y 1 f3x 3 y 1 37 x 3 y 37 x 167 Sejam x xt o comprimento do lado do quadro no instante t e Ax x2 a área do quadro Pela hipótese sabemos que xt0 10 Temos que dxdt t0 02 cmmin Então a taxa de variação será ddt Axt0 dAdx xt0 dxdt t0 2 xt002 2002 4 cm2min Isto indica que a área do quadro tem um crescimento com uma taxa de variação de 4 cm2min no instante t t0 Temos que dxdt t0 04 cmmin Então a taxa de variação será ddt Axt0 dAdx xt0 dxdt t0 2 xt004 2004 8 cm2min Isto indica que a área do quadro tem um decrescimento com uma taxa de variação de 8 cm2min no instante t t0 Seja x xt o comprimento do cateto tal que xt0 10 e y yt o comprimento do cateto tal que yt0 12 Sabemos pelas hipóteses que dxdt t0 1 e dydt t0 2 Seja θt o ângulo oposto ao cateto yt então podemos relacionar as três funções na seguinte expressão tanθt yt xt Derivando em relação a t obtemos sec2θt dθdt t xt dydt t yt dxdt t xt2 No instante t0 temos que sec2θt0 1 tan2θt0 1 yt0xt02 1 12102 244100 Assim dθdt t0 102 121 244 861 Radmin Isto indica que o ângulo está diminuindo a uma taxa de variação de 861 Radmin 1 tanxy2 x y ddt tan t ddt sen t cos t cos2 t sen2 t cos2 t 1 cos2 t 1 cos2xy2 y2 2xyy 1 2x y 2y y 4xy cos2xy2 1 2y 1 2x 1 cos2xy2 y 4xy32 cos2xy2 2y cos2xy2 cos2xy2 2x 4x cos2xy2 y y x cos2xy2 2x 4xy32 cos2 xy2 y y x 1 2x sec2 xy2 4xy32 sec xy2 1 2 x sen y y cos x x1y1 sen y y x cos y y cos x y sen x y1 yx1 1y2 y x cos y cos x y sen x sen y y1 y x y 1y2 Temos que V 13 π r2 h Como 2r h para todo t então Vt 112 π ht3 Derivando com respeito ao t dVdt π4 h2 dhdt Substituindo dVdt 3 e h 3 obtemos 3 π4 9 dhdt ou que dhdt 43π mmin y x cos y cos x y x1 y12 y sen x sen y 1y1 y y12 x cos y cos x x1 y12 y sen x sen yy1 1 y1 y y sen x sen yy12 y1 y12 x cos y cos x x1 2 y3 2 y x2 3x10 0 x3y1 Por derivada implícita 3 y2 y 2 y x2 4xy 3 0 y 3 y2 2 x2 3 4xy y 3 4xy 2x2 3 y2 y31 3 4 x 3 2 9 3 1 9 21 3 7 y31 Δy Δx y y₀ y31 x x₀ y 1 3 7 x 3 7 y 7 3 x 9 3x 7y 16 1 Df 01 1 Assíntota vertical x 1 pois limx1 xlnx e limx1 xlnx Assíntotas horizontais não tem pois limx xlnx limx 11x limx x 2 Df R 0 Assíntota vertical x 0 pois limx0 e1x Assíntota horizontal y 1 pois limx e1x 1 3 Df 0 Assíntota vertical não tem pois limx0 x2 lnx limx0 lnx 1x2 limx0 1x 2x3 limx0 x2 0 Assíntota horizontal não tem pois limx x2 lnx 4 Df R Assíntota vertical não tem Assíntota horizontal y 0 limx x ex limx xex limx 1ex 0 5 Df R Assíntota vertical não tem Assíntota horizontal y 0 pois limx πx3 0 3 A xy dx dt 02 cmmin dy dt 02 cmmin 1 dAdt x dydt y dxdt 10 x 02 10 x 02 4 dAdt 4 cm2min 2 dxdt dydt 04 cmmin dAdt 10 04 10 04 8 cm2d