Augusto Cesar de O Morgado - Analise Combinatoria e Probabilidade p084-133

Cap 3 Outros Métodos de Contagem\n\nExemplo 3.14: Em um grupo de 40 pessoas, pelo menos 4 pessoas têm o mesmo signo.\n\nSolução: Como feito, colorindo cada prova (objeto) na gaveta da seguinte forma, temos 40 = 16 + 12. Logo, pelo menos uma gaveta contém 4 objetos.\n\nSe ainda outra formulação possível:\n\nSejam g gera-se m o número positivo dado. (Colocá-los em algum dia como as greves, a disposição, e eles não tornam-se a maior do que% como as combinações e sem flexões),\nExiba uma união para a maior que, e,\n\nProva: Se todos os aleatórios permitam parte deles.\n\nDaí, a1 > a2 + a2 < r \n\nmesmo em qual é uma combinação.\n\nEm suma, um mesmo aritmética de maneiras foi maior que tinha pelo menos um dos números d maior que.\n\nExemplo 3.15: Esses dados foram diversos, a relação de dados em dois lados a não ser.\n\nNo dado A há 1 no primeiro resultado e 100 setores com 20 barões.\nColocando o disco A e os dois entre os lados resulta que o assegura certo.\n\nAssim, o caso mencionou um pouco dura assim, então parece que 20 é em um extremo possível. Que é firme, é a esses. 1327 candidatados. 1330 é o mesmo que o número do problema na resposta.\nQual é. Cap 3\nCap 3\n\nmaior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira?\n3. Refira o problema anterior para a afirmação: \"Pelo menos 4 candidatos responderam de modo idêntico às primeiras questões da prova.\"\n4. Um ponto (x1, x2, x3) de R2 é interior se todas suas coordenadas são inteiras.\n\na) Considerar um conjunto de novos pontos inteiros de R3. Mostrar que o ponto x0 de algum dos segmentos que ligam esses pontos é ímpar.\nExiba um exemplo de um conjunto de novos pontos inteiros de R2 tais que nenhum dos pontos nulos dos segmentos que ligam esses pontos é ímpar.\n\n5. Qual é o número máximo de pessoas que podemos garantir que ele haja pelo menos $p$ pares tais que eles sejam os mesmos?\n\n6. Considere A = {1, 2, 3, ..., n} e b = {a1, a2, ..., ak}, e prove que se 1 for um elemento então ele não está em outro.\n\n7. Prove que não existem múltiplos que estejam na base, na base de qualquer conjunto de 15 elementos.\n\n8. O número de candidatos para um concurso é igual a 1327 num momento distintos não vistos.\n\n9. Prove que qualquer configuração das 1327 aulas lecionadas pode ser determinada como um ponto em qualquer momento com o perfil número 2.\n\n12. Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre x1, x2, x3, ..., x1 existe uma capa distância a algum inteiro n, incluindo 1.\n\n13. Um mestre de xadrez, preparando-se para um torneio, joga, durante uma semana, pelo menos uma partida por dia nas mais de duas partes.\n\n14. Seja um inteiro integral que 1 seja A uma matriz nxm e similar que toda cada linha A cada coluna A 6 matizada pelas linhas 1, ..., n.\n\n15. Prove que o conjunto {1, 2, 1978} é próprio de sub-conjunto, em algum dos sub-conjuntos existe elementos e agora igual a sob a dois elementos, não necessariamente diferentes, do mesmo sub-conjunto.\n 4. Números Binomiais\n\n4.1 O Triângulo de Pascal\n\nCaracterística do Triângulo de Pascal o quadro\n\nc0 = 1 \n1\nc1 = 1 c2 = 1 \n1 2 1\nc3 = 1 c4 = 6 1\n1 3 3 1\nc5 = 1 c6 = 10 5 1\n\nOu seja, conforme tudo considerando-se uma mesma linha observando elemento situado acima do último par.\n\nJustificativa: Consideremos um grupo formando por duas misturas entre p e homens. 0 número de modos de selecionar nesse grupo \n\n1\n\nComo o número total de subgrupos é soma do número de subgrupos dos quais a mulher participa como o número de subgrupos dos quais o homem não participa, temos:\n\nc_p^h = c_r^p + c_r^h.\n\nRepare que o triângulo de Pascal a linha i considera, ou seja, a linha em C_0,\n\nportanto C_-2 está na linha avançada em coluna reversa ao índice e obtendo na linha avançada em coluna basta os elementos da linha e que estão situados no plural equivalentes dois outros.\n\nAssim, por exemplo, a complementaridade de C_{r}^{c} é não.\n\nRelação de Combinações Complementares\n\nEntão, em uma mesma linha do triângulo de Pascal, elementos equivalentes nos extremos são iguais. 98 Números Binomiais\nCap 4\n\nJustificativa:\n\nc_n^{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = C_{n}^{r}. \n\nTeorema das Linhas:\n\nC^r_{p + 1} = C^r_p + C^{r - 1}_p ; C^{r + 1}_{p} = C^r_p + C^{r}_{p - 1}. \n\nAssim, a soma dos elementos da linha vale 2^n.\n\nExemplo 4.1: Qual é o valor da soma\n\nS = C^{1}_{1} + 2C^{2}_{2} + 3C^{3}_{3} + ... + nC^{n}_{n} ?\n\nSolução:\n\nS = Σ kC_k \n\nJustificativa: C^k_k é o número de subconjuntos com p elementos onde não foi escolhido A. Enfim C^{p + 1}_k + C^{p + 1}_{k - 1} é o número total de subconjuntos de A. Mas, para formar um subconjunto de A = {1,2,...n}, devemos marcar cada elemento de A como sim (indicando que o elemento foi escolhido para subjunto) ou não (indicando que o elemento não foi escolhido). Como o número dos modos de marcar os elementos é 2^k, podemos então usar o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos:\n\nC^r_{p + 1} + C^{r}_{p}\n\nTeorema das Colunas:\n\nC^p_{k + 1} + C^p_k + C^{p - 1}_k + C^{p - 1}_{k - 1} = C^{p + 1}_k.\n\nJustificativa: Aplicaremos a relação de Sículo aos elementos das(p) = C^n_{n - 1}. 96 Números Binomiais Cap 4 Como y1, (+1)2 el (n - p)1 são positivos, o sinal de Cn-1 - Cn-2 é o mesmo de – 1 - 2p. Logo,\n\n e\n\n Cn+1 - Cn+2 = n - 1 - 2p = 0\n ou seja,\n\n e\n\n Cn+2 - Cn = 1 - 2p.\n\n Justificativa: Teorema Cn+0 + Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+n = Cn+0 + Cn+1 + Cn+2 + Cn+3\n C = Cn+1\n\n usando sucessivamente Combinatórias Complementares, o Teorema das Colunas e Combinações Complementares. ⊠\n\n Teorema:\n\n Ck + 1\u200c = Ck + 1. Ck - 1 &gt; Ck.\n\n Justificativa:\n\n Cn+1 - Cn = n! [Y(w-y) - p(1-p)]\n\n f(w - p)\n = Cf(p-n)(n-p+1).\n\n f(w - p)\n = f(n - 1 - 2p)\n\n = p!\n\n ± 1\n 96 Números Binomiais Cap 4 Exercícios 1. Prove, fazendo as contas, a relação de Sítfel:\n\n (p + 1) (n1) + (p) (n) = 0\n supondo n um real qualquer e p inteiro não-negativo.\n\n 2. Prove, por um grosso analógico ao mesmo texto, para provar a relação de Sítfel, que\n\n Cn+1 - Cnk - Cn+2 = Cn + 2Ck-1 + Cnk.\n\n 3. Prove, fazendo as contas, que\n\n (p + 2) + (p + 1) + (n + 2).\n\n supondo n um real qualquer e p inteiro não-negativo. 4. Usando a relação de Sítfel, escreva as sete primeiras linhas do triângulo de Pascal.\n\n 5. Prove, usando um argumento combinatório, que Cn = Cn-* 7.\n\n 6. A partir de 512 subconjuntos, qual é a soma que se obtém para A7?\n\n 7. Determine um conjunto que possui exatamente 48 subconjuntos. 100 Números Binomiais Cap 4 21. Calcule o valor de\n\n S = C0 + C1 + C2 + ... + (–1)PCk \n\n 22. Têm-se uma rede de caminhos (figura 4.0). Do ponto A partem 20 homens. Medida para direita 1 medida à direita. Ao chegar ao primeiro cruzamento dirige-se à direita, uma metade segue na direção 'a' e outra vai à direita em O mesmo cruzeiro em cada cruzamento. Números a serem cruzados em cada linha a partir de 0, sendo 6 a zero, seis cruzamento da linha 2. Quantos homens chegam ao k-ésimo cruzamento da linha 2?\n\n 23. Prove que todo polinômio P(z) tem grau e pode ser escrito na forma.\n\n P(z) = A0 + A1z + A2z2 + ... + Akzk = (1 - p - 1).\n\n 24. Calcule o valor de S = \u2211k (2k - 1)2(k + 2). 26. Prove, a partir da Fórmula de Euler, a Fórmula de Lagrange (1736-1813)\n\n(c^k)+ (c^1)2^k + (C^2)3^k + ... + (C^n)n^k = \n\n27. Calcule o valor das somas\n\ns = c^1c^2 + c^2c^3 + ... + c^{n-1}c^n.\n\n28. Calcule ∑ (k^1)\n\n29. Determine p para que C^1_p seja máximo.\n\n30. Determine p para que C^2_p seja máximo.\n\n31. Resolva a equação C^2_1 = C^3_2.\n\n32. Resolva a equação C^2_{n - 1} = C^3_n.\n\n33. Prove que em cada coluna (exceto a coluna zero) os elementos do triângulo de Pascal estão em ordem crescente.\n\n34. O termo de Fibonacci F_n é definido como a soma dos elementos da n-ésima \"diagonal inversa\" do Triângulo de Pascal.\n\nF_0 = 1\nF_1 = 1\nF_2 = 2\nF_3 = 3\nF_4 = 5\nF_5 = 8.\n\n35. A é o conjunto {1,2,..., n} e p é um natural tal que 1 < p ≤ n.\n\na) Quantos são os p-subconjuntos de A, em cada um deles considerando o elemento mínimo do subconjunto. Quanto vale a média aritmética desses mínimos?\n\n36. Prove que\n\n(-1)^p = ({n - k} \n\n37. Para que valor de k,\n\n(2n - k) \n\n38. Calcule ∑ (n - k) (n ≥ k).\n\n39. Calcule ∑ (n - k) (n ≥ k).\n\n40. Prove, por indução, o Teorema das Diagonais. 4.2 O Binômio de Newton\n\nTeorema: Se x e y são números reais e n um inteiro positivo,\n\n(x + y)^n = ∑ (n k) x^k y^{n-k}.\n\nObserve que:\n\nii) O desenvolvimento de (x + y)^n nos dá 1 termo.\n\nii) Os coeficientes do desenvolvimento de (x + y)^n são os elementos da linha n do Triângulo de Pascal.\n\niii) Reservando os termos do desenvolvimento de forma ascendente (isto é, ordenados segundo indexações decrescentes de k), o termo do último é k + 1.\n\nProva: Temos\n\n(a + b)^n = (a + b)(a + b)(...)(a + b)\n\nCada termo do produto é obtido escolhendo-se em cada parte: a ou b, repetindo-se ao número de condições. Para cada valor de k, (0 ≤ k ≤ n), o número de termos a serem escolhidos.\n\nAssim, se encontrar um dos partícipes e, considerando m, a\n\n(b) parciais da última escolha, k está é,\n\ni.e. k = 0.\n\nExemplo 4.5: Observando para o triângulo de Pascal. Exemplo 4.6: Determine o coeficiente de x^2 no desenvolvimento de (x - 1)^6.\n\nSolução: O termo gerativo do desenvolvimento é\n\nT_n,k > T_1 (on xiga termo maior do anterior).\n\nisto é,\n\n\nt,\n\ni.e., 65 = (6 n - 6 - 6) k = 0, 0 por lei.\n\nA, \n\nisto é, 68 = (4 - 4)[(1 + 1)(6 - 6)-( 0 - 1)(1 - 1)n = 0 1....\n\nAssim, \n\nPa = T_1 > 0,\n\nSeguindo, este termo máximo (x + 1).\n\nResposta: (98).\n\nExemplo 4.9: Se na fórmula do mínimo temos x = a = 1, obtemos\n\n\[\n\sum \quad {\frac {n!}{n(n - x(n - k))} \equiv (x - k + 1)(1 + 1 - 1).\n\n\] b)\n \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} (-1)^{k} = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} (-1)^{k} (k+1)^{s} = 0,\ 0=1 + (-1)^{n+1} (n-1)!\\ 1. 2 . . . k \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} (k+1)^{s} (-1)^{k} (n-k) .1 .2. . 3 . . . k \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} k^{s} = 0 3. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de \\left( z +\\frac{1}{3} \\right)^{10}.\n4. Determine o coeficiente de x^{2} no desenvolvimento de \\left( 2 z + z^{2} \\right)^{12}.\n5. Determine o coeficiente de z^{2} no desenvolvimento de \\left( 2 +\\frac{1}{2} \\right)^{2}). \n6. Determine o coeficiente de z^{3} no desenvolvimento de \\left( z^{2} - 2 (z + 1)^{3} \\right).\n7. Para que valores de n, o desenvolvimento de \\left( x^{2} - 1 \\right)^{n} possui um termo independente de z? 12. Calcule \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}\ [2^{k}].\n13. Calcule \\sum_{k=1}^{5} k^{2} C_{n}^{k}.\n14. Determine o coeficiente de x^{6} no desenvolvimento de \\left( 2 z +\\frac{1}{3} \\right)^{5}.\n15. Calcule o valor da soma \\frac{C_{0}^{2}}{2} + \\frac{C_{1}^{3}}{20}.\n16. Prove que \\left( \\frac{2 + \\sqrt{3}}{n} \\right) é ímpar para todo n natural (Obs: | - | parte inteira).\n17. é um conjunto com k^{m} elemente e é um sub-conjunto. a) Quantos são os conjuntos X tais que D \\subseteq X ⊂ A? b) Quais são os pares ordenados (n, k) tais que X ⊂ C \\subseteq A? 4.3. Polinômio de Leibniz\nPodemos obter uma generalização da fórmula do binômio.\nTeorema:\n(a1 + a2 + ... + ap)^\n\n= Σ\n\nn! / (n1!n2!...np!) * a1^n1 a2^n2 ... ap^np \n\ncom n = n1 + n2 + ... + np, onde n1,n2,...,np são inteiros não-negativos tais que n1 + n2 + ... + np = n.\n\nProva:\n(a1 + a2 + ... + ap)^n = (a1 + a2 + ... + ap)(a1 + a2 + ... + ap)... (n vezes).\n\nExemplo 4.13: Calcule (x^2 + 2x - 1)^3\n\n... 8x^3 + 20x^2 + 8x - 8 + 1. □ Exemplo 4.14: Determine o coeficiente de x^4 no desdobramento de (x^2 + x + 2)^5.\n\nSolução:\n(x^2 + x + 2)^5 = Σ_{i=0}^5 (5 choose i) * (x^2)^i * (x)^j * (2)^k \nonde i + j + k = 5.\n\nPara que o expoente de x seja 4 devemos ter\n\n2i + j = 4.\n\nAs soluções são:\nα1 α2 α3 Termo\n0 4 1 60αx^4\n1 2 2 40α^2x^4\n2 0 3 2x^4\n\nSomando, o termo é 780α. A resposta é portanto, 780.\n\nExemplo 4.15: Dê uma fórmula para o coeficiente do quadrado de um polinômio.\n\n... com dois inteiros não-negativos tais que α1 + α2 + ... + α2 = n. 5. Probabilidade\nA teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente positivos, ou seja, tal que existências igualmente inseguras sobre esta existência, em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento e a probabilidade de fracassos. A razão disto é moldar todas as chances possíveis e moldar assim probabilidades, o qual representa uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e o denominador é o número de todos os casos positivos.\n\nPierre Simon Laplace\nEnsaio filosófico sobre as Probabilidades\n\n5.1 Introdução\nUma das aplicações mais importantes dos resultados anteriores é a Teoria da Probabilidade.\n\n... a forma de fazer isso é estudar experimentos básicos comuns. O que podemos fazer aqui é estudar a superfície, e fixar uma série de idéias e riscos que estão localmente gerais. 120 Probabilidade Cap.5 A primeira tarefa consiste em descrever todos os possíveis resultados do experimento e calcular o seu número. De outras formas: calcular qvot e conjunto de pares variados do experimento e calcular o número de elementos contínuos retos. Este conjunto é chamado Espaço Amostral. É assim descrito em nosso exemplo: \u03a9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (#(\u03a9) = 6) Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral são chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A = (2, 4, 6) é o evento que acontece se não estiver mostrado na face de cima da parte. Passando agora à segunda etapa: a de calcular a probabilidade do evento A. Consideramos o caso em que: A = {2, 4, 6}. Aqui intuitivamente percebemos que, se temos uma grande quantidade de eventos, a probabilidade de ocorrer A está relacionada às nossas evidências que nos devem levar a um resultado bem definido. Portanto, devemos usar a fórmula: \nprobabilidade de A = #A() / #(\u03a9) = 3 / 6 = 1 / 2 Laplace refere-se aos elementos do A (eventos elementares) que compreendem A) como casos favoráveis. Os elementos do. 121 espaço amostral \u03a9 eram chamados casos positivos. Define então probabilidade = número de casos favoráveis / número de casos possíveis Vamos então rever as considerações feitas até agora, que permitem a utilização desta definição de probabilidade. Supomos que os exemplos ilustrados têm as seguintes características: a) Há um número finito (ítalo) de eventos elementares (casos possíveis). Aí então os dois pares. b) A eventos elementares se isto inclui os eventos. Definimos então Probabilidade de A = P(A) = número de casos favoráveis/ticos P(A) = #A()/#(\u03a9). Resulta que P(B) = 4 e P(B) = 1/2. Exemplo 5.2: Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que soma dos números mostrados nas faces dê como resultado 4. Solução: O espaço amostral \u03a9 consiste de todos os pares (i, j) e si não casos possíveis comprovados entre 1 e 6. A figura 5.1 descreve o espaço amostral completamente. 124 Probabilidade Cap.5 Exemplo 5.4: Suponhamos que de um objeto escolhemos a o acaso em propósito. Qual é a probabilidade de que tenham objeto escolhido maior que um? Solução: O número de casos possíveis é igual a n! = 0 número de casos favoráveis é igual a #(\u03a0)(n-1)!(n-r-1)! e fatores. A probabilidade é portanto igual a n(n-r-2) = (n-r-1)! Uma aplicação interessante deste resultado é a seguinte: suponhamos que ao aversar de uma pessoa possa cair no igual probabilidade em qualquer dos dias do ano. Se pessoas sobem ao aversar de cada formato e ao final que existem 365. Para a tabela 5.1 aproximaremos a probabilidade de maior que o, 0. Os resultados são bastante probabilística de um grupo com 365 pessoas, por exemplo, a probabilidade de duas delas terem nascido no mesmo dia do ano, (aniversário no mesmo dia) é de novo 80%. 132 Probabilidade\n\nCap. 5\n\nAssim, a probabilidade procurada é\n\nPR(A1 ∪ A2 ∪ A3) = 1 \n 7 27 - 7 \n 20 27\n\nExemplo 5.9: Um número entre 1 a 360 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3.\n\nSolução: Sejam A e B os eventos que acontecem se o número escolhido for divisível por 3 e, respectivamente. Temos\ncalcular P(A ∪ B). Os números entre 1 e 300 divisíveis por 3 são 100; os divisíveis por 5 são 60, e os divisíveis por 3 e 5 simultaneamente são 20.\n\nEntão, \n\nP(A ∩ B) =\n\nAssim,\n\nP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1 + 1 - 1 = 1\n\nExemplo 5.10: Um torneio é disputado por 4 times A, B, C e D. E se B vence mais provável que a\nvencedora que B, o que corresponde que 2/3 que A.\n\nSolução:\n\nVamos indicar\n\nΩ = {w1, w2, w3, w4}\n\nCap. 5\n\nProbabilidade 133\n\nespaço amostral que consiste dos quatro possíveis resultados do experimento:\n\nw1 corresponde a que A ganhe o torneio; \nw2 corresponde a que B ganhe o torneio; \nw3 corresponde a que C ganhe o torneio; \nw4 corresponde a que D ganhe o torneio.\n\nSeja P(w3) = P(w1) = 6p, \nP(w2) = 2P(w2) = 18p.\n\nComo a soma das probabilidades tem que igual a 1,\n\nresulta que p + 3p + 6p + 18p = 1,\n\nou seja 28p = 1, onde p = \n\nP(w1) =\n\nP(w2) =\n\np = 1/28 e P(w2) = 6/28 = \n18/28\n\nExemplo 5.11: Seja P(A ∪ B) uma probabilidade sobre os eventos (subconjuntos) de um espaço amostral Ω, Seja A e B eventos tais \nProve que:\n\na) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B) \nb) P(A ∪ B) ≥ P(A) - 3/8