Aula 9: Solicitações Normais em Estruturas de Madeira

Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 101 Aula 9 Solicitações Normais As peças solicitadas por esforços normais apresentam tensões de naturezas diferentes ou seja podem estar tracionadas ou comprimidas A condição de segurança é analisada pela comparação da tensão atuante com a resistência de cálculo correspondente ao tipo de solicitação 1 Peças Tracionadas As peças de madeira submetidas a um esforço axial de tração apresentam comportamento elastofrágil até à ruptura sem a ocorrência de valores significativos de deformações antes do rompimento Nas estruturas a tração paralela às fibras ocorre principalmente nas treliças e nos tirantes de madeira Quando a verificação corresponde ao caso de peças tracionadas a segurança estará garantida quando a tensão atuante de tração for menor ou igual ao valor de cálculo da resistência à tração Da clássica equação da tensão σt0d Nsd Awn ft0d Onde σtd é a tensão solicitante de cálculo decorrente do esforço de tração ftd a resistência de cálculo à tração Awn é a área líquida da seção Nsd é o esforço normal solicitante de cálculo Para ftd temse ftd Kmod ftk 𝛾𝑤𝑡 Sendo ftd ft0d para fibras com inclinação em relação ao eixo da barra Existe um modificador para ftd com relação às inclinações das fibras da madeira em relação ao ângulo de esforço No caso deste esforço não ser paralelo 0o considerase ftd ftαd com α sendo Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 102 o ângulo de inclinação do esforço em relação às fibras Esta fórmula não será estudada Fórmula de Hankinson O item 103 da NBR 71901997 limita a esbeltez máxima de peças tracionadas em λ 173 11 Determinação da Área Líquida em Peças com Ligações Analogamente às peças metálicas já estudadas em aulas passadas a área útil deve considerar a redução por furos ou entalhes na seção quando a redução da área resistente for superior a 10 da peça íntegra Considerase neste item somente as barras de seção retangular h t Para a seção transversal reta Awn Aw n Af Onde Aw área bruta da seção h t n número de furos da seção Af área de um furo Temse também Af t df df d 05 mm para parafusos com folga d para pregos Exemplo A linha de uma tesoura está submetida ao esforço solicitante de tração de Nsd 50 kN considerando uma situação duradoura de projeto verifique se a seção 75 cm x 10 cm atende a este esforço considerando conífera classe C30 carregamento de longa duração classe 4 de umidade peças de 2ª categoria parafusos de diâmetro 125 mm Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 103 Resolução Vamos resolver este exercício de uma forma diferente Note aluno que estes modelos de exercício seja para estrutura de aço madeira concreto etc sempre nos apresentam uma carga ou esforço nos dá as características do material e pede para ver se é suportável ou não Desde as primeiras aulas de Estruturas Metálicas onde exercícios foram resolvidos passoapasso é assim Aqui não é diferente Deveremos pegar as características do material obter os coeficientes modificadores de segurança etc em tabelas ou na norma e aplicar uma fórmula pronta para a situação descrita É pura repetição Para este caso Necessitamos encontrar a resistência de cálculo à tração e a área líquida a que está submetida para após isso podermos encontrar a tensão e concluir o exercício Obviamente deveremos encontrar os coeficientes todos que estas fórmulas envolvem Resumo do exercício O que queremos Tensão σ Como encontrála com a relação de um esforço em determinada área NA Do que precisaremos do esforço e da área Como encontrar o esforço encontrando a tensão de cálculo máxima de acordo com as propriedades no material ftd o que ele suporta Como encontrar a área subtraindose a área dos furos da área da seção Portanto rapidamente em caso de dúvidas de aplicações de fórmulas consulte aulas anteriores 1º Passo Com as propriedades do enunciado determinamos Kmod Kmod Kmod1 Kmod2 Kmod3 Kmod 07 08 08 Kmod 045 2º Passo Com o Kmod encontramos a tensão de cálculo para comparar com o esforço que está atuando 50 MPaÁrea ftd Kmod ftk γwt ftd 045 30 18 ftd 75 MPa 3º Passo Determinação da Área Líquida df d 05 mm df 125 05 df 13 mm Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 104 Af t df Af 75 13 Af 975 cm² Awn Aw n Af Awn 75 10 2 975 Awn 555 cm² 4º Passo Comparar a tensão aplicada à tensão de cálculo σtd Nsd Awn σtd 50 555 σtd 90 MPa Portanto 90 75 não suportará Algumas outras variáveis deverão ser consideradas e aprendidas para este tipo de cálculo a partir de agora 2 Peças Comprimidas As barras comprimidas apresentam uma condição adicional correspondente à estabilidade que é a Flambagem Axialmente os estados limites últimos se configuram pelo esmagamento das fibras como nas barras denominadas de curtas ou por instabilidades associadas a efeitos de segunda ordem provocados por flambagem típica de Euler também conhecida como flambagem por flexão no caso das peças esbeltas e semiesbeltas Portanto existirão mais verificações na compressão do que na tração O índice de esbeltez de barra de barra comprimida como sabido é definido por λ L0 rmin sendo r I A onde λ é o índice de esbeltez L0 é o comprimento de flambagem e rmin é o raio de giração mínimo O comprimento de flambagem L0 é igual ao comprimento efetivo da barra não se permitindo reduções em peças com extremidades indeslocáveis no caso de peças engastadas em uma extremidade e livres na outra à L0 2L Ruptura Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 105 21 Peças Curtas λ 40 Uma peça é denominada de curta quando apresenta índice de esbeltez menor ou igual a 40 A forma de ruptura caracterizase por esmagamento da madeira e a condição de segurança da NBR 71901997 é expressa por σc0d Nsd Awn ft0d Onde σc0d é a tensão de cálculo devida à solicitação dos esforços de compressão Aw é a área bruta da seção transversal Nsd o esforço normal solicitante de cálculo Fd fc0d é a resistência de cálculo aos esforços de compressão paralela às fibras 22 Peças Semiesbeltas 40 λ 80 A forma de ruptura das peças medianamente esbeltas pode ocorrer por esmagamento da madeira ou por flexão decorrente da perda de estabilidade A NBR 71901997 não considera para peças medianamente esbeltas a verificação de compressão simples sendo exigida a verificação de flexocompressão no elemento mesmo para carga de projeto centrada É um critério que estabelece a consideração de possíveis excentricidades na estrutura não previstas no projeto A verificação deve ser feita isoladamente nos planos de rigidez mínima e de rigidez máxima do elemento estrutural A condição de segurança relativa ao estado limite último de instabilidade impõe a relação para o ponto mais comprimido da seção transversal aplicada isoladamente nos planos de rigidez mínima e máxima do elemento estrutural σNd fc0d σMd fc0d 1 Onde σNd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida à força normal de compressão e σMd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida ao momento fletor Md calculado pela excentricidade ed prescrita pela norma σnd é definido como sendo o valor de cálculo da tensão devido ao esforço normal de compressão σNd Nsd Aw Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 106 σMd é definido como sendo o valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md W expresso por Md Nd ed sendo σMd M𝑑 𝑋𝐶𝑀 I𝑦 Note que σMd depende do eixo de cálculo podendo variar XCM e YCM Iy e Ix dependendo do eixo Onde ed por sua vez é definida como sendo a excentricidade de cálculo expressa por ed e1 NE NE Nd Onde e1 é a excentricidade de primeira ordem expressa por e1 ei ea Sendo ea uma excentricidade acidental em virtude das imperfeições geométricas da barra com valor máximo dado por ea L0 300 h 30 E ei uma excentricidade decorrente dos valores de cálculo Mld e Nd ei Mld Nd h 30 Com M1d sendo ação efetiva atuante sobre a barra que provoque flexão Se não existir ei 0 h é a altura seção transversal na direção referente ao plano de verificação Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 107 NE é a Força Crítica de Euler expressa por NE π2 Ec0ef I L0 2 Sendo I o momento de inércia da seção transversal da peça relativo ao plano de flexão em que se está verificando a condição de segurança Como podemos ver em situações de semiesbeltez fica mais difícil de se checar as restrições pelo montante de variáveis a se encontrar para proceder com as verificações Porém tal qual uma receita de bolo o roteiro é tal qual descrito anteriormente identificadas as condições e características das peças seguir encontrando os valores para o caso dela como era feito para peças metálicas e de concreto em Estabilidade 23 Peças Esbeltas λ 80 A forma de ruptura das peças esbeltas ocorre por flexão causada pela perda de estabilidade lateral Neste caso a condição de segurança relativa ao estado limite último de instabilidade impõe a relação σNd fc0d σMd fc0d 1 Definindose Md Nd e1ef NE NE Nd Onde e1ef é a excentricidade efetiva de 1a ordem expressa por e1ef e1 ec e1ef ei ea ec ea é a excentricidade acidental mínima com valor h30 ou L0300 ec é a excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da madeira expressa por recomendase utilizar uma calculadora para se calcular esta expressão quando necessário ec ei ea exp 1 Iremos abrir um parêntese matemático aqui Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 108 A função exponencial ex foi expressa como exp para que não se confunda com o e da excentricidade onde Δ vale ф Ngk ψ1 ψ2 Nqk NE Ngk ψ1 ψ2 Nqk Onde ψ1 ψ2 1 encontrados na Aula 08 página 96 eig M1gd Ngd Ngk e Nqk são valores característicos da força normal devidos às cargas permanentes e variáveis respectivamente M1gd é o valor de cálculo do momento fletor devido apenas às ações permanentes ф é o coeficiente de fluência relacionado às classes de carregamento e de umidade exposto na Tabela Esta análise é relativamente complicada porém com o auxílio de tabelas e de material de apoio é perfeitamente solucionável Vamos para um exercício completo de Solicitações Normais em peças de madeira envolvendo todos os conceitos envolvidos até aqui É extenso mas será feito passo a passo para assimilação do aprendizado Concentrese Exemplo Verificar para a combinação última normal se a barra do banzo da treliça de comprimento de flambagem L0 169 cm e com secção transversal de 6 cm x 16 cm Figura construída em local de classe de umidade 1 é suficiente para resistir a uma solicitação devida à carga permanente de grande variabilidade de 2400 daN decaNewton 10 N à carga de vento de pressão de 564 daN A madeira usada é uma folhosa de classe C60 e sem classificação visual Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 109 Resolução 1º Passo Em primeiro lugar façase uma análise da classe de carregamento para que se possa saber qual equação utilizar O enunciado diz Verificar para a combinação última normal portanto da Aula 08 tópico a pg 97 temos que 𝐹𝑑 𝛾𝐺𝑖 𝐹𝐺𝑖𝑘 𝑚 𝑖1 𝛾𝑄 𝐹𝑄1𝑘 𝜓𝑜𝑗 𝐹𝑄𝑗𝑘 𝑛 𝑗2 Para as ações apresentadas temos que o exercício nos fornece o seguinte dado à carga permanente de grande variabilidade de 2400 daN ou seja fazendo uso da última tabela da página 96 temos que o coeficiente de majoração para o modelo é γG 14 na primeira parcela Para γQ temos o mesmo se enquadrando como de ação variável permanente ou seja 14 Porém deveremos mitigar a 75 de seu valor pois conforme tópico Combinações últimas normais da página 97 da Aula 08 ações variáveis permanentes que acontecem por curta duração deverão ser reduzidas pelo fator de 075 vento Analisando são permanentes pois acontecerão durante a vida toda do projeto porém variáveis pois não acontecerão todo o tempo desta vida útil Ademais para as ações apresentadas existe somente uma ação variável vento a qual será considerada principal Não existe ação variável secundária portanto não será necessário utilizar a parcela ψoj FQjk n j2 pois não existirão comparativos a se fazer para encontrar o maior esforço considerando entre as variáveis uma ou outra maior PS caso existisse outra ação variável teríamos que encontrar Fd1 e Fd2 considerando dentre as variáveis o vento e uma suposta outra ação como primária e secundária achar qual dentre elas produziria o maior valor de Fd para poder utilizar sempre a maior como segurança na resolução do exercício Temos portanto Parcela Ações Variáveis Parcela Ações Permanentes Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 110 Fd 14 2400 14 075 564 Fd 3360 105564 Fd 3952 daN 2º Passo É necessário calcular as propriedades mecânicas da madeira Para isso sabese que a madeira é maciça e de classe C60 A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por w c0 fc0d Kmod fc0k γc Para resolver a expressão encontraremos o Kmod O Kmod1 é função da ação variável principal e classe de carregamento Kmod2 é função da classe de umidade e tipo de material e Kmod3 é devido à categoria da madeira A classe de carregamento para a combinação última normal é sempre considerada de longa duração portanto kmod1 070 Para obras em madeira serrada e inseridas em locais com classe de umidade 1 kmod2 10 Madeira sem classificação visual é considerada de 2ª categoria portanto kmod3 08 Kmod Kmod1 Kmod2 Kmod3 Kmod 07 10 08 Kmod 056 De acordo com a Aula 08 tabela pág 90 a madeira classe C 60 apresenta fc0k 600 daNcm² e γc 14 Assim sendo fc0d Kmod fc0k γc fc0d 056 600 14 fc0d 240 daNcm² 3º Passo Necessitaremos também do Módulo de Elasticidade Efetivo para que se possa calcular futuramente no cálculo da Carga Crítica de Euler Segundo consta na página 91 Ecoef Kmod Ecom Ecoef 056 245000 Ecoef 137200 daNcm² Note que o valor de Ecom difere da tabela da página 90 por aquela estar em MPa e aqui em daN 4º Passo Passaremos agora para uma segunda fase da resolução do exercício que é a análise dos critérios de segurança aprendidos aqui nesta aula A fim de se determinar este critério a Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 111 ser empregado para a verificação da segurança da peça comprimida deve ser calculado o índice de esbeltez da mesma nas duas direções visto que segundo a NBR 71901997 a verificação deve ser feita nas duas direções independentemente e então poderemos conhecer em qual situação a peça se encaixará pois depende de λ λ L0 rmin sendo r I A Para encontrarmos λ deveremos encontrar o raio de giração e para isto deveremos encontrar o Momento de Inércia da peça em ambos os sentidos Temos para retângulos que I bh³12 no sentido de x e I b³h12 no sentido de y Portanto Ix bh³12 Ix 6 16³12 Ix 2048 cm4 Iy b³h12 Iy 6³ 1612 Iy 288 cm4 Os raios de giração em torno das direções x e y são então dados por 𝑟𝑥 𝐼𝑥 𝐴 𝑟𝑥 2048 6 16 𝑟𝑥 462 𝑐m ry Iy A ry 288 6 16 ry 173 cm Portanto os Índices de Esbeltez são λx L0 rx λx 169 462 λx 366 λy L0 ry λy 169 173 λy 977 Assim sendo em torno do eixo x o banzo é considerado uma peça curta λ 40 e em torno do eixo y é considerado esbelto λ 80 Portanto analisaremos a peça com as equações do tópico 21 para o eixo x e 23 para o eixo y 5º Passo Para a análise em torno de x temse que σc0d ft0d Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 112 σc0d Fd A σc0d 3952 6 16 σc0d 4117 daN 240 daN A segurança é atendida em torno do eixo x 6º Passo Para a análise em torno de y temse que analisar as seguintes expressões devido a Esbeltez σNd fc0d σMd fc0d 1 As equações são σc0d Fd A esforço normal de compressão axial σc0d Md 𝑋𝐶𝑀 I𝑦 tensão de compressão devido ao momento fletor Md Nd e1ef NE NE Nd momento em função da excentricidade e1ef ei ea ec excentricidade de 1ª ordem Calculemos 1 A tensão normal devida ao esforço axial já foi calculada anteriormente e é σc0d 4117 daN 2 É necessário calcular as tensões normais devidas à flexão oriunda da excentricidade A carga crítica de Euler é dada por NE π2 Ec0ef I L0 2 NE π2 137200 288 169² NE 136544 daN Os valores das excentricidades a serem consideradas são ei 0 pois M1d 0 lembrar que o índice numérico 1 associado a um momento corresponde a ação efetiva atuante sobre a barra neste caso não existe ação que provoque flexão Porém a existe uma restrição mínima de excentricidade a ser atendida ei h 30 ei 6 30 ei 020 cm PS não confunda este h com altura da peça Este h é a altura seção transversal na direção referente ao plano de verificação Portanto como estamos verificando no sentido y este h será x Aula 9 Solicitações Normais UNIDADE 2 ESTRUTURAS DE MADEIRA 113 Temse também outra restrição de excentricidade ea L0 300 h 30 ea 169 300 ea 056 cm Como L0 300 h 30 utilizaremos o maior valor que é 056 cm Portanto ec ei ea exp 1 Com ф Ngk ψ1 ψ2 Nqk NE Ngk ψ1 ψ2 Nqk Como Ngk é a carga permanente e Nqk a carga variável ф é dado pela classe de carregamento em função da umidade tabela da página 108 temse ф Ngk ψ1 ψ2 Nqk NE Ngk ψ1 ψ2 Nqk 𝛥 08 2400 0 02 564 136544 2400 0 02 564 𝛥 018 Retomando a Equação ec ei ea exp 1 ec 02 056 e018 1 ec 015 cm Portanto finalizando a excentricidade e1ef e1 ec e1ef ei ea ec e1ef 020 056 015 e1ef 091 cm 7º Passo Cálculo do Momento Fd Nd 3952 daN Md Nd e1ef NE NE Nd Md 3952 091 136544 136544 3952 Md 50611 daNcm Como Aula 9 Solicitações Normais ESTRUTURAS 114 σMd Md 𝑋𝐶𝑀 I𝑦 Então temos σc0d Md XCM Iy σMd 50611 3 288 σMd 5271 daNcm² A verificação da segurança em torno do eixo y dada pela relação abaixo mostra que o banzo está seguro σNd fc0d σMd fc0d 1 4117 240 5271 240 039 1