Cálculo de Limites e Derivadas de Funções de Uma Variável - Continuidade

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Cristiane da Silva Continuidade Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir continuidade de uma função por limites Resolver situações matemáticas que envolvem funções contínuas e descontínuas Justificar a continuidade de uma função Introdução A definição de continuidade por limites será subsequente à compreensão de funções descontínuas aquelas em que há uma interrupção representada em alguns casos por uma bolinha aberta na curva do gráfico Veremos que uma função pode ser contínua em alguns pontos e descontínua em outros Além disso observaremos a aplicação de continuidade e descontinuidade em exemplos práticos Ao longo do capítulo serão apresentadas interpretações gráficas e exemplos de resolução de situações matemáticas por meio de limites Assim para justificar a continuidade de uma função como das funções polinomiais das funções racionais de composições de funções de funções trigonométricas e inversas conheceremos algumas propriedades de continuidade discutidas por meio de teoremas e exemplificações Continuidade de uma função por limites Nesta seção você verá o que caracteriza uma função como contínua sendo as representações gráficas os elementos que contribuirão para esse entendimento A palavra contínua supõe não ter quebras ou interrupções Graficamente podemos ilustrar uma função em uma curva inteira como contínua conforme mostrado na Figura 1 a seguir Figura 1 Curva inteira contínua fx é contínua em x c Fonte Rogawski 2008 p 6364 Por outro lado uma quebra nessa curva é denominada uma descontinuidade como mostra a Figura 2 Continuidade 2 Figura 2 gx tem uma descontinuidade em x c Fonte Rogawski 2008 p 6364 Rogawski 2008 p 64 define continuidade em um ponto da seguinte forma suponha que fx esteja definida num intervalo aberto contendo x c Então f é contínua em x c se Se o limite não existir ou se existir mas for diferente de fc dizemos que tem uma descontinuidade ou que é descontínua em x c É importante destacar que uma função pode ser contínua em alguns pontos e descontínua em outros A seguir veremos exemplos de uma função contínua em todos os pontos de um intervalo e todos os pontos do seu domínio Se fx for contínua em todos os pontos do intervalo I então dizemos que fx é contínua em I Supondo I um intervalo a b ou a b que inclua a como extremidade esquerda exigimos que Analogamente postulamos que se I incluir b como extremidade direita Se fx for contínua em todos os pontos do seu domínio dizemos apenas que fx é contínua Exemplo Mostre que as seguintes funções são contínuas 3 Continuidade a fx k sendo k qualquer constante Como fx k para qualquer O limite existe e é igual ao valor da função portanto fx é contínua em x c para todo c Observe a Figura 3 Figura 3 Gráfico de fx k Fonte Rogawski 2008 p 64 b gx x para qualquer x O limite existe e é igual ao valor da função portanto gx é contínua em c para todo c Observe a Figura 4 Figura 4 Gráfico de gx x Fonte Rogawski 2008 p 64 Continuidade 4 Além de conhecer a definição de continuidade é interessante saber que existem aplicações práticas As descontinuidades por exemplo podem sinalizar a ocorrência de fenômenos físicos A Figura 5a traz um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t t0 A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada A Figura 5b mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento Figura 5 Exemplo de interrupção de cabo subterrâneo Uma conexão malfeita num cabo de transmissão pode causar uma descontinuidade no sinal elétrico transmitido Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 111 Anton Bivens e Davis 2014 definem continuidade em um intervalo por meio da explicação de que se uma função for contínua em cada ponto de um intervalo aberto a b dizemos que ela é contínua em a b O mesmo ocorre para intervalos abertos infinitos a b e Sendo que quando a função for contínua em dizemos que ela é contínua em toda parte Além disso Anton Bivens e Davis 2014 argumentam que uma função será contínua em uma extremidade de um intervalo se o valor ali for igual ao limite lateral adequado naquele ponto 5 Continuidade Exemplo Figura 6 Função y fx Observe que a função da Figura 6 é contínua na extremidade direita do intervalo a b porque limxb fx fb Mas não é contínua na extremidade esquerda porque limxa fx fa Em geral dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se limxc fx fc E é contínua à direita no ponto c se limxc fx fc Fonte Anton Bivens Davis 2014 p 112 Dessa forma uma função f é dita contínua em um intervalo fechado a b se as seguintes condições são satisfeitas f é contínua em a b f é contínua à direita em a f é contínua à esquerda em b Funções contínuas e descontínuas Nesta seção acompanharemos exemplos de resolução de funções contínuas e descontínuas Abordaremos interpretações gráficas bem como funções definidas por partes na resolução de situações matemáticas Exemplo 1 O que pode ser dito sobre a continuidade da função Solução como o domínio natural dessa função é o intervalo fechado 3 3 precisamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto 3 3 e nas duas extremidades Se c for um ponto qualquer do intervalo 3 3 então ANTON BIVENS DAVIS 2014 provando que f é contínua em cada ponto do intervalo 3 3 A função f é também contínua nas extremidades uma vez que Logo f é contínua no intervalo fechado 3 3 Observe a Figura 7 7 Continuidade Figura 7 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 112 Exemplo 2 Mostre que o polinômio px 3x3 x 5 é contínuo no ponto x 1 HOFF MANN et al 2018 Solução precisamos verificar se os três critérios de continuidade são satisfeitos É evidente que p1 é definida já que p1 7 Além disso existe e Assim como necessário para que px seja contínua em x 1 Exemplo 3 Discuta a continuidade das seguintes funções HOFFMANN et al 2018 a b c Continuidade 8 Solução a Essa é uma função racional portanto é contínua em todos os pontos em que está definida ou seja em todos os pontos nos quais o deno minador é diferente de zero é definida em todos os pontos exceto x 0 portanto é contínua para qualquer valor de x 0 como mostra a Figura 8 Figura 8 Contínua para x 0 Fonte Hoffmann et al 2018 p 7172 b Essa é uma função racional portanto é contínua em todos os pontos em que está definida ou seja em todos os pontos nos quais o denominador é diferente de zero Como x 1 é o único valor de x para o qual gx não é definida gx é contínua para qualquer valor de x 1 como mostra a Figura 9 9 Continuidade Figura 9 Contínua para x 1 Fonte Hoffmann et al 2018 p 7172 c Essa função é definida em duas partes Começamos verificando a conti nuidade em x 1 sendo o valor de x comum às duas partes Verificamos que não existe já que hx tende a 2 pela esquerda e a 1 pela direita Assim hx não é contínua em x 1 como mostra a Figura 10 Como os polinômios x 1 e 2 x são contínuos para qualquer valor de x hx é contínua para qualquer valor de x 1 Figura 10 Contínua para x 1 Fonte Hoffmann et al 2018 p 7172 Continuidade 10 Os exemplos desta seção tiveram como propósito analisar a continuidade de algumas funções e resolver por meio de limites situações matemáticas envolvendo continuidade Continuidade de uma função Nesta seção você estudará a continuidade dos polinômios das funções ra cionais de composições de funções de funções trigonométricas e inversas Algumas propriedades de continuidade das funções trigonométricas e inversas serão discutidas Anton Bivens e Davis 2014 abordam um procedimento para mostrar que uma função é contínua em toda parte a partir da verificação da continuidade em um ponto arbitrário Se considerarmos px um polinômio e a um número real qualquer então Isso mostra que os polinômios são con tínuos em toda parte Cabe destacar que as funções racionais são quocientes de polinômios e portanto as funções racionais são contínuas nos pontos em que o denominador não se anula e que nesses zeros há descontinuidades Ainda segundo os autores outra análise importante dáse por meio do entendimento do cálculo do limite da composição de funções Podese afirmar que um símbolo de limite pode passar pelo sinal de função desde que o limite da expressão dentro desse sinal exista e que a função seja contínua Podemos eluci dar essa explicação pelo teorema a seguir se e a função f for contínua em L então ou seja Essa igualdade permanece válida se todos os forem trocados por um dos limites ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 114 Considerase também o caso especial do teorema em que fx x Como x é contínua em toda parte temos que sempre que existir 11 Continuidade Exemplo limxcgx limxc gx limx35 x² limx35 x² 4 4 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 114 Agora veremos a continuidade da composição de funções em um ponto específico e em toda parte de acordo com o teorema Fique atento Se a função g for contínua em um ponto c e a função f for contínua no ponto gc então a composição f g será contínua em c Se a função g for contínua em toda parte e a função f for contínua em toda parte então a composição f g será contínua em toda parte Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 115 Observe que para provar que a composição f g é contínua em c é preciso mostrar que os valores de f g e de seu limite são os iguais em x c limxcf gx limxc fgx flimxc gx fgc f gc Vimos que x é contínua em toda parte assim se gx for contínua no ponto c a função gx deverá ser contínua no ponto c Sendo assim podemos dizer que o valor absoluto de uma função contínua é uma função contínua ANTON BIVENS DAVIS 2014 O polinômio gx 4 x2 é contínuo em toda parte assim podemos concluir que a função 4 x2 também é contínua em toda parte como mostra a Figura 11 Figura 11 Função y 4 x2 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 115 Veremos que as funções sen x e cos x são contínuas Para tanto vamos considerar c um ângulo fixo e x um ângulo variável medidos em radianos Como mostra a Figura 12 quando o ângulo x tende ao ângulo c o ponto Pcos x sem x movese no círculo unitário em direção ao ponto Qcos c sen c e as coordenadas de P tendem às correspondentes coordenadas de Q ANTON BIVENS DAVIS 2014 e 13 Continuidade Figura 12 Quando x tende a c o ponto P tende ao ponto Q Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 121 Anton Bivens e Davis 2014 mostram portanto que sen x e cos x são contínuos em um ponto arbitrário c e essas funções são contínuas em toda parte Além disso as seis funções trigonométricas básicas são contínuas em seus domínios como pode ser visto no teorema a seguir se c for qualquer número no domínio natural da função trigonométrica enunciada então Continuidade 14 Em quais pontos a função é contínua Solução o quociente será uma função contínua em todos os pontos em que o numerador e o denominador forem ambos funções contínuas e o denominador não for zero Como arc tg x é contínua em toda parte e ln x é contínua com x 0 o numerador é contínuo se x 0 O denominador sendo um polinômio é contínuo em toda parte de modo que o quociente é contínuo em todos os pontos tais que x 0 e o denominador for não nulo Assim f é contínua nos intervalos 0 2 e 2 No que diz respeito à continuidade de funções inversas cabe lembrarse de que os gráficos de uma função injetora f e sua inversa f1 são uma reflexão do outro pela reta y x Assim se o gráfico de f não tem quebras ou buracos tampouco o gráfico de f1 terá Como a imagem de f é o domínio de sua inversa f1 permitese chegar ao seguinte teorema se f for uma função injetora que é contínua em cada ponto de seu domínio então f1 será contínua em cada ponto de seu domínio ou seja f1 será contínua em cada ponto da imagem de f ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 122 Prove que arc sen x é contínua no intervalo Solução lembrese de que arc sen x é a função inversa da função seno restrita cujo domínio é o intervalo e cuja imagem é o intervalo 1 1 Como sen x é contínua no intervalo isso implica que arc sen x é contínua no intervalo 1 1 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 15 Continuidade ANTON H BRIVES I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 HOFFMANN L D et al Cálculo um curso moderno e suas aplicações 11 ed Rio de Janeiro LTC 2018 ROGAWSKI J Cálculo Porto Alegre Bookman 2008 v 1 Continuidade 16 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS