Calculo I - Avaliação com Resolução Detalhada

CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 35 pontos Considere a funcao fx ex 1 ex a 02 pontos Qual e o domınio da f b 02 pontos Encontre a interseccao do grafico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assıntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui maximos e mınimos locais E globais Se sim quais sao g 05 pontos Usando as informacoes dos itens anteriores e outras que julgar necessario esboce o grafico de f Questao 2 10 pontos Encontre a equacao da reta tangente a curva y x 3 x 2 em x 1 Questao 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funcoes a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 t Questao 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equacao xey xy 3 Calcule dy dx Questao 5 10 ponto Seja f uma funcao derivavel e Fx fx2fx2 Sabendo que f1 2 f 1 3 f2 0 e f 2 1 calcule F 1 Questao 6 15 pontos Considerando que a area de um cırculo de raio r e A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do cırculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dA dt em termos da taxa de variacao do raio dr dt b 05 pontos Se o raio do cırculo se expande a uma taxa constante a area do cırculo tambem se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funcoes abaixo descrevem r com relacao ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variacao da area do cırculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t Questão 1 fx ex 1 ex a O domínio de fx é o conjunto dos x onde fx é bem definida Em particular para essa fx teremos que é bem definida se 1 ex 0 isto é o denominador for não nulo ou seja 1 ex 0 1 ex ex 1 x 0 x 0 Portanto fx é bem definida se x 0 Logo seu domínio é Dfx x ℝ x 0 ℝ b A interseção com o eixo x é obtida fazendo fx y 0 Logo nesse caso teremos y fx 0 ex 1 ex ex 0 que não possui solução para x ℝ Logo f não intercepta o eixo x Por outro lado f também não intercepta o eixo y pois isso ocorreria em X 0 que é um ponto fora do domínio da f c As assíntotas de f são obtidas calculando os limites Lim x fx e Lim x fx para as assíntotas horizontais e Lim x0 fx para as assíntotas vertical pois em x 0 a fx não é definida Então calculamos esses limites Com efeito Lim x fx Lim x ex 1 ex Lim x ex 1 Lim x ex 1 0 Lim x fx Lim x ex 1 ex Lim x ex 1 Lim x 1 ex 0 1 0 Então usamos Lhospital com efeito temos Lim x fx Lim x ddx ex ddx 1 ex Lim x ex ex Lim x e2x e2 0 Lim x fx 0 c As assíntotas de f são obtidas calculando os limites Lim x fx e Lim x fx para as assíntotas horizontais e Lim x0 fx para as assíntotas vertical pois em x 0 a fx não é definida Então calculamos esses limites Com efeito Lim x fx Lim x ex 1 ex Lim x ex 1 Lim x ex 1 0 Lim x fx Lim x ex 1 ex Lim x ex 1 Lim x 1 ex 0 1 0 Então usamos Lhospital com efeito temos Lim x fx Lim x ddx ex ddx 1 ex Lim x ex ex Lim x e2x e2 0 Lim x fx 0 e Logo o ultimo desenvolvimento nos define uma assíntota horizontal que é Y0 Agora para o outro limite temos Lim fx Lim ex 1 1ex X0 x0 Lim ex ex 1 Lim ex ex ex 1 Lim e2x ex 1 X0 X0 X0 X0 e20 Lim ex 1x0 1 Lim ex 1 X0 Logo como lim fx Então x0 é uma assíntota vertical para fx d Os intervalos onde a fx cresce são os pontos ac tais que dfdx 0 Então calculando dfdx teremos dfdx ddx ex 1ex ex 1 ex ex ex 1 ex2 ex 1 ex e2x 1 ex2 ex 1 2 ex 1 ex2 Então a f é crescente se dfdx 0 portanto dfdx ex 1 2 ex 1 ex2 0 1 2 ex ex 0 1 2 ex 0 2 ex 1 ex 12 lnex ln21 x ln2 x ln2 Logo se x ln2 a f é crescente isto é o intervalo de crescimento de fx é ln2 E f será decrescente se fx 0 ou seja dfdx ex 1 2 ex 1 ex2 0 ex 1 2 ex 0 1 2 ex 0 ex 12 lnex ln21 x lne ln2 x ln2 Logo a f é decrescente se x ln2 Ou seja a f é decrescente no intervalo 0 ln2 e 0 ou seja f é decrescente em 0 U 0 ln2 a qui não podemos escrever ln2 pois 0 não está em Df d O estudo da concavidade é feito através de estudo do sinal de d²dx² f determinemos d²dx² com efeito teremos d²fdx² ddx dfdx ddx ex 1 2 ex 1 ex2 1 ex2 ddx ex 1 2 ex 1 ex ex ddx 1 ex2 1 ex4 1 ex2 1 2 ex ex 2 ex ex 1 2 ex ex 2 1 ex ex 1 ex4 ex 1 ex2 1 2 ex 2 ex 2 ex 1 ex 1 2 ex 1 ex4 ex 1 ex 2 1 2 ex 1 ex3 ex 1 2 4 ex 1 ex3 ex 4 ex 3 1 ex3 d²fdx² ex 4 ex 3 1 ex3 Onde a concavidade é para cima se d²fdx² 0 Então d²fdx² 0 ex 4ex 3 1ex231ex 0 ex 4ex 3 1ex 0 Ou seja devemos ter que ex 4ex 3 0 e 1ex 0 Então ex 1 4ex 3ex 0 basta ver que x 1 satisfaz e 1ex 0 ex 1 x 0 x 0 Logo devemos ter que x 0 portanto f é côncava para cima se x no intervalo 0 Por outro lado f é côncava para baixo se d²fdx² 0 então d²fdx² 0 ex 4ex 3 1ex 0 Como ex 4ex 3 0 x R basta termos 1ex 0 Ou seja 1ex 0 ex 1 lnex ln1 x 0 x 0 Logo se x 0 f tem concavidade para baixo Portanto f é côncava para baixo em 0 f Os pontos criticos de f candidatos a extremos são as x tais que dfdx 0 Portanto impondo isso obtemos dfdx ex 2 1ex2 0 ex 2 0 ex 2 lnex ln2 x ln2 Portanto para x ln2 temos que f tem ponto critico em x ln2 apenas Quando em d²fdx² temos d²fdx² x ln2 eln2 4eln2 3 1 1eln2³ 2 42 3 1 12³ 2 2 3 12³ 118 8 d²fdx² x ln2 0 Daí pelo teste das derivada segunda temos que f tem um mínimo local em x ln2 E f não tem maximo ou minimo global de fato basta ver os limites calalados no item c Cálculo 1 Ex 4 F x q y 59 Questão 2 yx x 3 x 2 com x 1 A reta tangente no ponto x 1 ou seja no ponto 1 y 1 Então y1 é y 1 1 3 1 2 4 1 4 y 1 4 A equação da reta tangente no ponto 1 y1 tem a forma geral y y1 dydxx1 x 1 Então calculamos dydxx1 com efeito d ydx ddx x 3 x 2 x 21 x 3ddx x 2 x 2² x 2 x 3 x 2² 5 x 2² Portanto temos d y d x 5 x 2² e em x 1 temos dydxx1 5 1 2² 5 1² 5 Com dydxx1 calculado Podemos obter a equação da reta tangente que é y 4 5 x 1 y 4 5 x 5 y 5 x 1 y 5 x 1 é a eq tangente a y yx em 1 y1 Questão 3 a u u² 2 ln cos u u u 2u ln cos u Portanto dvdu é dvdu ddu u 2u ln cos u ddu u ddu 2u ln cos u 1 2u² ln cos u 2u 1cos u Sen u 1 2u² ln cos u 2u cosu Sen u dvdu 1 2u² ln cos u 2 Sen u u cosu que é a derivada desejada g Gráfico Y lim fx x0 lim fx x fln2 4 d²fdx² 0 d²fdx² Lim fx x Lim fx x0 ln2 x b ft 1 t et 1 et 1 t To mos ddt f ddt 1 t et 1 et 1 t ddt 1 t et 1 et t12 1 et ddt 1 t et 1 t et ddt 1 et 1 et2 12 t32 1 et et t et 1 t et et 1 et2 12 t32 1 et et 1 t 1 t et et 1 et2 12 t32 et e2t 1 t 1 t et et 1 et2 12 t32 et t e2t e2t t e3t et t e2t 1 et2 12 t32 et t et e2t t e2t et t e2t 1 et2 12 t32 b Continuação ddt f et t et e2t t e2t et t e2t 1 et2 12 t32 2 et t et e2t 1 et2 t32 2 et et t 2 1 et2 t32 2 ddt f et et t 2 1 et2 t32 2 Questão 4 Seja y yx dada implicitamente x ey x y 3 Derivando implicitamente temos ddx x ey x y ddx 3 ey x ey d ydx y x d ydx 0 x ey x d ydx y ey 0 x ey 1 d ydx ey y d ydx ey y x ey 1 que é o resultado desejado Questão 5 Façamos u x2 phi u fu Com isso temos ddx F ddx fx2 fx2 dd x2 fx2 dx ddφ fφ 2 x fx2 ddx fx2 ddφ fφ 2 x fx2 2 x ddx f x2 fu fu 2 x fx2 2 x fx2 fx2 fx2 2 x fx2 2 x fx2 Para x 1 teremos F1 f1 f1 2 f1 2 f1 f2 2 f1 2 f1 1 2 2 2 3 1 4 6 10 F1 10 Aqui usamos que f1 2 f1 3 f2 0 e f2 1 Questão 6 An π r² a Aqui o raio expande proporcionalmente ao tempo isto é drdt k t k 0 uma constante de proporcionalidade Com isso determinaremos dAdt Com efeito dAdt ddt π r² π 2r drdt 2 π r drdt Portanto dAdt 2 π r drdt é a expressão desejada em termos de drdt Explicitando k t temos dAdt 2 π r drdt 2 π r k t 2 k π r t Portanto dAdt 2 k π r t em termos de t Questão 6 An π r² a Aqui o raio expande proporcionalmente ao tempo isto é drdt k t k 0 uma constante de proporcionalidade Com isso determinaremos dAdt Com efeito dAdt ddt π r² π 2r drdt 2 π r drdt Portanto dAdt 2 π r drdt é a expressão desejada em termos de drdt Explicitando k t temos dAdt 2 π r drdt 2 π r k t 2 k π r t Portanto dAdt 2 k π r t em termos de t b Se o raio se expande numa taxa constante teremos drdt k k ℝ e k 0 Logo teremos dAdt ddt π r² 2 π r drdt 2 k π r Portanto dAdt 2 k π r Mas r é uma função de t ie r rt Logo dAdt não é constante mas é proporcional ao raio c Verificaremos quais funções abaixo fazem com que dAdt 2 π rt ddt nt k 2 π seja constante digamos k 2 π nesse caso teremos que 2 π rt drdt k 2 π rt drdt k ou seja impor que dAdt seja constante equivale a impor que rt drdt k 1 onde k é uma constante qualquer De passe disso verificaremos quais funções satisfazem a relação i nt cost Aqui temos nt dntdt cost d costdt cost sent sen2t2 e nesse caso nt não satisfaz ii nt lnt Temos n dndt lnt dlntdt lnt 1t lntt e novamente nt não satisfaz nt iii nt sqrtt Temos nt dntdt sqrtt dsqrttdt sqrtt 12 t12 t12 t12 2 t0 2 12 Logo nesse caso nt satisfaz e portanto para nt sqrtt temos que dAdt 2 pi 12 pi e a área varia de forma constante com o tempo