Capacitores - Energia Armazenada, Dielétricos e Cálculos de Capacitância

Fale sobre o capacitor sobre a energia armazenada nele onde ele armazena energia casos em que ele é usado e onde aparece de forma indesejável Porque e como funciona o dielétrico comumente usado 1 ponto Questão 1 Um capacitor é um dispositivo que armazena energia em um campo elétrico entre duas placas condutoras separadas por um material isolante chamado dielétrico A energia armazenada em um capacitor é proporcional à carga elétrica armazenada nas placas e à diferença de potencial elétrico entre elas Os capacitores são usados em muitas aplicações como circuitos eletrônicos fontes motores e dispositivos de armazenamento de energia O dielétrico é um material isolante que é colocado entre as placas condutoras de um capacitor para aumentar sua capacidade de armazenamento de energia elétrica O dielétrico é usado para aumentar a capacitância O dielétrico é escolhido com base em suas propriedades elétricas como sua constante dielétrica que é uma medida da capacidade do material para armazenar energia elétrica em um campo elétrico Quanto maior a constante dielétrica maior a capacitância do capacitor resultante O dielétrico mais comumente usado é o ar que tem uma constante dielétrica de 1 No entanto outros materiais como o vidro podem ser usados como dielétricos Na figura 1 a diferença de potencial da bateria é V 90 V C2 30 μF C4 40 μF e todos capacitores estão inicialmente descarregados Quando a chave S é fechada a carga total de 12 μC passa pelo ponto a e a carga total de 80 μC passa pelo ponto b Quais são as capacitâncias a C1 e b C3 25 pontos Figura 1 Circuito adaptado de Halliday 8Ed Questão 2 Pelo circuito devemos ter 𝑉3 𝑉4 𝑉3 𝑉2 𝑉1 𝑉 9 𝑉 𝑞𝑎 𝑞3 𝑞4 12 106𝐶 𝑞𝑏 𝑞4 8 106𝐶 A equação do capacitor é dada por 𝑞 𝐶𝑉 Logo temos 𝑉3 𝑉4 𝑞4 𝐶4 8 106 4 106 2 𝑉 Assim 𝐶3 𝑞3 𝑉3 𝐶3 12 106 𝑞4 𝑉3 𝐶3 12 106 8 106 2 𝐶3 2 106 𝐹 𝑪𝟑 𝟐 𝝁𝑭 Agora note que a capacitância equivalente do sistema é dada por 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 𝐶4 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 𝐶4 𝑞𝑡𝑜𝑡 𝑉 12 106 𝐶 9 𝑉 4 3 106 𝐹 Resolvendo para 𝐶1 temos Um cabo de 100 m de comprimento tem resistência de 0300 Ω Um segundo cabo feito de material idêntico tem comprimento 200 m e massa idêntica ao primeiro cabo Qual a resistência em ohms do segundo cabo 25 pontos 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 𝐶4 1 4 3 106 1 𝐶1 1 3 106 1 2 106 4 106 1 4 3 106 1 𝐶1 1 3 106 1 6 106 3 4 106 1 𝐶1 3 6 106 3 4 106 1 𝐶1 3 4 106 3 6 106 𝐶1 1 3 4 106 3 6 106 𝐶1 1 106 3 4 1 2 𝐶1 1 106 3 4 2 4 𝐶1 1 106 1 4 𝐶1 4 106 𝐹 𝑪𝟏 𝟒 𝝁𝑭 Na figura 2 é ilustrado o funcionamento da ponte de Wheatstone Esse circuito é muito utilizado para medição de resistências com boa precisão e em células e carga usadas para medir peso em balanças diversas A medição é feita entre os pontos a e b quando aparece diferença de potencial entre esses pontos é porque houve desequilíbrio nos conjuntos de resistores o que leva ao aparecimento de uma ddp entre a e b previamente zerado por meio de Rs Mostre que quando esse esse zeramento é feito Rx Rs R2 R1 é válido 25 pontos Questão 3 A resistência do segundo cabo é dada por 𝑅2 𝜌𝐿2 𝐴2 𝜌 200 𝐴2 Pelos dados temos 𝑅1 𝜌𝐿1 𝐴1 𝜌 100 𝐴1 0300 Ω 𝑚1 𝐴1𝐿1 𝐴2𝐿2 𝑚2 Manipulando obtemos 𝑅2 2𝜌 𝐴2 𝜌 𝐴1 03 𝐴1𝐿1 𝐴2𝐿2 Eliminando 𝜌 03𝐴1 temos 𝑅2 2 03𝐴1 𝐴2 𝐴1 2𝐴2 Eliminando 𝐴1 2𝐴2 temos 𝑅2 2 03 2𝐴2 𝐴2 𝑅2 2 03 2 𝑹𝟐 𝟏𝟐𝟎 Ω Quanto tempo um capacitor de um circuito RC com resistor de R 10 kΩ e C 10 μF leva para atingir 99 da tensão da fonte 25 pontos Questão 4 Vamos tomar o seguinte esquema de ponto como base Por conveniência escolhemos 𝑣2 0 𝑉 Somando as correntes que chegam em todos os nós obtemos 𝑖 𝑖1 𝑖2 0 Agora as correntes em função das tensões ficam usando a lei de ohm 𝑖1 𝑣1 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑣2 𝑅4 𝑣𝐴 𝑅4 𝑖2 𝑣1 𝑣𝐵 𝑅2 𝑣𝐵 𝑣2 𝑅3 𝑣𝐵 𝑅3 Aqui a tensão em 𝐴𝐵 é dada por 𝑣𝐴𝐵 𝑣𝐵 𝑣𝐴 Ademais sabemos que 𝐸 𝑣1 𝑣2 𝑣1 Assim temos o seguinte sistema de equações 𝑖 𝑖1 𝑖2 0 𝑖1 𝑣1 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅4 𝑖2 𝑣1 𝑣𝐵 𝑅2 𝑣𝐵 𝑅3 𝐸 𝑣1 𝑣𝐴𝐵 𝑣𝐵 𝑣𝐴 Eliminando 𝑣1 temos 𝑖 𝑖1 𝑖2 0 𝑖1 𝐸 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅4 𝑖2 𝐸 𝑣𝐵 𝑅2 𝑣𝐵 𝑅3 𝑣𝐴𝐵 𝑣𝐵 𝑣𝐴 Eliminando 𝑣𝐵 𝑣𝐴 𝑣𝐴𝐵 temos 𝐸 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅4 𝐸 𝑣𝐴 𝑣𝐴𝐵 𝑅2 𝑣𝐴 𝑣𝐴𝐵 𝑅3 Da primeira equação tiramos 𝐸 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅4 𝐸 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅1 𝑣𝐴 𝑅4 𝐸 𝑣𝐴 𝑣𝐴 𝑅1 𝑅4 𝑣𝐴 𝐸 1 𝑅1 𝑅4 Substituindo na segunda equação obtemos 𝐸 𝐸 1 𝑅1 𝑅4 𝑣𝐴𝐵 𝑅2 𝐸 1 𝑅1 𝑅4 𝑣𝐴𝐵 𝑅3 𝐸𝑅3 𝐸𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝑅3𝑣𝐴𝐵 𝐸𝑅2 1 𝑅1 𝑅4 𝑅2𝑣𝐴𝐵 𝐸𝑅3 𝐸𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝐸𝑅2 1 𝑅1 𝑅4 𝑅3𝑣𝐴𝐵 𝑅2𝑣𝐴𝐵 𝑣𝐴𝐵 𝐸𝑅3 𝐸𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝐸𝑅2 1 𝑅1 𝑅4 𝑅3 𝑅2 𝑣𝐴𝐵 𝐸 𝑅3 𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝑅2 1 𝑅1 𝑅4 𝑅3 𝑅2 Para uma ponte zerada temos 𝑣𝐴𝐵 0 logo 𝑅3 𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝑅2 1 𝑅1 𝑅4 0 𝑅3 1 𝑅1 𝑅4 𝑅3 𝑅2 0 𝑅3 𝑅3 𝑅1 𝑅4 𝑅3 𝑅2 0 𝑅3 𝑅1 𝑅4 𝑅2 0 𝑅3𝑅1 𝑅2𝑅4 Ou seja para uma ponte zerada o produto das resistências diametralment eopostas é o mesmo Questão 5 Para o circuito RC temos a seguinte equação diferencial 𝑣𝑅 𝑣𝑐 𝐸 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝑞 𝐶 𝐸 𝑅𝐶 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝑞 𝐸𝐶 𝑑𝑞 𝑑𝑡 1 𝑅𝐶 𝑞 𝐸 𝑅 Note que esta equação está no seguinte formato linear 𝑞 𝑝𝑡𝑞 𝑟𝑡 Logo a sua solução é 𝑞 𝑟𝑒 𝑃𝑑𝑡𝑑𝑡 𝑘 𝑒 𝑃𝑑𝑡 Assim temos 𝑞 𝐸 𝑅 𝑒 1 𝑅𝐶𝑑𝑡𝑑𝑡 𝑘 𝑒 1 𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑞 𝐸 𝑅 𝑒 1 𝑅𝐶𝑑𝑡𝑑𝑡 𝑘 𝑒 1 𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑞 𝐸 𝑅 𝑒 𝑡 𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑘 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑞 𝐸 𝑅 𝑅𝐶 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑘 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑞 𝐸𝐶 𝑘𝑒 𝑡 𝑅𝐶 Mas temos 𝑞0 𝑞0 0 Assim temos que a carga em função do tempo é dada por 0 𝐸𝐶 𝑘𝑒0 𝑘 𝐸𝐶 𝑞 𝐸𝐶 𝑘𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑞 𝐸𝐶 𝐸𝐶𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝒒 𝑬𝑪 𝟏 𝒆 𝒕 𝑹𝑪 Logo a tensão no capacitor é dada por 𝑣𝑐 𝑞 𝐶 𝐸 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 Logo devemos ter 099𝐸 𝐸 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 099 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 001 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑡 𝑅𝐶 ln 001 𝑡 10000 10 106 ln 001 𝒕 𝟎 𝟒𝟔 𝒔 Questão 1 Um capacitor é um dispositivo que armazena energia em um campo elétrico entre duas placas condutoras separadas por um material isolante chamado dielétrico A energia armazenada em um capacitor é proporcional à carga elétrica armazenada nas placas e à diferença de potencial elétrico entre elas Os capacitores são usados em muitas aplicações como circuitos eletrônicos fontes motores e dispositivos de armazenamento de energia O dielétrico é um material isolante que é colocado entre as placas condutoras de um capacitor para aumentar sua capacidade de armazenamento de energia elétrica O dielétrico é usado para aumentar a capacitância O dielétrico é escolhido com base em suas propriedades elétricas como sua constante dielétrica que é uma medida da capacidade do material para armazenar energia elétrica em um campo elétrico Quanto maior a constante dielétrica maior a capacitância do capacitor resultante O dielétrico mais comumente usado é o ar que tem uma constante dielétrica de 1 No entanto outros materiais como o vidro podem ser usados como dielétricos Questão 2 Pelo circuito devemos ter V 3V 4 V 3V 2V 1V 9V qaq3q41210 6C qbq4810 6C A equação do capacitor é dada por qCV Logo temos V 3V 4 q4 C4 810 6 410 62V Assim C3 q3 V 3 C31210 6q4 V 3 C31210 6810 6 2 C3210 6 F C32μF Agora note que a capacitância equivalente do sistema é dada por 1 Ceq 1 C1 1 C2 1 C3C4 Ceq 1 C1 1 C2 1 C3C4 qtot V 1210 6C 9V 4 3 10 6F Resolvendo para C1 temos 1 C1 1 C2 1 C3C4 1 4 3 10 6 1 C1 1 310 6 1 210 64 10 6 1 4 3 10 6 1 C1 1 310 6 1 610 6 3 4 10 6 1 C1 3 610 6 3 410 6 1 C1 3 410 6 3 610 6 C1 1 3 4 10 6 3 610 6 C1110 6 3 41 2 C1110 6 3 4 2 4 C1110 6 1 4 C14 10 6F C14 μF Questão 3 A resistência do segundo cabo é dada por R2 ρ L2 A2 ρ200 A2 Pelos dados temos R1 ρ L1 A1 ρ100 A1 0300Ω m1A1 L1A2 L2m2 Manipulando obtemos R22 ρ A2 ρ A1 03 A1 L1A2 L2 Eliminando ρ03 A1 temos R2203 A1 A2 A12 A2 Eliminando A12 A2 temos R22032 A2 A2 R22032 R2120Ω Questão 4 Vamos tomar o seguinte esquema de ponto como base Por conveniência escolhemos v20V Somando as correntes que chegam em todos os nós obtemos ii1i20 Agora as correntes em função das tensões ficam usando a lei de ohm i1v1v A R1 v Av2 R4 v A R4 i2v1vB R2 v Bv2 R3 vB R3 Aqui a tensão em AB é dada por v ABvBv A Ademais sabemos que Ev1v2v1 Assim temos o seguinte sistema de equações ii1i20 i1v1v A R1 vA R4 i2v1vB R2 vB R3 Ev1 v ABvBv A Eliminando v1 temos ii1i20 i1 Ev A R1 vA R4 i2 EvB R2 vB R3 v ABvBv A Eliminando vBv Av AB temos Ev A R1 v A R4 Ev Av AB R2 v A vAB R3 Da primeira equação tiramos E R1 v A R1 v A R4 E R1 v A R1 v A R4 Ev Av A R1 R4 vA E 1 R1 R4 Substituindo na segunda equação obtemos E E 1 R1 R4 v AB R2 E 1 R1 R4 v AB R3 E R3 E R3 1 R1 R4 R3v AB E R2 1 R1 R4 R2v AB E R3 E R3 1 R1 R4 E R2 1 R1 R4 R3 v ABR2v AB v AB E R3 ER3 1 R1 R4 E R2 1 R1 R4 R3R2 v ABE R3 R3 1 R1 R4 R2 1 R1 R4 R3R2 Para uma ponte zerada temos v AB0 logo R3 R3 1 R1 R4 R2 1 R1 R4 0 R31 R1 R4R3R20 R3R3 R1 R4 R3R20 R3 R1 R4 R20 R3 R1R2 R4 Ou seja para uma ponte zerada o produto das resistências diametralment eopostas é o mesmo Questão 5 Para o circuito RC temos a seguinte equação diferencial vRvcE R dq dt q C E RC dq dt qEC dq dt 1 RC q E R Note que esta equação está no seguinte formato linear q p t qr t Logo a sua solução é q r e Pdtdt k e Pdt Assim temos q E R e 1 RC dt d tk e 1 RC dt q E R e 1 RC dt dtk e 1 RC dt q E R e t RC dtk e t RC q E R RC e t RCk e t RC qECk e t RC Mas temos q 0q00 Assim temos que a carga em função do tempo é dada por 0ECk e 0 kEC qECk e t RC qECEC e t RC qEC1e t RC Logo a tensão no capacitor é dada por vc q C E1e t RC Logo devemos ter 099 EE1e t RC 0991e t RC 001e t RC tRCln 001 t100001010 6ln 001 t046 s