Cinematica do Ponto Material - Resumo Teorico e Exercicios

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS UFRB Capitulo 1 Cinemática do Ponto Material CET166 DINÂMICA DOS SÓLIDOS Abdon 27042017 Relações de Deslocamento Velocidade e Aceleração no Movimento de um Ponto Material CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 1 Capitulo 1 Cinemática do ponto Material Estática Época dos filósofos gregos Dinâmica Galileu 15641642 Newton 16421727 Leis fundamentais do movimento CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 2 11 Movimento Retilíneo Velocidade escalar média 𝜐𝑚 Δ𝑥 Δ𝑡 𝑚𝑠 Velocidade escalar instantânea 𝜐 𝐿𝑖𝑚 𝛥𝑡0 𝛥𝑥 𝛥𝑡 𝐿𝑖𝑚 𝛥𝑡0 𝜐𝑚 por definição 𝐿𝑖𝑚 𝛥𝑡0 𝛥𝑥 𝛥𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Aceleração escalar média 𝑎𝑚 𝜐 Δ𝑡 Aceleração escalar instantânea 𝑎 𝐿𝑖𝑚 𝛥𝑡0 𝛥𝜐 𝛥𝑡 𝐿𝑖𝑚 𝛥𝑡0𝑎𝑚 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 Da equação 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 3 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜐 𝑎 𝜐 𝑑𝜐 𝑑𝑥 Exemplo Seja o deslocamento 𝑥 6𝑡2 𝑡3 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜐 12𝑡 3𝑡2 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎 12 6𝑡 Se 𝑎 𝒇𝒕 Como 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑑𝜐 𝑎𝑑𝑡 𝑑𝜐 𝑓𝑡 𝑑𝑡 Fazendo 𝑡 0 𝜐 𝜐𝑜 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 4 Integrando 𝑑𝜐 𝜐 𝜐𝑜 𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 𝜐 𝜐𝑜 𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 𝜐 𝑓𝑡 Também 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝑡 Para 𝑡 0 𝑥 𝑥𝑜 Integrando 𝑥 𝑥𝑜 𝑓𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑥 𝑓𝑡 Se 𝑎 𝒇𝒙 Como 𝑎 𝜐 𝑑𝜐 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝜐 𝑎 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝜐 𝜐 𝜐𝑜 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑜 1 2 𝜐2 1 2 𝜐0 2 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑜 𝜐 𝑓𝑥 Como 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝑡 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑓𝑡 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 5 Se 𝒂 𝑓𝜐 Como 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜐 𝑎 𝑑𝑡 1 𝑓𝜐 𝑑𝜐 𝜐 𝑓𝑡 Como 𝑎 𝜐 𝑑𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜐 𝑎𝑑𝜐 𝑑𝑥 𝜐 𝑓𝜐 𝑑𝜐 𝑥 𝑓𝜐 Movimento Retilíneo Uniforme MRU Condição 𝜐 𝐶𝑡𝑒 Como 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎 0 Temos que 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐶𝑡𝑒 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝑡 Para 𝑡 0 𝑥 𝑥𝑜 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑜 𝜐 𝑑𝑡 𝑡 0 𝑥 𝑥𝑜 𝜐 𝑡 𝑥 𝑥𝑜 𝜐 𝑡 Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado MRUA Condição 𝑎 𝐶𝑡𝑒 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎 𝐶𝑡𝑒 Para 𝑡 0 𝜐 𝜐𝑜 𝑥 𝑥𝑜 Como 𝑑𝜐 𝑎 𝑑𝑡 Integrando 𝑑𝜐 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑑𝑡 𝑡 0 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 6 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 Como 𝜐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝑡 𝜐𝑜 𝑎 𝑑𝑡 Para 𝑡 0 𝑥 𝑥𝑜 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑜 𝜐𝑜 𝑎 𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 𝑥𝑥𝑜 𝑥 𝜐0 𝑡 𝑎 2 𝑡2 0 𝑡 𝑥 𝑥0 𝜐0 𝑡 𝑎 2 𝑡2 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑑𝑒𝑛𝑡𝑜 Também 𝑎 𝜐 𝑑𝜐 𝑑𝑥 𝜐 𝑑𝜐 𝑎 𝑑𝑥 Para 𝑡 0 𝜐 𝜐𝑜 𝑥 𝑥𝑜 Integrando 𝜐 𝑑𝜐 𝜐 𝜐𝑜 𝑎𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑜 𝜐2 2 𝜐0 2 2 𝑎𝑥 𝑥𝑜 𝜐2 𝜐0 2 2𝑎𝑥 𝑥𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 12 Movimento de Vários Pontos Materiais A B Pontos materiais 𝑥𝐴 𝑥𝐵 Deslocamentos dos pontos materiais A e B em movimento retilíneo 𝑥𝐵𝐴 Deslocamento relativo de B em relação à A 𝑥𝐵𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴 𝑥𝐵𝐴 𝜐𝐵𝐴 Velocidade relativa de B em relação à A CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 7 𝜐𝐵𝐴 𝜐𝐵 𝜐𝐴 𝜐𝐵 𝜐𝐴 𝜐𝐵𝐴 𝑎𝐵𝐴 Aceleração relativa de B em relação à A 𝑎𝐵𝐴 𝑎𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵𝐴 13 Método Gráfico do Movimento Retilíneo Solução Gráfica de problemas de Movimento Retilíneo CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 8 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 9 Problema 11 De uma janela de um prédio localizado a 20 𝑚 acima do solo arremessase verticalmente para cima uma bola com velocidade de 10 𝑚𝑠 Sabendose que a aceleração da bola é constante e igual a 981 𝑚𝑠2 para baixo determinar a a velocidade 𝜐 e a elevação 𝑦 da bola relativamente ao solo para qualquer instante 𝑡 b a máxima elevação atingida pela bola e o correspondente instante 𝑡 e c o instante em que a bola atinge o solo e a sua correspondente velocidade Esboçar o Gráfico 𝜐 𝑡 e 𝑦 𝑡 Dados Bola Para 𝑡 0 𝑠 𝑦𝑏𝑜 20 𝑚 𝜐𝑏𝑜 10 𝑚𝑠 Aceleração constante 𝑎𝑏𝑜 𝑐𝑡𝑒 981 𝑚𝑠2 Determinar a Para um tempo t 𝜐 𝑓𝑡 𝑦 𝑓𝑡 b Máxima elevação 𝑦 𝑦𝑚𝑎𝑥 Tempo para 𝑡 𝑡𝑚𝑎𝑥 a Para 𝑦 0 𝑚 𝑡 𝜐 Gráficos 𝜐 𝑡 e 𝑦 𝑡 Solução Diagrama a 𝜐 𝑓𝑡 e 𝑦 𝑓𝑡 Como 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑑𝜐 𝜐 𝜐𝑜 𝑎𝑑𝑡 𝑡 0 𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 Substituindo os valores 𝜐 10 981𝑡 1 Gráfico 𝜐 𝑓𝑡 Também 𝜐 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝜐 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜 𝑎 𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜𝑡 𝑎 𝑡22 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜𝑡 𝑎𝑡22 Substituindo os valores 𝑦 20 10𝑡 981𝑡22 2 Gráfico 𝑦 𝑓𝑡 b 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑚𝑎𝑥 Sabese que a altura é máxima quando 𝜐 0 Logo Em 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝜐 0 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 0 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 𝑡 𝜐𝑜𝑎 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 10 𝑡 10 981 1021 𝑠 Substituindo na equação 2 𝑦𝑚𝑎𝑥 20 10𝑡 981𝑡22 𝑦𝑚𝑎𝑥 20 10 102 981 10222 𝑦𝑚𝑎𝑥 251𝑚 c 𝑦 0 𝑡 𝜐 Como 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜 𝑡 𝑎 𝑡22 Substituindo 0 20 10𝑡 981𝑡22 49𝑡2 10𝑡 20 0 Resolvendo o sistema de equações do 2 grau por Bhaskara temos 𝑡1 124 𝑠 𝑡2 328 𝑠 Assim o tempo admissível é para 𝑡2 328 𝑠 pois é acima do valor mínimo do tempo que é 𝑡 102 𝑠 𝑡 𝑡2 328 𝑠 Como 𝜐 𝜐𝑜 𝑎 𝑡 𝜐 10 981 328 𝜐 222 𝑚𝑠 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 11 Problema 12 Uma bola é arremessada verticalmente para cima a partir de uma altura de 12 𝑚 num poço de elevador com uma velocidade inicial de 18 𝑚𝑠 No mesmo instante um elevador de plataforma está a uma altura de 5 𝑚 subindo com velocidade constante de 2 𝑚𝑠 Determinar a quando e onde a bola se encontrará com o elevador b a velocidade da bola em relação ao elevador quando o encontrar Dados Bola Para 𝑡 0 𝑠 𝜐𝑏𝑜 18 𝑚𝑠 𝑦𝑏𝑜 12 𝑚 Aceleração constante 𝑎𝑏 𝑐𝑡𝑒 981 𝑚𝑠2 Elevador Para 𝑡 0 𝑠 𝜐𝑒 2 𝑚𝑠 𝑦𝑒𝑜 5 𝑚 Determinar Para 𝑦𝑏 𝑦𝑒 a O tempo 𝑡 e onde 𝑦 b Velocidade relativa 𝜐𝑏𝑒 Solução Diagrama da Bola Bola ela está em Movimento Uniformemente Acelerado logo 𝜐𝑏 𝜐𝑏𝑜 𝑎𝑏 𝑡 𝑦𝑏 𝑦𝑏𝑜 𝜐𝑏𝑜 𝑡 𝑎𝑏 𝑡22 Substituindo 𝜐𝑏 18 981𝑡 𝑦𝑏 12 18𝑡 49𝑡2 1 Diagrama do elevador Elevador está em Movimento Uniforme logo 𝜐𝑒 𝜐𝑒𝑜 2 𝑚𝑠 𝑦𝑒 𝑦𝑒𝑜 𝜐𝑒 𝑡 Substituindo 𝑦𝑒 5 2𝑡 2 a Para 𝑦𝑏 𝑦𝑒 Das equações 1 e 2 12 18𝑡 49𝑡2 5 2𝑡 49𝑡2 16𝑡 7 0 Resolvendo por Bhaskara 𝑡1 039 𝑠 𝑡2 365 𝑠 Como 𝑡 00 𝑡 𝑡2 365 𝑠 A altura 𝑦 12 18𝑡 49𝑡2 𝑦 12 18 365 49 3652 𝑦 1242 𝑚 b Velocidade relativa 𝜐𝑏𝑒 Para 𝑡 365 𝑠 𝜐𝑏𝑒 𝜐𝑏 𝜐𝑒 Substituindo 𝜐𝑏𝑒 18 981𝑡 2 16 981 365 𝜐𝑏𝑒 1981𝑚𝑠 O sinal negativo indica que a bola é observada da plataforma deslocandose no sentido negativo para baixo CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 12 Problema 13 O cursor A e o bloco B estão ligados por uma corda que passa sobre três polias C D e E como está ilustrado na figura C e E são fixas enquanto D presa a um cursor é puxado para baixo com uma velocidade constante de 15 𝑚𝑠 No instante 𝑡 0 𝑠 o bloco A inicia seu movimento para baixo a partir da posição K com uma aceleração constante e velocidade inicial nula Sabendose que a velocidade do cursor A é 6 𝑚𝑠 ao passar pelo ponto L determinar a variação de altura a velocidade e a aceleração do bloco B quando A passar por L Dados Bloco B Polias Fixas C e E Polia Móvel D 𝜐 𝑐𝑡𝑒 15 𝑚𝑠 Cursor A Para 𝑡 0 𝑠 𝑥𝐴 𝑎𝐴 𝑐𝑡𝑒 𝜐𝐴𝑜 0 𝑚𝑠 Em 𝑥𝐴 𝐿 𝜐𝐴 6 𝑚𝑠 Determinar Para 𝑥𝐴 𝐿 Δ𝑥𝐵 Velocidade do bloco B 𝜐𝐵 Aceleração do bloco B 𝑎𝐵 Solução Diagramas das posições Movimento da Polia D Movimento do Cursor A Para 𝑡 0 𝑠 𝑥𝐴𝑜 𝑥𝐵𝑜 𝑥𝐷𝑜 Em 𝑥𝐴 𝐿 𝑥𝐴 𝑥𝐴𝑜 4𝑚 Δ𝑥𝐵 𝑥𝐵 𝑥𝐵𝑜 Considerando o comprimento do cabo 𝑥𝐴 2𝑥𝐷 𝑥𝐵 𝐶𝑡𝑒 𝑥𝐴 2𝑥𝐷 𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑜 2𝑥𝐷𝑜 𝑥𝐵𝑜 𝑥𝐵 𝑥𝐵𝑜 𝑥𝐴 𝑥𝐴𝑜 2𝑥𝐷 𝑥𝐷𝑜 𝑥𝐵 𝑥𝐵𝑜 4 2𝑥𝐷 𝑥𝐷𝑜 1 Cursor A MRUA Como 𝜐𝐴 2 𝜐𝐴𝑜 2 2𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑥𝐴𝑜 Substituindo os valores temos 62 8𝑎𝐴 𝑎𝐴 45 𝑚𝑠2 Também 𝜐𝐴 𝜐𝐴𝑜 𝑎𝐴𝑡 𝑡 𝜐𝐴 𝑎𝐴 6 45 𝑡 132 𝑠 Polia D MRU 𝑥𝐷 𝑥𝐷𝑜 𝜐𝐷𝑡 𝑥𝐷 𝑥𝐷𝑜 15 132 2 𝑚 2 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 13 Substituindo 2 na equação 1 temos 𝑥𝐵 𝑥𝐵𝑜 4 2 2 Δ𝑥𝐵 𝑥𝐵 𝑥𝐵𝑜 8 𝑚 Da equação de comprimento da corda 𝑥𝐴 2𝑥𝐷 𝑥𝐵 𝐶𝑡𝑒 Derivando em relação ao tempo temos 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 2𝑑𝑥𝐷 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝐵 𝑑𝑡 0 𝜐𝐴 2𝜐𝐷 𝜐𝐵 0 3 𝜐𝐵 𝜐𝐴 2𝜐𝐷 4 Substituindo os valores em 4 𝜐𝐵 6 2 15 𝜐𝐵 9 𝑚𝑠 Derivando 3 em relação ao tempo temos 𝑑𝜐𝐴 𝑑𝑡 2𝑑𝜐𝐷 𝑑𝑡 𝑑𝜐𝐵 𝑑𝑡 0 𝑎𝐴 2𝑎𝐷 𝑎𝐵 0 2𝑎𝐷 0 𝑚𝑠2 𝑎𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵 45 𝑚𝑠2 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 14 Problema 14 Um policial numa motocicleta escolta uma fila de carros que se desloca a 483𝑘𝑚ℎ Num dado instante o policial decide tomar nova posição na fila 610 𝑚 à frente Supondose que ele acelera e desacelera uniformemente à razão 335 𝑚 𝑠2 e que não excede a velocidade de 724𝑘𝑚ℎ esboçar os diagramas 𝑎 𝑡 e 𝜐 𝑡 para o movimento e determinar a o tempo mínimo em que o policial poderá alcançar a nova posição e b a distância que ele percorrerá nesse tempo Dados Carros Velocidade 𝜐𝐶 483 𝑘𝑚ℎ 1342 𝑚𝑠 Escolta Velocidade inicial 𝜐𝑃𝑜 483 𝑘𝑚ℎ 1342 𝑚𝑠 Aceleração constante 𝑎 335 𝑚𝑠2 Desaceleração constante 𝑎 335 𝑚𝑠2 Velocidade máxima 𝜐𝑚𝑎𝑥 724 𝑘𝑚ℎ 2011 𝑚𝑠 Posição inicial 𝑥𝑃𝐶 00 𝑚 Posição final 𝑥𝑃𝐶 610 𝑚 Determinar a Tempo mínimo para posição final 𝑡𝑚𝑖𝑛 b Distância total percorrida 𝑥𝑇 Esboçar Diagramas 𝑎 𝑡 e 𝜐 𝑡 Solução Diagrama Assumindo para o Policial Diagrama 𝜐 𝑡 Movimento acelerado MRUA 𝑥1 𝑥0 𝜐0 𝑡1 1 2 𝑎 𝑡1 2 𝑥0 00𝑚 𝜐0 1342𝑚𝑠 𝑎 335𝑚𝑠2 𝑥1 1342𝑡1 167𝑡1 2 𝜐1 𝜐0 𝑎 𝑡1 1342 335𝑡1 1 Movimento desacelerado MRUA 𝑥𝐹 𝑥1 𝜐1 𝑡 𝑡1 1 2 𝑎 𝑡2 𝑡1 2 𝑥𝐹 𝑥1 𝜐1 𝑡2 𝑡1 1 2 𝑎 𝑡2 2 𝑡1 2 𝑥𝐹 𝑥1 𝜐1 𝑡2 𝑡1 167𝑡2 2 𝑡1 2 𝜐2 𝜐1 𝑎 𝑡2 𝑡1 𝜐2 𝜐1 335𝑡2 𝑡1 1342 𝑚𝑠 2 Utilizando a equações 1 e 2 temos 1342 335𝑡1 335𝑡2 𝑡1 1342 𝑚𝑠 1342 2 335𝑡1 335𝑡2 1342 𝑡2 2𝑡1 Se 𝑡1 𝑡 𝑡2 𝑡1 𝑡 Distância percorrida pelos carros 𝑥𝐶 𝜐0 2𝑡 2684 𝑡 3 Distância percorrida pelo Policial 𝑥1 1342𝑡 167𝑡2 4 𝑥2 𝜐1 𝑡 167𝑡2 𝑥2 1342 335𝑡𝑡 167𝑡2 5 Como 𝑥𝑇 𝑥𝐶 61𝑚 𝑥2 𝑥1 𝑥𝐶 61 Das equações 3 4 e 5 temos 𝑥2 𝑥1 𝑥𝐶 335 𝑡2 61 𝑡 426 𝑠 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 15 Tempo total 𝑡𝑇 2𝑡 8525 𝑠 Verificando a velocidade máxima 𝜐1 𝜐0 𝑎 𝑡 𝜐1 1342 335 426 2769𝑚𝑠 Como 𝜐1 𝜐𝑚𝑎𝑥 Assumindo um processo de acordo ao Diagrama Trecho AB 𝜐𝐵 𝜐0 𝑎 𝑡𝐴𝐵 6 Como 𝑎 335𝑚𝑠2 𝜐𝐵 2011𝑚𝑠 𝜐0 1342𝑚𝑠 Substituindo em 6 temos 2011 1342 335𝑡𝐴𝐵 𝑡𝐴𝐵 2𝑠 Deslocamento AB 𝑥𝐴𝐵 𝜐0 𝑡𝐴𝐵 1 2 𝑎 𝑡𝐴𝐵 2 𝑥𝐴𝐵 1342 2 335 2 22 𝑥𝐴𝐵 3354 𝑚 Trecho CD Como 𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐶𝐷 𝑡𝐴𝐵 𝑡𝐶𝐷 𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐶𝐷 6708 Para os carros temos 𝑥𝐶 𝜐𝑐 𝑡𝐴𝐵 𝑡𝐶𝐷 𝑥𝐶 1342 4 5368 𝑚 Trecho BC Policial 𝑥𝑃 𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑡𝐵𝐶 2011𝑡𝐵𝐶 Carros 𝑥𝐶𝐵𝐶 𝜐𝑐 𝑡𝐵𝐶 1342𝑡𝐵𝐶 Como 𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐶𝐷 𝑥𝑃 𝑥𝐶 𝑥𝐶𝐵𝐶 610𝑚 6708 201𝑡𝐵𝐶 5368 134𝑡𝐵𝐶 610𝑚 Substituindo temos 𝑡𝐵𝐶 711𝑠 𝑡𝑇 𝑡𝐴𝐵 𝑡𝐵𝐶 𝑡𝐶𝐷 1111 𝑠 Distância Percorrida 𝑥𝑇𝑃 𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐶𝐷 𝑥𝑃 Substituindo temos 𝑥𝑃 6708 14298 21006 𝑚 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 16 Problema 15 Uma composição de metrô deixa a estação A acelera a razão e 12 𝑚𝑠2 durante 6 𝑠 e então acelera a razão de 18 𝑚𝑠2 até alcançar a velocidade de 144 𝑚𝑠 A composição mantém a mesma velocidade até as proximidades da estação B aplicandose então os freios que desaceleram uniformemente e a fazem parar em 6 𝑠 O tempo total gasto na viagem de A á B foi de 40 𝑠 Trace os diagramas 𝑎 𝑡 𝜐 𝑡 e 𝑥 𝑡 e determine a distância entre as estações A e B Dados Para 0 𝑡 6 𝑠 Aceleração 𝑎 12 𝑚𝑠2 Para 𝑡1 𝑡 𝑡2 𝑠 Aceleração 𝑎 18 𝑚𝑠2 até a velocidade 𝜐 144 𝑚𝑠 Para 𝑡2 𝑡 𝑡3 𝑠 Velocidade 𝜐 𝑐𝑡𝑒 logo 𝑎 0 𝑚𝑠2 Para 𝑡3 𝑡 40 𝑠 Desaceleração 𝑎 𝑐𝑡𝑒 40 𝑡3 6 𝑠 Tempo total 𝑡𝑇 40 𝑠 Determinar Traçar os diagramas 𝑎 𝑡 𝜐 𝑡 e 𝑥 𝑡 Encontrar a distância entre A e B Solução Diagrama a t Para 0 𝑡 6 𝑠 Com 𝑎 12 𝑚𝑠2 A variação da velocidade é igual a área A do gráfico 𝑎 𝑓𝑡 𝐴06 12 6 72 𝑚𝑠 Como 𝜐6 𝜐0 𝐴06 𝜐6 𝜐0 𝐴06 𝜐6 0 72 𝜐6 72 𝑚𝑠 Equação 𝜐 𝜐0 𝑎𝑡 0 𝜐 12 𝑡 Para 6 𝑡 𝑡2 𝑠 Com 𝑎 18 𝑚𝑠2 𝐴6𝑡2 18𝑡2 6 Como 𝜐𝑡2 𝜐6 𝐴6𝑡2 𝜐𝑡2 𝜐6 𝐴6𝑡2 Temos 𝜐𝑡2 144 𝑚𝑠 144 72 186 𝑡2 𝑡2 10 𝑠 Equação 𝜐 𝜐6 𝑎𝑡 6 𝜐 72 18 𝑡 Para 10 𝑡 𝑡3 𝑠 𝜐 𝑐𝑡𝑒 𝑎 0 𝑚𝑠2 sendo 𝜐 144 𝑚𝑠 Como 40 𝑡3 6 𝑠 𝑡3 34 𝑠 Equação 𝜐 𝑐𝑡𝑒 144 𝑚𝑠 Para 34 𝑡 40 𝑠 𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝐴34 40 𝑎 6 1 Como 𝜐40 𝜐34 𝐴3440 2 Com 𝜐40 00 𝑚𝑠 𝜐34 144 𝑚𝑠 144 𝐴3440 2 Das equações 1 e 2 144 𝑎 6 𝑎 24 𝑚𝑠2 Equação 𝜐 𝜐34 𝑎𝑡 34 𝜐 960 24𝑡 Diagrama 𝜐 𝑡 Diagrama xt Para 0 𝑡 6 𝑠 Com 𝑎 12 𝑚𝑠2 𝑥 𝑥𝑜 𝜐𝑜 𝑡 1 2 𝑎 𝑡2 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 17 Considerando a área sob o diagrama de velocidades 𝐴𝑉06 1 2 6 72 216 𝑚 Como 𝑥6 𝑥0 𝐴𝑉06 𝑥0 00 𝑚 𝑥6 216 𝑚 Substituindo na equação geral 𝑥 1 2 12 𝑡2 Para 6 𝑡 10 𝑠 𝑥 𝑥6 𝜐6 𝑡 6 1 2 𝑎 𝑡2 62 Considerando a área sob o diagrama de velocidades 𝐴𝑉610 1 2 72 14410 4 432 𝑚 Como 𝑥10 𝑥6 𝐴𝑉106 𝑥10 𝑥6 𝐴𝑉106 𝑥10 648 𝑚 Substituindo na equação geral 𝑥 216 72𝑡 6 1 2 18𝑡2 62 Para 10 𝑡 34 𝑠 𝜐 𝑐𝑡𝑒 𝑥 𝑥10 𝜐10 𝑡 10 Considerando a área sob o diagrama de velocidades 𝐴𝑉1034 14434 10 3456 𝑚 Como 𝑥34 𝑥10 𝐴𝑉1034 𝑥34 𝑥10 𝐴𝑉1034 𝑥34 4104 𝑚 Substituindo na equação geral 𝑥 648 144 𝑡 10 Para 34 𝑡 40 𝑠 𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝑥 𝑥34 𝜐34 𝑡 34 1 2 𝑎 𝑡2 342 Considerando a área sob o diagrama de velocidades 𝐴𝑉3440 1 2 144 40 34 1440 𝑚 Como 𝑥40 𝑥34 𝐴𝑉3440 𝑥40 𝑥34 𝐴𝑉3440 𝑥40 4536 𝑚 Substituindo na equação geral 𝑥 4104 144𝑡 34 24 2 𝑡2 342 Das equações do deslocamento podese traçar o diagrama x t A distância total entre as estações A e B 𝑥𝐴𝐵 𝑥34 4536 𝑚 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 18 14 Movimento Curvilíneo de Um Ponto Material O ponto material se desloca ao longo de uma curva 𝑟 Vetor posição 𝑃 Ponto material 𝜐𝑚 Velocidade média 𝜐𝑚 𝑟 𝑡 𝜐 Velocidade instantânea 𝜐 𝐿𝑖𝑚 Δ𝑡0 𝑟 𝑡 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑠 Comprimento de arco 𝜐 𝐿𝑖𝑚 Δ𝑡0 𝑠 𝑡 𝑎𝑚 Aceleração média CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 19 𝑎𝑚 𝜐 𝛥𝑡 𝑎 Aceleração instantânea 𝑎 𝐿𝑖𝑚 𝑡0 𝜐 𝛥𝑡 𝑑𝜐 𝑑𝑡 15 Derivadas de Funções Vetoriais 151 Componentes Cartesianas da Velocidade e Aceleração Vetor Posição 𝑟 𝑟 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 Vetores unitários nas direções x y e z respectivamente 𝑖 𝑗 𝑘 1 Velocidade 𝜐 𝜐 𝜐𝑥𝑖 𝜐𝑦𝑗 𝜐𝑧𝑘 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝜐 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 𝜐𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜐𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝜐𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 20 Aceleração 𝑎 𝑎 𝑎𝑥𝑖 𝑎𝑦𝑗 𝑎𝑧𝑘 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 𝑥 𝑑²𝑥 𝑑𝑡² 𝑦 𝑑²𝑦 𝑑𝑡² 𝑧 𝑑²𝑧 𝑑𝑡² 152 Movimento Relativo a um Sistema de Referência em Translação 𝑂𝑥𝑦𝑧 Sistema de referencial fixo 𝐴𝑥𝑦𝑧 Sistema de referencial móvel 𝐴 𝐵 Pontos materiais 𝑟𝐴 𝑟𝐵 Vetores de posição dos pontos A e B 𝑟𝐵𝐴 Vetor posição do ponto B em relação ao ponto A 𝜐𝐴 𝜐𝐵 Vetores velocidades dos pontos A e B 𝑎𝐴 𝑎𝐵 Vetores aceleração dos pontos A e B 𝜐𝐵𝐴 Vetor velocidade do ponto B em relação ao ponto A 𝑎𝐵𝐴 Vetor aceleração do ponto B em relação ao ponto A Vetor posição 𝑟 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟𝐵𝐴 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 21 Velocidade 𝜐 𝑑𝑟𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑟𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑟𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟𝐵𝐴 𝜐𝐵 𝜐𝐴 𝜐𝐵𝐴 Aceleração 𝑎 𝑑𝑟𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑟𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑟𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟𝐵𝐴 𝑎𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵𝐴 153 Componente Tangencial e Normal 𝑢𝑡 Vetor unitário na direção tangente à trajetória no ponto P 𝑢𝑛 Vetor unitário na direção normal à trajetória no ponto P No limite 𝑢𝑛 𝐿𝑖𝑚 𝜃0 𝑢𝑡 𝛥𝜃 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝜃 Movimento Plano de Um Ponto Material CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 22 𝜌 Raio de curvatura 𝐶 Centro de curvatura 𝑠 Comprimento da trajetória do ponto P Velocidade 𝜐 𝜐𝑢𝑡 Aceleração 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝜐 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 Como 𝑠 𝜌 𝜃 𝜃 𝑆 𝜌 𝜌 Δ𝑠 Δ𝜃 𝜌 𝐿𝑖𝑚 𝜃0 𝑠 𝛥𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝜃 1 𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝑠 Como 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑡 1 𝜌 𝜐 𝑢𝑛 Portanto 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝜐² 𝜌 𝑢𝑛 As componentes escalares da aceleração 𝑎𝑡 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎𝑛 𝜐² 𝜌 𝑎 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑢𝑛 154 Componente Radial e Transversal Plano 𝑟 𝜃 Coordenadas polares CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 23 𝑢𝑟 Vetor unitário na direção do vetor posição 𝑟 𝑢𝜃 Vetor unitário na direção normal a 𝑟 𝑢𝜃 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝜃 𝑢𝑟 Vetor posição 𝑟 𝑟𝑢𝑟 Velocidade 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝜃 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜐 𝑟𝑢𝑟 𝑟𝜃𝑢𝜃 Aceleração 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝜃𝑢𝜃 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑢𝜃 𝜃 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝑡 𝑎 𝑟𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜃𝑟𝑢𝜃 𝑟 𝜃𝑢𝜃 𝜃 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑎 𝑟𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝜃 𝜃𝑟𝑢𝜃 𝑟 𝜃𝑢𝜃 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝜃 𝑎 𝑟 𝜃 2𝑟𝑢𝑟 𝑟𝜃 2𝜃𝑟𝑢𝜃 As componentes escalares da velocidade e aceleração 𝜐𝑟 𝑟 𝑎𝑟 𝑟 𝜃2 𝑟 𝜐𝜃 𝑟𝜃 𝑎𝜃 𝑟𝜃 2𝜃𝑟 Movimento ao longo da circunferência de raio r e centro O CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 24 𝑟 𝑐𝑡𝑒 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡 0 𝑟 𝑑²𝑟 𝑑𝑡² 0 𝜐 𝑟𝜃𝑢𝜃 𝑎 𝑟𝜃2 𝑢𝑟 𝑟𝜃𝑢𝜃 155 Coordenadas Cilíndricas 𝑅 𝜃 𝑧 Vetor posição 𝑟 𝑟 𝑅𝑢𝑅 𝑧𝑘 Velocidade 𝜐 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 25 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡 𝑢𝑅 𝑅 𝑑𝑢𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝑧 𝑑𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑘 𝑑𝑡 0 𝜐 𝑅𝑢𝑟 𝑅 𝑑𝑢𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑧𝑘 𝑢𝜃 𝑑𝑢𝑅 𝑑𝜃 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜐 𝑅𝑢𝑅 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑧𝑘 Aceleração 𝑎 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑅𝑢𝑅 𝑅 𝑑𝑢𝑅 𝑑𝑡 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑢𝜃 𝜃 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝑎 𝑅𝑢𝑅 𝑅 𝑑𝑢𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑅 𝜃𝑢𝜃 𝜃 𝑑𝑢𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑧𝑘 𝑎 𝑅𝑢𝑅 𝑅𝑢𝜃𝜃 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝜃𝑢𝑅𝜃 𝑧𝑘 𝑎 𝑅 𝑅𝜃 2𝑢𝑅 𝑅𝜃 2𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑧𝑘 156 Coordenadas Esféricas 𝒓 𝜽 𝝓 Vetor posição 𝑟 𝑟 𝑟𝑢𝑟 Velocidade 𝜐 𝜐 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 𝜐 𝑟 𝑢𝑟 𝑟𝑢 𝑟 Vetor unitário 𝑢𝑟 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 26 𝑢𝑟 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑗 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑘 𝑢 𝑟 𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑗 𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑘 𝑢 𝑟 𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑗 𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝑗 𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜙𝑘 𝑢 𝑟 𝜃𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑗 𝜙𝐶𝑜𝑠𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜙𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜙𝑗 𝑆𝑒𝑛𝜙𝑘 Vetor unitário 𝑢𝜃 𝑢𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑗 𝑢 𝜃 𝜃𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 𝜃𝑆𝑒𝑛𝜃𝑗 Vetor unitário 𝑢𝜙 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 27 𝑢𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜙𝑘 𝐶𝑜𝑠𝜙𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜙𝑆𝑒𝑛𝜃𝑗 𝑢 𝜙 𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙𝑖 𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝜙𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑗 𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙𝑘 Substituindo temos 𝑢 𝒓 𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑢𝜽 𝜙𝑢𝜙 𝜐 𝑟𝑢𝑟 𝑟𝜙𝑢𝜙 𝑟𝜃𝑆𝑒𝑛𝜃𝑢𝜃 𝜐 𝜐𝑟𝑢𝑟 𝜐𝜙𝑢𝜙 𝜐𝜃𝑢𝜃 Aceleração 𝑎 𝑑𝜐 𝑑𝑡 𝑎 𝜐𝑟𝑢𝑟 𝜐𝑟𝑢 𝑟 𝜐𝜙𝑢𝜙 𝜐𝜙𝑢 𝜙 𝜐𝜃𝑢𝜃 𝜐𝜃𝑢 𝜃 Substituindo 𝑎 𝑟 𝑟𝜙 2 𝑟𝜃 2𝑆𝑒𝑛2𝜙 𝑢𝑟 2𝑟𝜙 𝑟𝜙 𝑟𝜃 2𝑆𝑒𝑛𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑢𝜙 2𝑟𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙 2𝑟𝜃𝜙 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑟𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜙𝑢𝜃 𝑎 𝑎𝑟𝑢𝑟 𝑎𝜙𝑢𝜙 𝑎𝜃𝑢𝜃 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 28 Problema 16 Disparase um projétil com uma velocidade inicial de 240 𝑚𝑠 contra um alvo B situado 600 𝑚 acima da arma A e a uma distância horizontal de 3600 𝑚 Desprezando a resistência do ar determinar o valor do ângulo 𝛼 de disparo Dados Resistência do ar nula Projétil A Velocidade inicial 𝜐𝑜 240 𝑚𝑠 Alvo B Acima de A 600 𝑚 Distância horizontal de A 3600 𝑚 Determinar Ângulo de disparo 𝛼 Solução Diagrama Movimento Horizontal MRU 𝜐 𝑐𝑡𝑒 Velocidade 𝜐𝑜𝑥 𝜐𝑜 𝐶𝑜𝑠𝛼 240 𝐶𝑜𝑠𝛼 Deslocamento 𝑥 𝑥𝑜 𝜐𝑜𝑥𝑡 𝑥𝑜 0 𝑚 𝑥 𝜐𝑜𝑥𝑡 𝑥 240 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝑡 No alvo B 𝑥 3600 𝑚 3600 240 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝑡 𝑡 15 𝐶𝑜𝑠 𝛼 1 Movimento Vertical MRUA 𝑎 𝑐𝑡𝑒 Velocidade 𝜐𝑜𝑦 𝜐𝑜 𝑆𝑒𝑛𝛼 240 𝑆𝑒𝑛𝛼 Deslocamento 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜𝑦𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑦𝑜 0 𝑚 𝑎 981 𝑚𝑠² 𝑦 240 𝑆𝑒𝑛𝛼𝑡 49𝑡2 2 No alvo B 𝑦 600 𝑚 Substituindo 1 em 2 temos 600 240 𝑆𝑒𝑛𝛼 15 𝐶𝑜𝑠𝛼 49 15 𝐶𝑜𝑠𝛼 2 600 3600 𝑇𝑎𝑛𝛼 11025 1 𝐶𝑜𝑠𝛼 2 3 Como 1 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑆𝑒𝑐𝛼 𝑆𝑒𝑐2𝛼 1 𝑇𝑎𝑛2𝛼 Substituindo na equação 3 Temos 600 3600 𝑇𝑎𝑛𝛼 11025 1 𝑇𝑎𝑛2𝛼 1103 𝑇𝑎𝑛𝛼2 36𝑇𝑎𝑛𝛼 1703 0 Resolvendo a equação de 2º grau por Bhaskara 𝑇𝑎𝑛𝛼 𝑏 𝑏2 4 𝑎 𝑐 2𝑎 Da equação quadrática temos 𝑏 36 𝑎 1103 𝑐 1703 𝑇𝑎𝑛𝛼 36 362 4 1103 1703 2 1103 𝑇𝑎𝑛𝛼 269 e 𝑇𝑎𝑛𝛼 0574 Temos duas respostas 𝛼 70𝑜 e 𝛼 30𝑜 Graficamente seria CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 29 Problema 17 Um automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25 𝑘𝑚ℎ Quando passa pelo cruzamento ilustrado na figura um automóvel B que estava parado a 30 𝑚 ao norte dirigese para o sul com uma aceleração constante de 12 𝑚𝑠2 Determine a posição velocidade e aceleração de B relativo á A 5 𝑠 após A passar pelo cruzamento Dados Automóvel A 𝜐𝐴 𝑐𝑡𝑒 𝜐𝐴 25𝑘𝑚ℎ Automóvel B 𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝑎𝐵 12𝑚𝑠2 Determinar Quando A passa pelo cruzamento depois de 𝑡 5 𝑠 Posição relativa de B em relação á A 𝑟𝐵𝐴 Velocidade relativa de B em relação á A 𝜐𝐵𝐴 Aceleração relativa de B em relação á A 𝑎𝐵𝐴 Solução Diagrama Automóvel A MRU 𝜐 𝑐𝑡𝑒 𝜐𝐴 25 𝑘𝑚 ℎ 1ℎ 3600𝑠 103𝑚 1𝑘𝑚 694𝑚𝑠 𝜐𝐴 𝜐𝑜𝐴 694 𝑚 𝑠 𝑎𝐴 0 𝑚 𝑠2 O movimento de A para um tempo t é 𝑥𝐴 𝑥𝑜𝐴 𝜐𝐴𝑡 𝑥𝑜𝐴 0 𝑚 𝑥𝐴 694𝑡 Para 𝑡 5 𝑠 Substituindo temos 𝑥𝐴 347𝑚 𝜐𝐴 694 𝑚 𝑠 𝑎𝐴 0 𝑚 𝑠2 Portanto 𝑟𝐴 347𝑖 𝜐𝐴 694𝑖 𝑎𝐴 0𝑖 Automóvel B MRUA 𝑎 𝑐𝑡𝑒 Para um instante t 𝑎𝐵 12𝑚𝑠2 Velocidade 𝜐𝐵 𝜐𝑜𝐵 𝑎𝐵𝑡 𝜐𝑜𝐵 0 𝑚 𝑠 𝜐𝐵 12𝑡 Deslocamento 𝑦𝐵 𝑦𝑜𝐵 𝜐𝑜𝐵𝑡 1 2 𝑎𝐵𝑡2 𝑦𝑜𝐵 30 𝑚 𝑦𝐵 30 1 2 12𝑡2 Para um instante 𝑡 5 𝑠 Substituindo temos 𝑎𝐵 12 𝑚𝑠2 𝑎𝐵 12𝑗 𝜐𝐵 12 5 6 𝑚𝑠 𝜐𝐵 6𝑗 𝑦𝐵 30 1 2 12 52 15𝑚 𝑦𝐵 15𝑗 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 30 Movimento Relativo Para um instante 𝑡 5 𝑠 Vetor posição de B em relação á A 𝑟𝐵𝐴 Como 𝑟𝐵𝐴 𝑟𝐵 𝑟𝐴 15𝑗 347𝑖 𝑟𝐵𝐴 152 3472 𝑟𝐵𝐴 378 𝑚 𝑇𝑎𝑛𝛼 15 347 𝛼 234 Velocidade de B em relação á A 𝜐𝐵𝐴 Como 𝜐𝐵𝐴 𝜐𝐵 𝜐𝐴 6𝑗 694𝑖 𝜐𝐵𝐴 62 6942 𝜐𝐵𝐴 917𝑚𝑠 𝑇𝑎𝑛𝛽 6 694 𝛽 408 Aceleração de B em relação á A 𝑎𝐵𝐴 Como 𝑎𝐵𝐴 𝑎𝐵 𝑎𝐴 Substituindo 𝑎𝐵𝐴 12𝑗 0𝑖 12𝑗 𝑎𝐵𝐴 12 𝑚𝑠2 𝑎𝐵𝐴 𝑎𝐵 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 31 Problema 18 Do ponto A de um plano inclinado de 𝛽 em relação à horizontal arremessase uma bola com velocidade 𝜐𝑜 ortogonal ao plano A bola atinge o plano no ponto B Determinar o alcance 𝑅 em termos de 𝜐𝑜 e 𝛽 Dados Plano inclinado Ângulo β Bola Velocidade inicial 𝜐𝑜 Ponto de impacto B Determinar Alcance 𝑅 𝑓𝜐𝑜 𝛽 Solução Diagrama Considerando o sistema xy Em x MRUA 𝜐𝑜𝑥 0 𝑚𝑠 Da cinemática Velocidade 𝜐𝑥 𝜐𝑜𝑥 𝑎𝑥𝑡 𝜐𝑥 𝑎𝑥𝑡 1 Deslocamento 𝑥 𝑥𝑜 𝜐𝑜𝑥𝑡 1 2 𝑎𝑥𝑡2 𝑥𝑜 0 𝑚 𝑥 1 2 𝑎𝑥𝑡2 2 Da figura 𝑎𝑥 𝑔 𝑆𝑒𝑛𝛽 Para 𝑥 𝑅 𝑡 𝑡𝑅 Substituindo na equação 2 𝑅 1 2 𝑔 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝑡𝑅 2 𝑡𝑅 2 2𝑅 𝑔 𝑆𝑒𝑛𝛽 3 Em y MRUA 𝜐𝑜𝑦 𝜐𝑜 𝑦𝑜 0 𝑚 Da cinemática Velocidade 𝜐𝑦 𝜐𝑜𝑦 𝑎𝑦𝑡 𝑎𝑦 𝑔 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝜐𝑦 𝜐𝑜 𝑔 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑡 4 Deslocamento 𝑦 𝑦𝑜 𝜐𝑜𝑦𝑡 1 2 𝑎𝑦𝑡2 𝑦𝑜 0 𝑚 𝑦 𝜐𝑜𝑡 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑡2 5 Para 𝑡 𝑡𝑅 𝑦 0 𝑚 Substituindo na equação 5 0 𝜐𝑜𝑡𝑅 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑡𝑅 2 0 𝜐𝑜 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑡𝑅 𝜐𝑜 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑡𝑅 Substituindo 𝑡𝑅 𝜐𝑜 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝛽 2𝑅 𝑔 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝜐0 2 𝑔2 22 𝐶𝑜𝑠2𝛽 2𝑅 𝑔 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝑅 2𝜐02 𝑔 𝑇𝑎𝑛𝛽 𝑆𝑒𝑐𝛽 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 32 Problema 19 O pino B preso no braço AC move se com uma velocidade constante 𝜐 292 𝑚𝑠 O pino pode deslizar livremente pela fenda existente no braço OD Determine a derivada do ângulo 𝜃 que OD faz com a horizontal e a componente radial 𝜐𝑟 da velocidade de B quando a 𝜙 0 e b 𝜙 90 Dados Braço OD com guia Braço AC Pino B Velocidade Constante 𝜐 292𝑚𝑠 Desliza no braço OD Fixo no braço AC Determinar Derivada de 𝜃 Componente Radial da velocidade do pino B 𝜐𝑟 Para a 𝜙 0 b 𝜙 90 Solução Diagrama Do diagrama temos Braço OD coordenadas polares Velocidade 𝜐𝐵 𝜐𝑟𝑢𝑟 𝜐𝜃𝑢𝜃 Como 𝜐𝑟 𝑟 𝜐𝜃 𝑟𝜃 𝜐𝐵 𝑟𝑢𝑟 𝑟𝜃𝑢𝑟 1 Também 𝜐𝐵 𝜐𝑢𝜐 𝜐𝑜𝑢𝜐 𝜐𝐵 𝜐𝑜 2 Da equação 1 temos 𝜐𝐵 𝑟2 𝑟𝜃 2 3 Das equações 2 e 3 𝜐𝑜 𝑟2 𝑟𝜃 2 𝜃 2 𝜐0 2 𝑟 2 𝑟2 4 Do diagrama 𝑟 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝑆𝑒𝑛𝜙 5 𝑟 𝑅 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜃 Movimento circular do braço AB na barra AC Velocidade 𝜐𝐵 𝜐𝑅𝑢𝑅 𝜐𝜙𝑢𝜙 𝜐𝐵 𝑅𝑢𝑟 𝑅𝜙𝑢𝜙 𝑅 0 𝑚𝑠 𝜐𝐵 𝑅𝜙𝑢𝜙 Como 𝜐0 𝜐𝐵 𝜐0 𝑅 𝜙 Do diagrama 𝑟 𝐶𝑜𝑠𝜃 0501 𝑅 𝐶𝑜𝑠𝜙 6 Fazendo 5² 6² temos 𝑟² 𝑅² 0501² 2 0501 𝑅 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑟2 0292 𝑅 𝐶𝑜𝑠𝜙 7 Derivando 7 2𝑟 𝑟 𝑅 𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜙 𝑟 𝑅 𝜙 𝑆𝑒𝑛𝜙 2𝑟 𝑟 𝜐0𝑆𝑒𝑛𝜙 2𝑟 8 Portanto CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 33 𝜐𝑟 𝑟 𝜐0𝑆𝑒𝑛𝜙 2𝑟 a Para 𝜙 0 𝜃 0 Temos 𝜃 𝜐𝑟 Da equação 6 𝑟 𝐶𝑜𝑠0 0501 0203 𝐶𝑜𝑠0 𝑟 0704 𝑚 Da equação 8 𝜐𝑟 𝑟 292 𝑆𝑒𝑛0 2 0704 0 𝑚𝑠 Substituindo na equação 4 𝜃² 292 0² 0704² 𝜃 414 𝑟𝑎𝑑𝑠 b Para 𝜙 90 Temos 𝜃 𝜐𝑟 𝑇𝑎𝑛𝜃 0203 0501 𝜃 2205 Substituindo em 6 𝑟 𝐶𝑜𝑠 2205 0501 0203 𝐶𝑜𝑠 90 𝑟 054 𝑚 Substituindo em 8 𝜐𝑟 292 𝑆𝑒𝑛 90 2 054 2704𝑚𝑠 Substituindo em 4 𝜃 2 292² 2704² 054² 𝜃 416 𝑟𝑎𝑑𝑠 CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 34 Problema 110 Uma partícula inicia seu movimento no ponto O de acordo a seguinte equação 𝑆 10 𝑡 𝑆 em centímetros 𝑡 em segundos sobre uma circunferência de raio igual a 10 𝑐𝑚 contida no plano Q o qual gira em torno do eixo z com velocidade angular constante de 10𝑟𝑎𝑑𝑠 Sabendo que a partícula inicia seu movimento quando 𝑡 0 𝑠 𝑆 0 𝑐𝑚 e 𝜃 0 𝑟𝑎𝑑 determinar a velocidade e aceleração da partícula quando 𝑡 3 𝑠 Dados Partícula 𝑃 Equação de movimento 𝑆 10 𝑡 𝑆 em cm 𝑡 em s Raio da circunferência 𝐵𝑃 10 𝑐𝑚 Plano Q Velocidade angular constante 𝜃 1 𝑟𝑎𝑑𝑠 Para 𝑡 0 𝑠 𝑆 0 𝑐𝑚 𝜃 0 𝑟𝑎𝑑 Determinar Para 𝑡 3 𝑠 A velocidade da partícula υ A aceleração da partícula 𝑎 Solução Diagrama Considerando as coordenadas cilíndricas R z Vetor posição 𝑂𝑃 𝑟 𝑟 𝑅𝑢𝑅 𝑧𝑘 Da figura 𝑅 10 𝐵𝑃 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝑍 𝐵𝑃 𝑆𝑒𝑛𝛼 Como 𝑆 𝛼 𝐵𝑃 10 𝛼 Mas 𝑆 10 𝑡 10 𝑡 10 𝛼 𝑡 𝛼 numericamente Substituindo 𝑅 10 10𝐶𝑜𝑠𝑡 101 𝐶𝑜𝑠𝑡 𝑍 10 𝑆𝑒𝑛𝑡 Velocidade 𝜐 𝑅𝑢𝑅 𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑧𝑘 1 Definindo as componentes 𝑅 100 𝑆𝑒𝑛𝑡 10𝑆𝑒𝑛𝑡 𝑧 10 𝐶𝑜𝑠𝑡 Para 𝑡 3 𝑠 𝛼 3 𝑟𝑎𝑑 𝑅 101 𝐶𝑜𝑠3 198𝑐𝑚 𝑅 10𝑆𝑒𝑛3 14𝑐𝑚𝑠 𝑧 10 𝐶𝑜𝑠3 98𝑐𝑚𝑠 Substituindo na velocidade equação 1 𝜐 14𝑢𝑅 198𝑢𝜃 98𝑘 𝜐 14² 198² 98² 𝜐 212 𝑐𝑚𝑠 Aceleração CET166 Dinâmica dos Sólidos Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 35 𝑎 𝑅 𝑅𝜃 2𝑢𝑅 𝑅𝜃 2𝑅𝜃𝑢𝜃 𝑧𝑘 2 Determinando as componentes da aceleração 𝑅 10𝐶𝑜𝑠𝑡 𝜃 0 𝑧 10𝑆𝑒𝑛𝑡 Para 𝑡 3 𝑠 𝛼 3 𝑟𝑎𝑑 𝑅 10 𝐶𝑜𝑠3 98𝑐𝑚𝑠2 𝑧 10 𝑆𝑒𝑛3 14𝑐𝑚𝑠2 Substituindo na equação 2 𝑎 297𝑢𝑅 28𝑢𝜃 14𝑘 𝑎 2972 282 14² 𝑎 299 𝑐𝑚𝑠2