Derivadas e Integrais

Faculdade de Petrolina Curso de Ciências Econômicas Matemática Aplicada D Sc João Ricardo F de Lima Professor Titular Lista de Matemática Aplicada 06 de Junho de 2024 Calcule a lim x 2x² x 3 3x² 5 b lim x1 x 1 x 1 c lim x5 4x² 100 x 5 d Se f0 5 e fx 3x12 dx então f4 21 e 04 x² 4 x 2 dx f Seja a Função F R³ R homogênea de grau 2 e diferenciável Considere Fxyz F234 6 Qual o valor de F468 g Considere a função definida por fxy x34 y14 Qual o grau de homogeneidade desta função h Dada a função fxy x² y² 4xy 6x verifique se a matriz hessiana de f é simétrica para xy ℜ² i Dada a função 10x 2y 3x² xy y² verifique se o ponto de máximo global da função é menor do que 15 para todo xy ℜ² j lim x lnx x k Considere a oferta inversa de mercado de um bem dada por p 02q² q 100 Qual o excedente do produtor se o preço de mercado de R31000 Lista de Matemática aplicada Calcule a lim x 2x² x 3 3x² 5 PARA RESOLVER ESSE PROBLEMA EU DEVO EVITAR O QUE OCORRE QUANDO FAZEMOS A SUBSTITUIÇÃO DIRETA ENTÃO DEVO MODIFICAR A FUNÇÃO PODEMOS DIVIDIR PELO DENOMINADOR DE MAIOR POTÊNCIA lim x 2x² x 3 3x² 5 lim x 2x² x² x x² 3 x² 3x² x² 5 x² lim x 2 1x 3x² 3 5x² E AGORA EU POSSO APLICAR O VALOR INFINITO DIRETO EM x lim x 2 1x0 3x0 3 5x0 23 b lim x1 x 1x 1 NESSA O PROBLEMA É QUE SE EU APLICAR O VALOR 1 DIRETO EU VOU TER UMA DIVISÃO POR 0 QUE É INDETERMINADO ENTÃO lim x1 x 1x 1 lim x1 x 1x 1 x 1x 1 xx x x 1 x 1 lim x1 x1x 1 x1 lim x1 x 1 2 c lim x5 4x² 100x 5 MAIS UMA VEZ O PROBLEMA DA DIVISÃO POR 0 lim x5 4x² 100x 5 2x 102x 30 x 5 lim x5 2x 10 2 x 5 x 5 lim x5 2 2x 10 lim x5 4x 20 40 d Se f0 5 e fx 3x dx então f4 21 PRIMEIRO RESOLVEMOS A INTEGRAL 3x dx 3 x12 dx 3 23 x32 2x3 c E f0 5 então o valor da constante c 5 Logo fx 2x3 5 e para x4 f4 243 5 264 5 16 5 21 CORRETO e 04 x² 4x 2 dx 04 x 2x 2 x 2 dx 04 x 2 dx x²2 04 2x 04 162 8 8 8 0 f Seja a função F R³ R homogênea de grau 2 e diferencial considere Fxyz F234 6 Qual o valor de F468 F468 F22 23 24 logo k 2 como ela é homogênea de grau 2 então F468 k² F234 2² 6 4 6 24 g Considere a função definida por fxy x34 y14 qual o grau de homogeneidade dessa função fkx ky kx34 ky14 k34 x34 k14 y14 fkx ky k34 k14 x34 y14 k fxy grau 1 h Dada a função fxy x² y² 4xy 6x verifique se a matriz hessiana de f é simétrica para xy IR² A matriz hessiana é a matriz de derivadas parciais de ordem 2 Hfxy ²fx² ²fxy ²fyx ²fy² 2 4 4 2 A matriz é simétrica Derivada parcial em relação a x 2x 4y 6 Derivada parcial em relação a y 2y 4x ²fx² 2 ²fxy 4 ²fyx 4 ²fy² 2 i Dada a função 50x 2y 3x² xy y² verifique se o ponto máximo global da função é menor do que 15 para todo xy R² Derivadas parciais x 50 6x y y 2 x 2y Ponto crítico 50 6x y 0 2 x 2y 0 22 xy Ao aplicar xy 22 em 50x 2y 3x² xy y² encontramos 12 mas não sabemos se esse é um valor de máximo ou de mínimo da função Ao observar a função vemos que os termos predominantes são negativos e quando x e y aumentam para ou diminuem para a função tende a ir sempre para logo 12 é o maior valor e menor que 15 Também poderia ser resolvida com a matriz Hessiana 1 lim x lnxx Aplicando LHôpital derivadas lim x lnxx lim x 1x 12x lim x 2x x lim x 2x x lim x 2x 0 K Considere a oferta inversa de mercado de um bem dada por p 02q² q 100 Qual o excedente do produto se o preço do mercado for de 31000 Calculando q 310 02q² q 100 02q² q 210 0 Por Baskiora q 30 logo q 30 bens Excedente E ₀³⁰ 02q² q 100 dq 02 q³3 q²2 100q ₀³⁰ E 0230³3 30²2 10030 5250 31030 5250 9300 5250 4050