Edminister - Eletromagnetismo - Italiano

Indice V Prefazione 1 Capitolo 1 — Analisi vettoriale 1.1 Notazione vettoriale; 1.2 Algebra vettoriale; 1.3 Sistemi di coordinate; 1.4 Volumi, superfici e segmenti differenziali; 1.5 Campi vettoriali; 1.6 Trasformazioni; Problemi risolti 13 Capitolo 2 — Forze di Coulomb e intensità del campo elettrico 2.1 Legge di Coulomb; 2.2 Intensità di campo elettrico; 2.3 Distribuzioni di carica; 2.4 Configurazioni di carica standard; Problemi risolti 27 Capitolo 3 — Flusso elettrico e legge di Gauss 3.1 Carica netta in una regione; 3.2 Flusso elettrico e densità di flusso; 3.3 Legge di Gauss; 3.4 Relazione tra densità di flusso e intensità di campo elettrico; 3.5 Superfici gaussiane speciali; Problemi risolti 39 Capitolo 4 — Divergenza e teorema della divergenza 4.1 Divergenza; 4.2 Divergenza in coordinate cartesiane; 4.3 Divergenza di D; 4.4 L'operatore del, o nabla; 4.5 Il teorema della divergenza; Problemi risolti 50 Capitolo 5 — Energia e potenziale elettrico di sistemi di cariche 5.1 Lavoro compiuto per spostare una carica puntiforme; 5.2 Potenziale elettrico tra due punti; 5.3 Potenziale di una carica puntiforme; 5.4 Potenziale di una distribuzione di cariche; 5.5 Gradiente; 5.6 Relazione tra E e V; 5.7 Energia nei campi elettrostatici; Problemi risolti 65 Capitolo 6 — Corrente, densità di corrente e conduttori 6.1 Introduzione; 6.2 Cariche in moto; 6.3 Densità di corrente di convezione J; 6.4 Densità di corrente di conduzione Jc; 6.5 Conduttività σ; 6.6 Corrente I; 6.7 Resistenza R; 6.8 Densità di corrente laminare K; 6.9 Continuità della corrente; 6.10 Condizioni ai contorno fra conduttore e dielettrico; Problemi risolti 81 Capitolo 7 — Capacità e materiali dielettrici 7.1 Polarizzazione P e permittività relativa εr; 7.2 D ed E assegnata la tensione; 7.3 D ed E assegnata la carica; 7.4 Condizioni ai contorno sull'interfaccia tra due dielettrici; 7.5 Capacità e condensatori; 7.6 Condensatori a più dielettrici; 7.7 Energia immagazzinata in un condensatore; Problemi risolti 96 Capitolo 8 — Equazione di Laplace 8.1 Introduzione; 8.2 Equazione di Poisson ed equazione di Laplace; 8.3 Forme esplicite dell'equazione di Laplace; 8.4 Il teorema di unicità; 8.5 Teoremi del valor medio e del valor massimo; 8.6 Soluzione cartesiana in una variabile; 8.7 Soluzione prodotto in coordinate cartesiane; 8.8 Soluzione prodotto in coordinate cilindriche; 8.9 Soluzione prodotto in coordinate sferiche; Problemi risolti 113 Capitolo 9 — La legge di Ampère e il campo magnetico 9.1 Introduzione; 9.2 Legge di Biot-Savart; 9.3 Legge di Ampère; 9.4 Rotore; 9.5 Densità di corrente J, e Δ x H; 9.6 Densità di flusso magnetico B; 9.7 Potenziale magnetico vettore A; 9.8 Teorema di Stokes; Problemi risolti 128 Capitolo 10 — Forze e momenti nei campi magnetici 10.1 Azioni magnetiche su particelle; 10.2 Campi elettrici e magnetici sovrapposti; 10.3 Forza magnetica su di un elemento di corrente; 10.4 Lavoro e potenza; 10.5 Momento di una forza; 10.6 Momento magnetico di una spira piana; Problemi risolti 139 Capitolo 11 — Induttanza e circuiti magnetici 11.1 Tensione di autoinduzione; 11.2 Induttori e induttanza; 11.3 Forme standard; 11.4 Induttanza mutua; 11.5 Circuiti magnetici; 11.6 Non linearità della curva B-H; 11.7 Legge di Ampère per i circuiti magnetici; 11.8 Nuclei con traferri; 11.9 Bobine multiple; 11.10 Circuiti magnetici paralleli; Problemi risolti 159 Capitolo 12 — Corrente di spostamento e fem indotta 12.1 Corrente di spostamento; 12.2 Rapporto tra Je e Jp; 12.3 Legge di Faraday; 12.4 Conduttori in moto attraverso campi indipendenti dal tempo; 12.5 Conduttori in moto attraverso campi dipendenti dal tempo; Problemi risolti 171 Capitolo 13 — Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno 13.1 Introduzione; 13.2 Relazioni ai contorno per campi magnetici; 13.3 Foglio di corrente al contorno; 13.4 Sommario delle condizioni ai contorno; 13.5 Equazioni di Maxwell; Problemi risolti 180 Capitolo 14 — Onde elettromagnetiche 14.1 Introduzione; 14.2 Equazioni d'onda; 14.3 Soluzioni in coordinate cartesiane; 14.4 Soluzioni per mezzi parzialmente conduttori; 14.5 Soluzioni per dielettrici perfetti; 14.6 Soluzioni nel caso di buoni conduttori; 14.7 Profondità di penetrazione; 14.8 Onde riflesse; 14.9 Onde stazionarie; 14.10 Potenza e vettore di Poynting; Problemi risolti 197 Appendice 198 Indice analitico Prefazione Questo libro intende essere un utile supplemento ai testi sulla teoria dei campi elettromagnetici ad uso degli ingegneri, ma può anche esser usato come testo di base per un breve corso introduttivo. Come sempre nella collana Schaum, si dà particolare importanza alla soluzione dei problemi. Ogni capitolo ne contiene un'ampia scelta con soluzioni dettagliate, e un ulteriore gruppo con le risposte, preceduti da un'esposizione semplice dei principi e dei fatti che permettono di capire e di risolvere ogni problema. Anche se i fenomeni elettromagnetici del mondo fisico tendono ad essere piuttosto complicati, qui si è deciso di presentare per lo più dei problemi semplici e lineari. Questo dovrebbe essere vantaggioso per lo studente che cerca aiuto in un particolare argomento, e anche per quelli che dovessero usare il testo per un ripasso della materia. In tutto il libro si è fatto uso della matematica più semplice, e si è evitato l'approccio astratto. Mi sono servito spesso di esempi concreti, ed ho fornito molti grafici e molti disegni. In tanti anni di insegnamento mi sono reso conto che per la maggior parte dei problemi la soluzione si avvia con uno schizzo ben fatto. Questo libro è dedicato ai miei studenti, che mi hanno fatto vedere dove risiedono le difficoltà dell'argomento. Per l'assistenza editoriale debbo ringraziare quelli della McGraw-Hill. Debbo riconoscenza a Thomas K. Connell per la cura con cui ha controllato i problemi e ha dato suggerimenti. E grazie a Eileen Kerns, che ha abilmente battuto il lavoro a macchina, e infine grazie alla mia famiglia, specialmente a mia moglie Nina, che mi ha sostenuto e incoraggiato: senza di lei questo libro non sarebbe stato scritto. Joseph A. Edminister CAPITOLO 1 Analisi vettoriale 1.1 NOTAZIONE VETTORIALE Per distinguere i vettori (grandezze dotate di intensità e direzione) dagli scalari (grandezze dotate di sola intensità) i primi vengono indicati con simboli in neretto. Il vettore unitario, quello cioè di valore assoluto (o intensità, o lunghezza) 1, sarà qui sempre indicato con una a minuscola in neretto. Il vettore unitario, o versore, nella direzione di un vettore A, si ottiene dividendo A per il relativo valore assoluto: aA = A/|A| ovvero A/A in cui |A| = A = √A·A (vedi il par. 1.2). Se usiamo i vettori unitari ax, ay, az presi sugli assi x, y, z di un arbitrario sistema cartesiano di riferimento, potremo scrivere un qualsiasi vettore tramite le sue componenti: A = Axa, + Aya + Aza 1.2 ALGEBRA VETTORIALE 1. I vettori si possono sommare e sottrarre. A ± B = (Axax ± Ayay ± Azaz) + (Bxax ± Byay ± Bzaz) = (Ax ± Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az 2. Valgono le leggi: associativa, distributiva, commutativa. A + (B + C) = (A + B) + C k(A + B) = ka + kB (k1 + k2)A = k1A + k2A A ± B = B ± A 3. Il prodotto scalare, o prodotto punto, di due vettori è per definizione 1: A · B = AB cos θ (e si legge "A scalar B") essendo θ l’angolo più piccolo compreso fra e B. Usando le componenti, vediamo che A · B = AxBx + AyBy + AzBz E in particolare A · A = |A|² = Ax² + Ay² + Az² 4. Il prodotto vettoriale di due vettori è per definizione 1: A × B = (AB sin θ)na (e si legge "A vettor B") essendo θ l’angolo più piccolo compreso tra A e B, ed na il versore normale al piano determinato da A e B quando vengono condotti da un punto comune. A questo piano esistono due normali, quindi occorre un’ulteriore specifica: la normale cui ci riferiamo ha la stessa direzione di una vite destra, al ruotare di A verso B (fig. 1-1). A causa di questa scelta nella direzione, qui non vale la proprietà commutativa, e avremo invece A × B = -B × A 1 NdT. Nel testo si userà la notazione A · B, che è quella anglosassone, per prodotto scalare e A × B per prodotto vettoriale (anche rappresentato col Δ). Useremo altresì il punto invece della virgola nella notazione decimale, pratica ormai resa comune dalla diffusione dei calcolatori elettronici, nei quali essa è ovvia. 2 ANALISI VETTORIALE E sviluppando il prodotto vettoriale con le componenti, A × B = (Axaz + Ayaz + Azaz) × (Bxaz + Byaz + Bzaz) = (AyBz - AzBy)ax + (AzBz - Azz)ay + (AxBy - AyBy)az oppure, in forma di determinante: A x B = | ax ay az | | Ax Ay Az | | Bx By Bz | 1.3 SISTEMI DI COORDINATE Un problema che presenti una simmetria cilindrica, o sferica, può sempre esser espresso, e risolto, nel familiare sistema cartesiano ortogonale. La soluzione però non conserverebbe la simmetria, e quasi sempre sarebbe inutilmente complessa. Nel libro altro useremo, in aggiunta a quelli cartesiani, anche i sistemi di coordinate cilindriche e sferiche. Vediamoli tutti e tre insieme, per capirne somiglianze e differenze. Fig. 1-2 Un punto P viene descritto da tre coordinate sia nel sistema cartesiano (x, y, z) che in quello cilindrico (r, φ, z) che in quello sferico (r, θ, φ), come si vede in fig. 1-2. L’ordine di presentazione delle coordinate è importante e va rigorosamente seguito. L’angolo φ è lo stesso sia nel sistema cilindrico che nello sferico. Nel primo però esso appare in seconda posizione (r, φ, z), nel secondo in terza (r, θ, φ). Il simbolo r è usato nelle coordinate cilindriche e Fig. 1-3 in quelle sferiche, ma indica due cose del tutto diverse. Nelle cilindriche esso misura la distanza dall’asse delle z in un piano ad esse normale; nelle sferiche esso dà la distanza tra il punto considerato e l’origine. Sarà sempre chiaro dal contesto del problema a quale r ci si riferisce. Un punto viene anche definito dall’intersezione di tre superfici ortogonali, come in fig. 1-3. In coordinate cartesiane queste superfici sono i piani infiniti x = cost., y = cost., z = cost. In coordinate cilindriche, z = cost. è lo stesso piano infinito del caso precedente; φ = cost. è un semipiano, il cui bordo coincide con l’asse delle z; r = cost. è un cilindro circolare retto. Queste tre superfici sono ortogonali, e la loro intersezione individua il punto P. In coordinate sferiche, φ = cost. è lo stesso semipiano visto nel caso delle cilindriche; r = cost. è una sfera con centro nell’origine; θ = cost. è un cono circolare retto con l’asse coincidente con l’asse z e vertice nell’origine. Notare come θ sia limitato nel campo 0 ≤ θ ≤ π. ANALISI VETTORIALE In fig. 1-4 vediamo i tre versori nel punto P. Nel sistema cartesiano questi ultimi hanno direzioni fisse, indipendenti dalla collocazione di P. Questo non vale nei due rimanenti sistemi (tranne nel caso di az). Ogni versore è normale alla sua superficie coordinata, ed è nella direzione in cui la coordinata aumenta. Notiamo che tutti questi sistemi sono destorsi: ax x ay = az ar x aφ = az aθ x ar = aφ Le componenti di un vettore nei tre sistemi sono: A = Axa + Aya + Aza (cartesiano) A = Ara + Aφaφ + Aza (cilindrico) A = Ara + Aθaθ + Aφaφ (sferico) Noteremo che le componenti Ax, Ay, Az ecc. non sono in genere delle costanti, ma più spesso delle funzioni delle coordinate di quel particolare sistema. 1.4 VOLUMI, SUPERFICI E SEGMENTI DIFFERENZIALI Se incrementiamo le coordinate di un punto P: (x + dx, y + dy, z + dz) oppure (r + dr, φ + dφ, z + dz) e anche (r + dr, θ + dθ, φ + dφ), formiamo un volume differenziale dV. Questo volume, del primo ordine nelle quantità infinitesime, e in tutti e tre i sistemi di coordinate una forma parallelepipeda. Il valore di dV in ogni sistema è dato in fig. 1-5. Nella stessa figura possiamo leggere le areole che limitano il volume differenziale. In coordinate sferiche per esempio l’elemento di superficie differenziale, perpendicolare ad ar, è dS = (r dθφ)(r sin θdφ) = r² sin θdθdφ ANALISI VETTORIALE 1.7. Dati A = 2aₓ + 4aᵧ e B = 6aᵧ − 4a𝓏, trovare l'angolo più piccolo compreso fra loro usando: (a) il prodotto vettoriale, (b) il prodotto scalare. (a) | aₓ aᵧ a𝓏 | A x B = | 2 4 0 | = −16aₓ + 8aᵧ + 12a𝓏 | 0 6 −4 | |A| = √(2)² + (4)² + (0)² = 4.47 |B| = √(0)² + (6)² + (−4)² = 7.21 |A x B| = √(−16)² + (8)² + (12)² = 21.54 E allora essendo |A x B| = |A| |B| sinθ, 21.54 sinθ = —————— * 0.668 cioè θ = 41.9° (4.47)(7.21) (b) A ⋅ B = (2)(0) + (4)(6) + (0)(−4) = 24 24 cosθ = ——— * 0.745 cioè θ = 41.9° (4.47)(7.21) 1.8. Dato F = (y − 1)aₓ + 2xaᵧ trovare il vettore in (2, 2, 1) e la sua proiezione su B, essendo B = 5aₓ − 4aᵧ + 2a𝓏. F(2, 2, 1) = (2 − 1)aₓ + (2)(2)aᵧ = aₓ + 4aᵧ Come si vede in fig. 1-9, la proiezione di un vettore su un secondo si ottiene trovando il vettore unitario o versore nella direzione del secondo vettore e facendo il prodotto scalare con il primo. Proiezione di A su B = A ⋅ a𝓊 A ⋅ B ———— = —————— |B| E così, in corrispondenza di (2, 2, 1), F ⋅ B (1)(5) + (4)(−1) + (0)(2) Proiezione di F su B = ———— = ———————— = 1 |B| √30 1.9. Dati A = aₓ + aᵧ, B = aₓ + 2a𝓏 e C = 2aᵧ + a𝓏, trovare (A x B) x C e confrontarlo con A x (B x C). | aₓ aᵧ a𝓏 | A x B = | 1 1 0 | = 2aₓ − 2aᵧ − a𝓏 | 1 0 2 | Allora (A x B) x C = | aₓ aᵧ a𝓏 | = −2aₓ + 4aᵧ | −2 −2 −1 | | 0 2 1 | Ugualmente si trova A x (B x C) = 2aₓ − 2aᵧ + 3a𝓏. E allora nel prodotto triplo vettoriale le parentesi che indicano quale prodotto vettoriale deve essere eseguito per primo sono essenziali. 1.10. Con gli stessi vettori A, B, C del problema 1.9 trovare A ⋅ B x C e confrontarlo con A ⋅ B ⋅ C. Dal problema 1.9, B x C = −4aₐᵧ − aₓ + 2a𝓏. Allora A ⋅ B x C = (1)(−4) + (1)(−1) + (0)(2) = −5