Atividade Extra de Eletromagnetismo

Atividade de Eletromagnetismo 1 15 a 05 Escreva as Equações de Maxwell para o vácuo na forma integral e mostre como podemos obtêlas na sua forma diferencial b 05 Diga quais são as leis do eletromagnetismo associadas a cada uma das equações de Maxwell do item a e discorra a respeito da física associada a cada uma delas c 05 Mostre que aplicando as equações de Maxwell para o vácuo em regiões do espaço em que não há cargas ρ 0 nem correntes J 0 chegase em equações de onda para os campos E r t e B r t com a seguinte relação 1μ0ε0 3x108 ms 2 15 O potencial elétrico de uma determinada configuração é dado pela expressão ϕr A eαr r em que A e α são constantes Encontre a 05 O campo elétrico E r b 05 a densidade de carga ρr e c 05 a carga total Q 3 20 Um capacitor de planas e paralelas é formado por dois discos circulares de raio a separados por uma distância d a no vácuo As placas estão ligadas a um gerador AC que produz uma carga no capacitor Qt Q0senωt Admita que o campo E entre as placas é uniforme desprezando fuga de linhas de força e tome o eixo z ao longo do eixo do capacitor Calcule o campo magnético B entre as placas do capacitor a uma distância r perpendicular ao eixo z para a 10 r a b 10 r a 4 20 Considere um solenóide de raio a e que no seu interior há um campo magnético uniforme dado por B B0sin ωtk A partir disso determine o campo elétrico E induzido nas regiões para a10 r a b 10 r a 5 30 A expressão para o campo elétrico de certa onda eletromagnética é dada por E yt E0 cosky ωtk a 10 Qual é a expressão correspondente para o campo magnético b 05 Calcule E B c 05 Calcule E B d 10 Agora considere que essa onda eletromagnética incide sobre um filtro polarizador disposto perpendicularmente ao eixo y e que tem o eixo de polarização orientado paralelamente à direção do versor û cos θi sin θk sendo θ o ângulo formado entre a direção de polarização do filtro e a direção x A partir disso determine a expressão do campo elétrico da onda que emerge do polarizador a As Lei de Maxwell na forma integral apresentadas como 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 5 𝐸7 𝑑𝐴 𝑄 𝜀 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 5 𝐵7 𝑑𝐴 0 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦 5 𝐸7 𝑑𝑙 𝑑Φ 𝑑𝑡 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙 5 𝐵7 𝑑𝑙 𝜇𝜀 𝑑Φ 𝑑𝑡 𝜇𝑖 A Lei de Gauss pode ser rescrita na forma diferencial com o auxílio do teorema da Divergência Assim a integral de superfície pode ser alterada para uma integral no volume V de forma que 5 𝐸7 𝑑𝐴 L M77 𝐸7O𝑑𝑉 L M77 𝐸7O𝑑𝑉 𝑄 𝜀 Então a carga interna a superfície S pode ser rescrita com um integral da densidade de carga encerada sobre um volume delimitado por um 𝑑𝑉 Então L M77 𝐸7O𝑑𝑉 𝑄 𝜀 L M77 𝐸7O𝑑𝑉 1 𝜀 L 𝜌𝑑𝑉 Assim por uma igualdade de integrantes obtêmse L M77 𝐸7O𝑑𝑉 L 𝜌 𝜀 𝑑𝑉 77 𝐸7 𝜌 𝜀 O mesmo argumento do teorema da Divergência pode ser empregado para reescrever a Lei de Gauss do magnetismo Assim 5 𝐵7 𝑑𝐴 L M77 𝐵7O𝑑𝑉 L M77 𝐵7O𝑑𝑉 0 Como a superfície V não é nula têmse 77 𝐵7 0 A Lei de Faraday é reescrita na forma diferencial com o emprego do teorema do rotacional em que a integral de linha é substituída por uma integral na superfície S 5 𝐸7 𝑑𝑙 L M77 𝐸7O𝑑𝐴 L M77 𝐸7O𝑑𝐴 𝑑Φ 𝑑𝑡 Por outro lado a variação temporal do fluxo magnético pode ser calculada pela integral do campo magnético no elemento de área Assim L M77 𝐸7O𝑑𝐴 𝐵7 𝑑𝐴 𝑡 Com equidade dos integrantes encontrase L M77 𝐸7O𝑑𝐴 L 𝐵7 𝑡 𝑑𝐴 77 𝐸7 𝐵7 𝑡 Por fim a Lei de AmpèreMaxwell também se aproveita do Teoria do rotacional para reescrever a integral de linha do campo magnético 5 𝐵7 𝑑𝑙 L M77 𝐵7O𝑑𝐴 L M77 𝐵7O𝑑𝐴 𝑑Φ 𝑑𝑡 𝜇𝑖 Semelhante ao fluxo magnético podemos reescrever a variação temporal do campo elétrico como 𝑑Φ 𝑑𝑡 𝐸7 𝑑𝐴 𝑡 L 𝐸7 𝑡 𝑑𝐴 E ainda a corrente elétrica i pode ser reescrito como função da densidade de corrente 𝐽 em um elemento de área Dessa forma 𝑖 L 𝐽 𝑑𝐴 Então chegamos ao resultado L M77 𝐵7O 𝑑𝐴 𝜇𝜀 L 𝐸7 𝑡 𝑑𝐴 𝜇 L 𝐽 𝑑𝐴 Que pela igualdade dos integrantes permite obter L M77 𝐵7O 𝑑𝐴 𝜇𝜀 L 𝜇𝜀 𝐸7 𝑡 𝜇 𝐽 𝑑𝐴 77 𝐵7 𝜇𝜀 𝐸7 𝑡 𝜇 𝐽 b A Lei de Gauss para o campo elétrico expressa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica total contida dentro dela revelando a física da dispersão e concentração de cargas elétricas em torno de objetos A Lei de Gauss para o campo magnético afirma que o fluxo magnético através de uma superfície fechada é sempre zero evidenciando a ausência de monopólos magnéticos na natureza e a física da origem e distribuição dos campos magnéticos A Lei de Faraday da indução magnética mostra como uma mudança no fluxo magnético através de uma superfície induz uma corrente elétrica nela demonstrando a relação íntima entre os campos magnéticos variáveis no tempo e os campos elétricos induzidos fundamentando os princípios dos geradores eletromagnéticos A Lei de AmpèreMaxwell combina a Lei de Ampère tradicional com a contribuição da corrente de deslocamento revelando como correntes elétricas e variações temporais dos campos elétricos geram campos magnéticos e vice versa elucidando a interdependência entre os campos elétricos e magnéticos na propagação das ondas eletromagnéticas c No vácuo admitimos que não há presença de cargas elétricas 𝜌 0 e nem de corrente elétricas 𝐽 0 Assim a Leis de Maxweel na forma diferencial resultam em 77 𝐸7 0 77 𝐵7 0 77 𝐸7 𝐵7 𝑡 77 𝐵7 𝜇𝜀 𝐸7 𝑡 Por uma questão de simplicidade vamos admitir que o campo magnético e elétrico viaja apenas na direção z Assim 𝐸7 𝐸7𝑧 𝑡 𝐵7 𝐵7𝑧 𝑡 Observe que os campos tem dependência apenas em z de forma que derivadas em relação a x e y serão nulas Então precisamos calcular os divergentes e rotacionais que existem nas Lei de Maxwell 77 𝐸7 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 77 𝐸7 𝐸 𝑧 77 𝐵7 𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 𝑧 77 𝐵7 𝐵 𝑧 77 𝐸7 𝚤 𝚥 𝑘 𝐸 𝐸 𝐸 a b 𝚤 a b 𝚥 a b 𝑘 𝚤 𝚥 77 𝐵7 𝚤 𝚥 𝑘 𝐵 𝐵 𝐵 a b 𝚤 a b 𝚥 a b 𝑘 𝚤 𝚥 Assim encontramos 𝐸 𝑧 0 𝐵 𝑧 0 𝐸 𝑧 𝚤 𝐸 𝑧 𝚥 𝐵 𝑡 𝚤 𝐵 𝑡 𝚥 𝐵 𝑡 𝑘 𝐵 𝑧 𝚤 𝐵 𝑧 𝚥 𝜇𝜀 c𝐸 𝑡 𝚤 𝐸 𝑡 𝚥 𝐸 𝑡 𝑘d Observe que o sistema nos leva a seguinte conclusão 𝐸 𝑧 𝐵 𝑧 𝐸 𝑡 𝐵 𝑡 0 Então 𝐸 𝑧 𝚤 𝐸 𝑧 𝚥 𝐵 𝑡 𝚤 𝐵 𝑡 𝚥 𝐵 𝑧 𝚤 𝐵 𝑧 𝚥 𝜇𝜀 c𝐸 𝑡 𝚤 𝐸 𝑡 𝚥d Dessa forma podemos escrever dois sistemas de equações considerando as igualdades nos versores e 𝜇𝜀 e e 𝜇𝜀 Fazendo a derivada do tempo do primeiro par de equações em relação a t e depois a z encontramos e 𝜇𝜀 e e 𝜇𝜀 Como resultado do cálculo de duas variáveis as derivadas mistas 𝑡𝑧 e 𝑧𝑡 são simétricas Assim 1𝐸 𝑡𝑧 1𝐸 𝑧𝑡 Assim as equações podem ser unidas 1 𝐵 𝑧1 𝜇𝜀 1𝐵 𝑡1 0 1 𝐸 𝑧1 𝜇𝜀 1𝐸 𝑡1 0 Isso mostra que há duas ondas transversais propagando na mesma direção z Isso é evidenciado quando comparamos essas equações com a equação da onda 1𝑓 𝑥1 1 𝑣1 1𝑓 𝑡1 0 Em que 𝑣 é a velocidade de propagação Dessa forma essa onda deve viajar com uma velocidade 1 𝑣1 𝜇𝜀 𝑣 1 h𝜇𝜀 Substituindo os valores numéricos das constantes no SI obtemos 𝑣 1 i4𝜋 1023𝑇 𝑚 n8854210241 𝐶 𝑁 𝑚1t 𝑣 299792105𝑚𝑠 Esse valor de velocidade corresponde a velocidade da luz no vácuo a O campo elétrico é obtido pelo operador gradiente Dizemos que a componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção Assim 𝐸7 𝜙 Em coordenadas esférica o operador gradiente é definido por 𝜙 𝜙 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜙 𝜙 𝜙 1 𝑟 𝜙 𝜃 𝜃 Como 𝜙 é apenas função de r têmse 𝐸7 𝜙 𝜙 𝑟 𝑟 𝐸7 𝐴𝑒26 𝑟 𝑟 𝑟 A derivada deve resultar 𝑒26 𝑟 𝑟 𝛼 𝑟 𝑒26 𝑒26 𝑟1 Assim o campo elétrico será 𝐸7 𝐴𝑒26 𝛼𝑟 1 𝑟1 𝑟 b A densidade de carga é calculada pela aplicação da Lei de Gauss na forma diferencial 77 𝐸7 𝜌 𝜀 O divergente do campo elétrico em coordenadas esféricas é calculado por 77 𝐸7 1 𝑟1 𝑟1𝐸 𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐸7 𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐸8 𝜙 Como o campo elétrico depende apenas de r têmse 77 𝐸7 1 𝑟1 n𝑟1𝐴𝑒26 𝛼𝑟 1 𝑟1 t 𝑟 77 𝐸7 𝐴 𝑟1 𝛼𝑟𝑒26 𝑒26 𝑟 77 𝐸7 𝐴 𝑟1 𝛼 𝑒26 𝛼1𝑟𝑒26 𝛼 𝑒26 𝛼1𝑒26 𝑟 Assim a densidade de carga será 77 𝐸7 𝜌 𝜀 𝛼1𝑒26 𝑟 𝜌 𝜀 𝜌𝑟 𝜀𝛼1𝑒26 𝑟 c Por fim a carga total será a integral em todo o espaço da densidade de carga 𝑄 1 𝜀 L 𝜌𝑑𝑉 𝑄 1 𝜀 L 𝜀𝛼1𝑒26 𝑟 𝑑𝑉 𝑄 𝛼1 L 𝑒26 𝑟 𝑑𝑉 O elemento de volume na coordenada esférica é descrita por 𝑑𝑉 𝑟1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙𝑑𝑟 e a integral de voluma é trocado pela l tripla em todo o espaço 𝑄 𝛼1 L L L 𝑒26 𝑟 9 1 𝑟1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙𝑑𝑟 𝑄 𝛼 L 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝜃 L 𝑑𝜙 L 𝑒26 1 𝛼𝑟 𝑑𝑟 𝑄 4𝜋𝛼 L 𝑒26 𝛼𝑟 𝑑𝑟 𝑄 4𝜋𝛼 𝑒26𝛼𝑟 1 Lembrando que lim 𝑒26 0 temos 𝑄 4𝜋𝛼 𝑒𝛼 0 1 𝑄 4𝜋𝛼 1 𝑄 4𝜋𝛼 a A situação descrita no enunciado devese assemelhar a O campo elétrico E gerado por um disco carregado é calculado por 𝐸7 𝜎 2𝜀 1 𝑧 𝑎1 𝑧1 4 1 𝑧 Caso você não saiba de onde bem essa expressão recomendo o seguinte vídeo httpsyoutubeReBDhZkqFosiqUAoXQU0R3tUFgwx No caso em que d no eixo z é muito maior que a 𝑑 𝑎 temos que 𝑎𝑧 0 𝐸7 𝜎 2𝜀 1 𝑧 𝑎1 𝑧1 1 4 1 𝑧 𝐸7 𝜎 2𝜀 1 𝑧 0 𝑧1 4 1 𝑧 𝐸7 𝜎 2𝜀 Agora como 𝑟 𝑎 a região de campo magnético é menor que o raio do disco ocorre a sobreposição de dois campos de mesma intensidade Assim o campo elétrico total será 𝐸7 2 𝜎 2𝜀 𝐸7 𝜎 𝜀 𝑧 Mas a densidade de carga superficial é calculada por 𝜎 𝑄 𝐴 Substituindo os valores 𝜎 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜋𝑎1 Assim o campo elétrico é calculado por 𝐸7 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜀𝜋𝑎1 𝑧 Com a Lei de Ampère podemos calcular o campo magnético por 5 𝐵7 𝑑𝑙 𝜇𝜀 L 𝐸7 𝑡 𝑑𝐴 Considerando um campo magnético constante 𝐵 5 𝑑𝑙 1 𝜇𝜀 L 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜀𝜋𝑎1 𝑡 𝑑𝐴 𝐵 5 𝑑𝑙 1 𝑄𝜇𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜋𝑎1 L 𝑑𝐴 𝐵2𝜋𝑟 𝑄𝜇𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜋𝑎1 𝜋𝑟1 Lembrando que o campo magnético deve ser perpendicular ao campo elétrico Assim a aplicação do produto deve resulta em 𝐵7𝑟 𝑄𝜇𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 2𝜋𝑎1 𝑟𝜙 b Na situação em que r a significa que o raio da região magnética é maior que gerado do campo elétrico Nesse sentido o sistema do capacitor estaria totalmente envolto na região gaussiana Assim essa região irá se comportar comum carga puntiforme Assim o campo elétrico externo será tratado como 𝐸7 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 2𝜋𝜀𝑟 Assim podemos aplicar a Lei de Ampère podemos calcular o campo magnético por 5 𝐵7 𝑑𝑙 𝜇𝜀 L 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 2𝜋𝜀𝑟 𝑡 𝑑𝐴 𝐵2𝜋𝑟 𝜔𝜇𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 2𝜋𝑟 𝜋𝑟1 𝐵 𝜔𝜇𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 4𝜋 𝜙 a A região do campo magnético no interior do solenóide pode ser descrito na seguinte representação E que a curva circular de raio r irá denotar o campo elétrico pela região gaussiana Fora do solenoide o campo magnético é equiparado ao de um fio longo Assim o Br será determinado em cada região como 𝐵𝑟 e 𝐵 sin𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑚 𝑟 𝑎 𝐵 sin𝜔𝑡 𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑟 𝑎 Na situação em que r a têmse pela lei de Faraday 5 𝐸7 𝑑𝑙 𝑑Φ 𝑑𝑡 𝐸 5 𝑑𝑙 𝐵7 𝑑𝐴 𝑡 Supondo a área constante no tempo e envolvendo todo o condutor de raio a temos 𝐸2𝜋𝑟 𝜋𝑎1 𝐵 𝑡 𝐸2𝜋𝑟 𝜋𝑎1 𝐵 sin𝜔𝑡 𝑟 𝑡 𝐸𝑟 𝐵𝑎1𝜔 cos𝜔𝑡 2𝑟1 𝜙 b Para os casos em que r a podemos aplicar o mesmo princípio mas com a adaptação de que a região delimitada não será o total do condutor denotada por r 𝐸2𝜋𝑟 𝜋𝑟1 𝐵 𝑡 𝐸2𝜋𝑟 𝜋𝑟1 𝐵 sin𝜔𝑡 𝑡 𝐸𝑟 𝐵𝜔 cos𝜔𝑡 2 𝑟𝜙 a A expressão do campo magnético pode ser obtida pela lei de Faraday na forma diferencial 77 𝐸7 𝐵7 𝑡 Calculado o rotacional têmse 77 𝐸7 𝚤 𝚥 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡 77 𝐸7 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡 𝑦 𝚤 77 𝐸7 𝐸𝑘 sen𝑘𝑦 𝜔𝑡 Assim a integração resulta em 𝐸𝑘 sen𝑘𝑦 𝜔𝑡 𝐵7 𝑡 𝐸𝑘 L sen𝑘𝑦 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝚤 L 𝑑𝐵7 𝐵7 𝐸𝑘 1 𝜔 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡𝚤 Além disso sabemos que a velocidade da luz pode ser calculada por 𝑐 𝜔 𝑘 𝐵7𝑦 𝑡 1 𝑐 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡𝚤 b Para calcular 𝐸7 𝐵7 fazemos 𝐸7 𝐵7 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡𝑘 1 𝑐 𝐸 cps𝑘𝑦 𝜔𝑡𝚤 Como 𝚤 e 𝑘 são perpendiculares o produtor interno será nulo c Para calcular 𝐸7 𝐵7 fazemos E77 𝐵7 𝚤 𝚥 𝑘 𝐸 𝐸 𝐸 𝐵 𝐵 𝐵 E77 𝐵7 𝚤 𝚥 𝑘 0 0 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡 1 𝑐 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡 0 0 E77 𝐵7 1 𝑐 𝐸 sen𝑘𝑦 𝜔𝑡 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡𝚥 E77 𝐵7 1 𝑐 𝐸 1 cos1𝑘𝑦 𝜔𝑡 𝚥 d A onda emergente seria calculada pelo produto interno da onda incidente com a direção do polarizador Assim E77 u7 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡𝑘 Mcos 𝜃 𝚤 sen 𝜃 𝑘O Como os versores 𝚤 e 𝑘 são perpendiculares o produto interno é nulo Sobrando apenas 𝚤 com 𝚤 que tem norma 1 Dessa forma E77 u7 𝐸 cos𝑘𝑦 𝜔𝑡 sen 𝜃 Fisicamente apenas seria percebido um efeito pela polarização disposta na direção z