El Grupo de Las Traslaciones

El grupo de las traslaciones y observables cuánticos.\n\nConsidere una traslación por una cantidad a en un espacio unidimensional:\n\nx' = x + a.\n\nSea una función f evaluada en x, f = f(x). Entonces,\nf(x + a) es el valor de la función en el punto trasladado x + a. Sea Ta el operador de traslación,\n\n(Taf)(x) = f(x + ta).\n\nEntonces note que\n\nf(x + a) = f(x) + a df(x)\ndx + a²/2! d²f(x)\ndx² + ... + aⁿ/n! dⁿf(x)\ndxⁿ + ...\n\n= [1 + a d/dx + a²/2! d²/dx² + ... + aⁿ/n! dⁿ/dxⁿ] f(x)\n\n= (e^(a d/dx)) f(x) Entonces,\n\nTa = e^(a d/dx)\n\nEntonces, en tres dimensiones, tengamos\n\nTa = e^(a^i ∂/∂x^i) = e^(a^i ∂/∂x^i).\n\nEn particular,\n\nTa \u0303{x} = (e^(a^i ∂/∂x^i)) \u0303{x} = (e^(a^i ∂/∂x^i)) ê_i x^i\n\n= [1 + a^i ∂/∂x^i + ...] ê_i x^i\n\n= ê_i x^i + a^i ê_i ∂/∂x^i (ê_j x^j)\n\n= x̂ + a^i ê_i ê_j\n\n= x̂ + a^i ê^j = x̂ + a\n\n=> Ta x̂ = x̂ + a si â = ê es infinitesimal, tendremos que\n\nTê = e^(ê_i ∂/∂x^i) = 1 + ê_i ∂/∂x^i;\n\nsea la función f = f(x̂). Entonces,\n\n(Tê f)(x̂) = [1 + ê_i ∂/∂x^i] f(x̂)\n\nf(x̂ ê) = f(x̂) + ê_i ∂f/∂x^i\n\n=> δf = f(x̂ + ê) - f(x̂) = ê_i ∂f/∂x^i.\n\nAsuma que las coordenadas x_i representan los grados de libertad de una partícula moviéndose en el espacio tridimensional. Entonces, el momento lineal p̂ es el canónico conjugado de x̂, esto es,\n\n{l_i, x_j} = δ_{ij}\n\n{p_i, x_j} = 0 = {p_i, p_j}. Entonces, si G = P_i y E_z = S_x G_tendremos que el cambio en f(x) es:\n\ndf = E_i f, P_i\n\n= E_i \n\n⟨ \n\n df \ndP_j \n\n \n\n dP_i \n\n dP_j\n \n \n\n \n\n= E_i \n\n d_2 \n\n df = E_i \n\n d_\n\n x_i = E_z\n\nLo que muestra que P_i es el generador de las traslaciones a lo largo de X_i. P_i actúa a través de \n\n d / d_x_i = d_z.\n\nNote que\n\n[ d_z, d_j ] f(x) = d_i^o f - d_j d^o df = 0.\n\nEl momento lineal P genera las traslaciones en el espacio, el cual se denota por T(3).\nEl grupo T(3) es conmutativo. La transformación continua más general en el espacio está dada por una rotación y una traslación:\n\nx' = O x + A\n\no bien\n\nx' = O x + G , x = ( x_1 \n\n x_2 \n\n x_3 ), G = \n\n(g_1 \n\n g_2 \n\n g_3)\n\nGrupo SO(3)\n\nGrupo T(3)\n\nGrupo ISO(3)\n\nÁlgebra de Lie\n\nso(3) \n\n{ L_i, L_j } = E_{ijk} L_k\n\n{ P_i, P_j } = 0\n\n{ T_i, T_j } = 2 E_{ijk} T_k,\n\n[ P_i, P_j ] = 0\n\nP_i = d_i.