Eletromagnetismo 2 - Lista de Exercícios Resolvidos

Eletromagnetismo 2 Exercícios 1º EE Professor Renan Carvalho rvbcpolibr Uma barra condutora desliza com velocidade constante 𝑢 𝑢 𝑎𝑥 sobre um par de trilhos condutores Esses estão separados por uma distância ℎ O sistema está em um campo magnético uniforme 𝐵 𝐵0 𝑎𝑧 Determine o valor de 𝑉0 tensão induzida sobre o resistor Questão Solução Tratase de fem de movimento 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸𝑚 𝑑 𝑙 𝐿 𝑢 𝐵 𝑑 𝑙 𝑉𝑓𝑒𝑚 0 ℎ 𝑢 𝑎𝑥 𝐵0 𝑎𝑧 𝑑𝑦 𝑎𝑦 𝑢𝐵0ℎ 𝑉 𝑉0 𝑢𝐵0ℎ 𝑉 Questão Mostre que se 𝐽 0 e 𝑄 0 as quatro equações de divergência Leis de Gauss para campos elétricos e magnéticos nas formas diferenciais e integrais podem ser obtidas sem a necessidade de utilizar a equação de continuidade Solução 𝐸 𝐵 𝑡 𝐸 𝐵 𝑡 𝐸 𝐵 𝑡 𝐸 0 Logo 𝐵 0 𝑣 𝐵 𝑑𝑣 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 0 Sabendo que 𝐽 0 𝐻 𝐷 𝑡 𝐻 𝐷 𝑡 𝐻 𝐷 𝑡 𝐻 0 Logo 𝐷 0 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 𝑆 𝐷 𝑑 𝑆 𝑄 0 Considere um meio dielétrico com perdas linear isotrópico homogêneo e livre de cargas para obter as equações vetoriais de ondas eletromagnéticas equações vetoriais homogêneas de Helmhotz Questão Um dielétrico com perdas é um meio parcialmente condutor dielétrico imperfeito ou condutor imperfeito no qual 𝜎 0 Considerando um meio dielétrico com perdas linear isotrópico e homogêneo que está livre de cargas 𝜌𝑣 0 Assumindo o fator 𝑒𝑗𝜔𝑡 como subentendido as equações de Maxwell tornamse 𝐸𝑠 0 𝐻𝑠 0 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑠 𝐻𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 Aplicando o rotacional nos dois lados da equação 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑠 temse 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝐻𝑠 Mas 𝐻𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 Assim 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 Solução Usando a identidade vetorial 𝐴 𝐴 2 𝐴 obtémse o seguinte resultado 𝐸𝑠 2𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 Como 𝐸𝑠 0 2𝐸𝑠 𝛾2𝐸𝑠 0 em que 𝛾2 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 e 𝛾 é a chamada constante de propagação por metro do meio Aplicando o rotacional nos dois lados da equação 𝐻𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 temse 𝐻𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸𝑠 Solução Mas 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑠 Assim 𝐻𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐻𝑠 Usando a identidade vetorial 𝐴 𝐴 2 𝐴 obtémse o seguinte resultado 𝐻𝑠 2𝐻𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐻𝑠 Como 𝐻𝑠 0 2𝐻𝑠 𝛾2𝐻𝑠 0 em que 𝛾2 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 e 𝛾 é a chamada constante de propagação por metro do meio Solução Questão Um campo elétrico no espaço livre em coordenadas esféricas é dado por 𝐸𝑠 𝑟 𝐸0 𝑟 𝑒𝑗𝑘𝑟 𝑎𝜃 Vm Calcule 𝐻 assumindo que o comportamento de onda plana uniforme Calcule a média temporal do vetor de Poynting Expresse a potência externa média em watts através de uma concha esférica fechada de raio r centrada na origem Solução Primeiro encontrase a orientação do vetor do campo magnético Sabese que 𝑎𝐸 𝑎𝜃 dado na expressão do campo elétrico e 𝑎𝑘 𝑎𝑟 pois 𝑒𝑗𝑘𝑟 Como 𝑎𝑘 𝑎𝐸 𝑎𝐻 temse que 𝑎𝑟 𝑎𝜃 𝑎𝐻 logo 𝑎𝐻 𝑎𝜙 𝐻 𝑅𝑒 𝐻𝑠 𝑅𝑒 𝐸𝑠 𝜂 𝑅𝑒 𝐸0 𝑟 𝑒𝑗𝑘𝑟 𝜂0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑎𝜙 𝑅𝑒 𝐸0 𝑟 120𝜋 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑗𝑘𝑟 𝑎𝜙 𝐻 𝐸0 𝑟 120𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑘𝑟 𝑎𝜙 𝐴𝑚 𝒫𝑚𝑒𝑑 1 2 𝑅𝑒 𝐸𝑠 𝐻𝑠 1 2 𝑅𝑒 𝐸0 𝑟 𝑒𝑗𝑘𝑟 𝑎𝜃 𝐸0 𝑟 120𝜋 𝑒𝑗𝑘𝑟 𝑎𝜙 𝐸0 2 𝑟 240𝜋 𝑎𝑟 𝑊𝑚2 𝑃𝑚𝑒𝑑 𝑆 𝒫𝑚𝑒𝑑 𝑑 𝑆 A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 4𝜋𝑟2 Assim 𝑃𝑚𝑒𝑑 𝐸0 2 𝑟 240𝜋 𝑎𝑟 4𝜋𝑟2 𝑎𝑟 𝐸0 2 𝑟 60 𝑟2 𝑊 Questão Um condutor tubular oco é construído a partir de um tipo de latão com uma condutividade de 12 107 Sm Ele possui 1 metro de comprimento e os raios interno e externo são de 9 mm e 10 mm respectivamente Calcule a resistência do condutor para os seguintes casos Corrente contínua Corrente com frequência de 20 MHz Corrente com frequência de 2 GHz Solução 𝑅𝑐𝑐 𝐿 𝜎𝐴 1 12 107 𝜋 0012 00092 140 𝑚Ω Devese considerar o efeito pelicular A profundidade de penetração pelicular é dada por 𝛿 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 𝛿 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 1 𝜋 20 106 4𝜋 107 12 107 3249 𝜇𝑚 𝑅𝑐𝑎 𝐿 𝜎𝐴 𝐿 𝜎𝛿𝑤 1 12 107 3249 106 2𝜋 001 004 Ω Devese considerar o efeito pelicular 𝛿 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 1 𝜋 2 109 4𝜋 107 12 107 325 𝜇𝑚 𝑅𝑐𝑎 𝐿 𝜎𝐴 𝐿 𝜎𝛿𝑤 1 12 107 325 106 2𝜋 001 04 Ω Questão Expresse a fem de transformador induzida em uma espira estacionária em função do vetor potencial magnético Solução 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑆 𝐵 𝑡 𝑑 𝑆 𝑆 𝑡 𝐴 𝑑 𝑆 𝐿 𝐴 𝑡 𝑑 𝑙 Questão Considere uma fonte de onda eletromagnética A expressão do campo elétrico emitido é dada por 𝐸 𝐸𝜃 𝑎𝜃 𝐸𝜙 𝑎𝜙 Calcule o valor médio da potência por unidade de área que flui da fonte Solução 𝑎𝑘 𝑎𝐸 𝑎𝐻 𝑎𝐻 𝑎𝑘 𝑎𝐸 Como 𝑎𝑘 𝑎𝑟 𝐻 1 𝜂 𝑎𝑟 𝐸 1 𝜂 𝑎𝑟 𝑎𝐸𝐸 1 𝜂 𝐸𝜃 𝑎𝜙 𝐸𝜙 𝑎𝜃 𝐴𝑚 𝒫𝑚𝑒𝑑 1 2 𝑅𝑒 𝐸𝑠 𝐻𝑠 1 2 𝑎𝑟 𝑎𝜃 𝑎𝜙 0 𝐸𝜃 𝐸𝜙 0 𝐸𝜙𝜂 𝐸𝜃𝜂 1 2𝜂 𝐸𝜃 2 𝐸𝜙 2 𝑎𝑟 𝑊𝑚2 Questão Um cilindro condutor com raio de 7 𝑐𝑚 e altura de 15 𝑐𝑚 gira a uma frequência de 600 rotações por minuto num campo radial 𝐵 02 𝑎𝜌 𝑇 Contatos deslizantes conectam as partes superior e inferior a um voltímetro Calcule a tensão induzida V Solução Tratase de fem de movimento 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸𝑚 𝑑 𝑙 𝐿 𝑢 𝐵 𝑑 𝑙 𝐹𝑚 𝑄 𝑢 𝐵 𝐸𝑚 𝐹𝑚 𝑄 𝑢 𝐵 𝑢 𝜔𝜌 𝑎𝜙 600 1 60 2𝜋 007 𝑎𝜙 14𝜋 𝑎𝜙 𝑚𝑠 𝑉𝑓𝑒𝑚 0 015 14𝜋 02 𝑎𝑧 𝑑𝑧 𝑎𝑧 013 𝑉 Questão Obtenha as expressões gerais da constante de atenuação e da constante de fase de uma onda eletromagnética em um meio condutor dielétrico com perdas 𝛼 𝜔 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝛽 𝜔 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 Solução 𝛾 𝛼 𝑗𝛽 𝛾2 𝑗𝜔𝜇 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝜔2𝜇𝜀 𝛼2 𝑗2𝛼𝛽 𝛽2 𝛼2 𝛽2 𝜔2𝜇𝜀 𝛾2 𝛼2 𝛽2 𝜔2𝜇2𝜎2 𝜔4𝜇2𝜀2 𝜔𝜇 𝜎2 𝜔2𝜀2 𝛼2 𝛽2 𝜔2𝜇𝜀 𝛼2 𝛽2 𝜔𝜇 𝜎2 𝜔2𝜀2 Solução Somando as equações 2𝛼2 𝜔𝜇 𝜎2 𝜔2𝜀2 𝜔2𝜇𝜀 2𝛼2 𝜔𝜇 𝜎2 𝜔2𝜀2 𝜔𝜀 𝛼 1 2 𝜔𝜇 𝜎2 𝜔2𝜀2 𝜔𝜀 𝜔𝜀 𝜔𝜀 𝛼 1 2 𝜔2𝜇𝜀 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝛼 𝜔 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 Solução Substituindo 𝛼 em 𝛼2 𝛽2 𝜔2𝜇𝜀 𝜔 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 2 𝛽2 𝜔2𝜇𝜀 𝛽2 𝜔2 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝜔2𝜇𝜀 𝛽2 𝜔2𝜇𝜀 1 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 1 𝛽 𝜔 𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 Questão O campo elétrico de uma onda eletromagnética no ar é dado por 𝐸 001 sen 10𝜋𝑥 cos 6𝜋109𝑡 𝛽𝑧 𝑎𝑦 𝑉𝑚 Calcule O campo magnético A constante de fase Solução 𝐸 𝐵 𝑡 𝜇0 𝐻 𝑡 𝐻 1 𝜇0 𝐸 𝑑𝑡 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝐵𝑠 𝑗𝜔𝜇0𝐻𝑠 𝐻𝑠 1 𝑗𝜔𝜇0 𝐸𝑠 𝐸𝑠 001 sen 10𝜋𝑥 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑎𝑦 𝐻𝑠 1 𝜔𝜇0 001𝛽 sen 10𝜋𝑥 𝑎𝑥 𝑗01𝜋 cos 10𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐴𝑚 Solução Como 𝐻𝑠 𝑗𝜔𝐷𝑠 𝑗𝜔𝜀0𝐸𝑠 𝐸𝑠 1 𝑗𝜔𝜀0 𝐻𝑠 𝐸𝑠 001 𝜔2𝜇0𝜀0 100𝜋2 𝛽2 sen 10𝜋𝑥 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑎𝑦 Solução Então igualando as duas expressões de 𝐸𝑠 001 sen 10𝜋𝑥 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑎𝑦 001 𝜔2𝜇0𝜀0 100𝜋2 𝛽2 sen 10𝜋𝑥 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑎𝑦 𝜔2𝜇0𝜀0 100𝜋2 𝛽2 6𝜋109 2 1 𝑐2 100𝜋2 𝛽2 400𝜋2 100𝜋2 𝛽2 𝛽 5441 𝑟𝑎𝑑𝑚 Solução Por fim 𝐻𝑠 1 6𝜋109 4𝜋107 001 5441 sen 10𝜋𝑥 𝑎𝑥 𝑗01𝜋 cos 10𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐻𝑠 1 2400𝜋2 054 sen 10𝜋𝑥 𝑎𝑥 𝑗01𝜋 cos 10𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐻 𝑅𝑒𝐻𝑠𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐻 1 2400𝜋2 cos 6𝜋109𝑡 5441𝑧 054 sen 10𝜋𝑥 𝑎𝑥 01𝜋 cos 10𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐴𝑚 Questão O vetor intensidade do campo magnético de uma onda eletromagnética propagando através de um meio não magnético sem perdas é dado por 𝐻 𝑒𝑗𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐴𝑚 em uma frequência de 75 𝑀𝐻𝑧 Calcule A permissividade relativa do meio A impedância intrínseca do meio Vetor intensidade de campo elétrico no domínio do tempo Vetor de Poynting Solução Pela equação 𝛽 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝜆 2𝜋 𝛽 2𝜋 𝜋 2 𝑚 𝑢 𝜆𝑓 2 75 106 15 108 𝑚𝑠 𝑢 1 𝜇𝜀 1 𝜇0𝜇𝑟𝜀0𝜀𝑟 𝑐 1 𝜇𝑟𝜀𝑟 15 108 3 108 1 𝜀𝑟 𝜀𝑟 4 𝜂 𝜂0 𝜇𝑟𝜀𝑟 120𝜋 2 60𝜋 Ω 𝑎𝑘 𝑎𝐸 𝑎𝐻 𝑎𝑥 𝑎𝐸 𝑎𝑧 𝑎𝐸 𝑎𝑦 𝐸0 𝜂𝐻0 60𝜋 1 60𝜋 𝑉𝑚 Como o meio é sem perdas 𝜃𝜂 0 Logo 𝐸 60𝜋 cos 150 108𝜋𝑡 𝜋𝑥 𝑎𝑦 𝑉 𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝑒𝑗𝜋𝑥 𝑎𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡 cos 150 108𝜋𝑡 𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝐴 𝑚 𝒫 𝐸 𝐻 60𝜋 cos 150 108𝜋𝑡 𝜋𝑥 𝑎𝑦 cos 150 108𝜋𝑡 𝜋𝑥 𝑎𝑧 𝒫 60𝜋 cos2 150 108𝜋𝑡 𝜋𝑥 𝑎𝑥 𝑊𝑚2 Questão A expressão do campo magnético de uma onda eletromagnética plana e uniforme que se propaga no ar é dada por 𝐻𝑠 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝐴𝑚 Obtenha a expressão do campo elétrico dessa onda utilizando as propriedades do vetor de Poynting Verifique a resposta do item anterior utilizando as equações de Maxwell Solução O sentido de propagação da onda é 𝑎𝑦 pois 𝑒𝑗𝛽𝑦 O vetor de Poynting aponta no sentido de propagação da onda 𝑎𝑘 e é calculado pela expressão 𝒫 𝐸 𝐻 Logo 𝑎𝑘 𝑎𝐸 𝑎𝐻 Para a primeira parcela de 𝐻𝑠 𝑎𝑦 𝑎𝐸 𝑎𝑥 𝑎𝐸 𝑎𝑧 𝐸𝑧 𝐻0𝜂0 Para a segunda parcela de 𝐻𝑠 𝑎𝑦 𝑎𝐸 𝑎𝑧 𝑎𝐸 𝑎𝑥 𝐸𝑥 𝐻1𝜂0 A amplitude do campo elétrico é 𝐸0 𝐻0𝜂0 Por fim 𝐸𝑠 𝐻1𝜂0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝜂0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝑉𝑚 Solução No espaço livre 𝐻𝑠 𝑗𝜔𝜀0𝐸𝑠 𝐸𝑠 1 𝑗𝜔𝜀0 𝐻𝑠 𝐻𝑠 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 0 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝐻1𝑗𝛽𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑗𝛽𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝐸𝑠 1 𝑗𝜔𝜀0 𝐻1𝑗𝛽𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑗𝛽𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝛽 𝜔𝜀0 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 Como 𝜔 𝛽 1 𝜇0𝜀0 temse que 𝐸𝑠 𝜇0𝜀0 𝜀0 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝜇0 𝜀0 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝐸𝑠 𝜂0 𝐻1𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑥 𝐻0𝑒𝑗𝛽𝑦 𝑎𝑧 𝑉𝑚 Questão Uma onda plana uniforme propagase em um meio 𝑧 0 com 𝜇𝑟 1 e 𝜀𝑟 16 sendo a o campo elétrico expresso por 𝐸 10 cos 𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑎𝑥 20 cos 𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 Essa onda incide em um meio sem perdas 𝑧 0 cujas características são 𝜇𝑟 12 e 𝜀𝑟 6 Calcule as expressões instantâneas para os campos elétricos transmitido e refletido se a frequência da onda for 1 𝑀𝐻𝑧 Solução 𝜔 2𝜋𝑓 2𝜋106 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐸𝑖𝑠 10𝑒𝑗𝛽1𝑧 𝑎𝑥 20𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 campo incidente 𝐸𝑟𝑠 10Γ𝑒𝑗𝛽1𝑧 𝑎𝑥 20Γ𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 campo refletido 𝐸𝑡𝑠 10𝜏𝑒𝑗𝛽2𝑧 𝑎𝑥 20𝜏𝑒𝑗𝛽2𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 campo transmitido 𝜂1 𝜇1 𝜀1 𝜂0 𝜇𝑟 𝜀𝑟 120𝜋 1 16 30𝜋 Ω 𝜂2 𝜇2 𝜀2 𝜂0 𝜇𝑟 𝜀𝑟 120𝜋 12 6 120𝜋 2 Ω Γ 𝜂2 𝜂1 𝜂2 𝜂1 120𝜋 2 30𝜋 120𝜋 2 30𝜋 07 𝜏 1 Γ 1 07 17 𝛽1 𝜔 𝜇1𝜀1 2𝜋106 𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 2𝜋106 𝑐 𝜇𝑟𝜀𝑟 2𝜋106 3 108 1 16 𝛽1 008𝜋 3 0084 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝛽2 𝜔 𝜇2𝜀2 2𝜋100 106 𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 2𝜋106 𝑐 𝜇𝑟𝜀𝑟 2𝜋106 3 108 12 6 𝛽2 0178 𝑟𝑎𝑑𝑚 Solução Campo refletido 𝐸𝑟𝑠 10 07𝑒𝑗0084𝑧 𝑎𝑥 20 07𝑒𝑗0084𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 7𝑒𝑗0084𝑧 𝑎𝑥 14𝑒𝑗0084𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝐸𝑟 𝑅𝑒7𝑒𝑗0084𝑧 𝑎𝑥 14𝑒𝑗0084𝑧𝑒 𝑗𝜋 3 𝑎𝑦𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐸𝑟 7 cos2𝜋106 0084𝑧 𝑎𝑥 14 cos2𝜋106 0084𝑧 𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 Campo transmitido 𝐸𝑡𝑠 10 17𝑒𝑗0178𝑧 𝑎𝑥 20 17𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 17𝑒𝑗0178𝑧 𝑎𝑥 34𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝐸𝑡 𝑅𝑒17𝑒𝑗0178𝑧 𝑎𝑥 34𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3 𝑎𝑦 𝐸𝑡 17 cos2𝜋106 0178𝑧 𝑎𝑥 34 cos2𝜋106 0178𝑧 𝜋3 𝑎𝑦 𝑉𝑚 Questão Uma onda eletromagnética incide normalmente a partir do ar sobre um material sem perdas com 𝜇𝑟 36 e 𝜀𝑟 4 O campo elétrico transmitido é dado por 𝐸𝑡 15 cos 𝜔𝑡 𝛽2𝑧 𝑎𝑥 𝑚𝑉 𝑚 Calcule as expressões dos campos elétricos incidente e refletido Solução Meio 1 ar 𝜂1 𝜂0 120𝜋 Ω Meio 2 𝜂2 𝜀𝑟 𝜇𝑟 𝜂0 36 4 120𝜋 360𝜋 Ω Γ 𝜂2 𝜂1 𝜂2 𝜂1 360𝜋 120𝜋 360𝜋 120𝜋 05 𝜏 1 Γ 1 05 15 𝐸𝑡0 𝜏𝐸𝑖0 𝐸𝑖0 1 𝜏 𝐸𝑡0 1 15 15 10 𝑚𝑉𝑚 𝐸𝑟0 Γ𝐸𝑖0 05 10 5 𝑚𝑉𝑚 Logo 𝐸𝑖 10 cos 𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑎𝑥 𝑚𝑉𝑚 incidente 𝐸𝑟 5 cos 𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑎𝑥 𝑚𝑉𝑚 refletido Questão Uma onda plana uniforme na água do mar plano 𝑥𝑦 se propaga para baixo sentido positivo de 𝑧 Os parâmetros constitutivos da água do mar são 𝜀𝑟 80 𝜇𝑟 1 e 𝜎 4𝑆𝑚 O campo magnético em 𝑧 0 é dado por 𝐻 0 𝑡 100 cos 2000𝜋𝑡 𝜋6 𝑎𝑦 𝑚𝐴𝑚 Obtenha a expressão instantânea para o campo elétrico Calcule a profundidade na qual a amplitude do campo elétrico é igual a 1 do seu valor em 𝑧 0 Solução Letra a 𝑎𝑘 𝑎𝐸 𝑎𝐻 𝑎𝑧 𝑎𝐸 𝑎𝑦 logo 𝑎𝐸 𝑎𝑥 𝜔 2𝜋𝑓 Da expressão 𝐻 0 𝑡 𝜔 2000𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔𝜀 2000𝜋 80 8854 1012 445 106 Como 𝜎 𝜔𝜀 a água do mar é um meio bom condutor nessas condições Portanto o campo elétrico está 45 adiantado em relação ao campo magnético 𝜃𝐸 𝜃𝐻 𝜋 4 𝜋 6 𝜋 4 5𝜋 12 75 𝐸0 𝜂 𝐻0 𝐻0 𝜔𝜇 𝜎 100 103 2000𝜋 4𝜋107 4 444 𝑚𝑉𝑚 𝛼 𝛽 𝜔𝜇𝜎 2 2000𝜋 4𝜋107 4 2 0126 𝐸 𝑧 𝑡 444𝑒0126𝑧𝑐𝑜𝑠2000𝜋𝑡 0126𝑧 75 𝑎𝑥 𝑚𝑉𝑚 Letra b 001 𝑒0126𝑧 𝑧 ln 001 0126 3655 𝑚 Questão O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por 𝐸 𝐸0 cos 108𝜋 𝑡 𝑧 𝑐 𝜃 𝑎𝑥 𝑉𝑚 Sabendo que 𝐸 é a soma de 𝐸1 e 𝐸2 calcule 𝐸0 e 𝜃 𝐸1 003 sen 108𝜋 𝑡 𝑧 𝑐 𝑎𝑥 𝑉𝑚 𝐸2 004 cos 108𝜋 𝑡 𝑧 𝑐 𝜋 3 𝑎𝑥 𝑉𝑚 Solução 𝜔 108𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑠 e 𝛽 𝜔𝑐 𝐸 𝐸0 cos 𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝜃 𝑎𝑥 𝑅𝑒 𝐸0𝑒𝜃𝑒𝑗 𝜔𝑡𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸𝑠 𝐸0𝑒𝜃𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸1 003sen 𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝑎𝑥 003 cos 𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝜋 2 𝑎𝑥 𝑅𝑒 003𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝑗 𝜔𝑡𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸1𝑠 003𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸2 004cos 𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝜋 3 𝑎𝑥 𝑅𝑒 004𝑒𝑗𝜋 3 𝑒 𝜔𝑡𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸2𝑠 004𝑒𝑗𝜋 3 𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 Fazendo a soma dos fasores 𝐸𝑠 𝐸1𝑠 𝐸2𝑠 𝐸0𝑒𝜃𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 003𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 004𝑒𝑗𝜋 3 𝑒𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐸0𝑒𝜃 003𝑒𝑗𝜋 2 004𝑒𝑗𝜋 3 𝑗003 002 𝑗0035 002 𝑗0065 𝐸0𝑒𝜃 0068𝑒73 Portanto 𝐸0 0068 𝑉𝑚 e 𝜃 73 1274𝜋 𝑟𝑎𝑑 Questão Uma onda plana eletromagnética propagase no espaço livre região 1 e encontra um condutor perfeito região 2 A sua frequência é igual a 2 𝐺𝐻𝑧 e a sua amplitude é igual a 1 𝑉𝑚 A intensidade do campo elétrico está orientada ao longo do eixo 𝑥 e a onda se propaga no sentido positivo do eixo 𝑧 Calcule a O campo elétrico instantâneo na região 1 b O campo magnético instantâneo na região 2 c Calcule a densidade de potência média temporal na região 1 Solução Como a região 1 é um dielétrico perfeito e a região 2 é um condutor perfeito 𝛤 1 e 𝜏 0 Letra a 𝐸1 2𝐸𝑖0 𝑠𝑒𝑛 𝛽1𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑎𝑥 𝛽1 𝜔 𝑐 2𝜋2 109 3 108 40𝜋 3 𝑟𝑎𝑑𝑚 Portanto 𝐸1 2 1 𝑠𝑒𝑛 40𝜋 3 𝑧 𝑠𝑒𝑛 4𝜋 109𝑡 𝑎𝑥 𝐸1 2 𝑠𝑒𝑛 40𝜋 3 𝑧 𝑠𝑒𝑛 4𝜋 109𝑡 𝑎𝑥 𝑉𝑚 Letra b 𝐻2 0 pois 𝜏 0 Letra c 𝒫𝑚𝑒𝑑 𝑧 1 2 𝑅𝑒 𝐸1𝑠 𝐻1𝑠 𝐸1𝑠 2𝑗𝐸𝑖0 𝑠𝑒𝑛 𝛽1𝑧 𝑎𝑥 4𝑗 𝑠𝑒𝑛 40𝜋 3 𝑧 𝑎𝑥 𝑉𝑚 𝐻1𝑠 2𝐸𝑖0 𝜂1 𝑐𝑜𝑠 𝛽1𝑧 𝑎𝑦 1 60𝜋 𝑐𝑜𝑠 40𝜋 3 𝑧 𝑎𝑦 𝐴𝑚 𝒫𝑚𝑒𝑑 𝑧 1 2 𝑅𝑒 4𝑗 𝑠𝑒𝑛 40𝜋 3 𝑧 𝑎𝑥 1 60𝜋 𝑐𝑜𝑠 40𝜋 3 𝑧 𝑎𝑦 𝒫𝑚𝑒𝑑 𝑧 0 𝑊𝑚2 Questão Em um meio dielétrico 𝜀 9𝜀0 𝜇 𝜇0 uma onda plana com 𝐻 02 cos 109𝑡 𝑘𝑥 𝑘 8𝑧 𝑎𝑦 𝐴𝑚 está incidindo na interface com o ar em 𝑧 0 Calcule a 𝜃𝑖 e 𝜃𝑡 b 𝑘 c O comprimento de onda no dielétrico e no ar d O 𝐸 incidente Solução Letra a 𝜃𝑖 tan1 𝑘𝑖𝑥 𝑘𝑖𝑧 tan1 𝑘 𝑘 8 1947 𝜃𝑟 𝜃𝑖 1947 sen 𝜃𝑡 sen 𝜃𝑖 𝜇1𝜀1 𝜇2𝜀2 sen 𝜃𝑡 sen 1947 𝜇09𝜀0 𝜇0𝜀0 3 𝜃𝑡 8937 Letra b 𝑘1 109 𝜇09𝜀0 109 3 3 108 10 𝑘𝑖 2 𝑘𝑖𝑥 2 𝑘𝑖𝑦 2 𝑘𝑖𝑧 2 10 𝑘2 8𝑘2 3𝑘 𝑘 333 𝑟𝑎𝑑𝑚 Letra c 𝜆1 2𝜋 𝛽1 2𝜋 𝛽1 2𝜋 10 063 𝑚 dielétrico 𝜆2 2𝜋 𝛽2 2𝜋 𝜔𝑐 2𝜋 109 3 108 188 𝑚 ar Solução Letra d 𝐻 𝑎𝑘 𝐸 𝜂 𝐸𝑖 𝑎𝑘 𝜂1𝐻𝑖 𝑎𝑥 8 𝑎𝑧 12 8 2 𝜇0 9𝜀0 02 cos 109𝑡 𝑘𝑥 𝑘 8𝑧 𝑎𝑦 𝐸𝑖 𝑎𝑥 8 𝑎𝑧 3 8𝜋 cos 109𝑡 𝑘𝑥 𝑘 8𝑧 𝑎𝑦 𝐸𝑖 8𝜋 𝑎𝑧 8 𝑎𝑥 3 cos 109𝑡 𝑘𝑥 𝑘 8𝑧 𝑉𝑚