Estudo da Tensão em Maciços Rochosos: Conceitos e Interpretações

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir força tensão e deformação Explicar as diferenças entre tensões principais invariantes e desviatórias Interpretar os dados no círculo de Mohr Introdução Os maciços rochosos existentes na crosta terrestre estão submetidos a diversas tensões Tais tensões podem ser naturais ou induzidas O peso de uma coluna de rocha sobre determinado ponto por exemplo gera tensões que aumentam sua magnitude de acordo com a profundidade em decorrência do peso do material sobreposto Essas tensões são orientadas para o centro da Terra e podem estar entre as principais tensões atuantes desde que não haja efeitos causados por processos tectônicos ativos topografia ou estruturas geológicas PARK WEST 2002 OLIVEIRA BRITO 1998 Neste capítulo você vai estudar os principais conceitos associados à mecânica de rochas Você vai verificar como as tensões se relacionam nos maciços rochosos e ver como interpretar esses dados no círculo de Mohr Estudo da tensão stress Lanna Caroline Normando Figura 1 Tensões em uma amostra cilíndrica Fonte Adaptada de Schultz 2019 Uma rocha é considerada sob compressão uniaxial quando uma força é aplicada em uma direção e as demais componentes das forças são nulas σ1 0 σ2 σ3 0 Considere uma amostra sob compressão uniaxial com uma força F aplicada a uma superfície A Quando a superfície da seção transversal é rotacionada por um ângulo θ as tensões perpendicular σ e paralela à superfície τ podem ser escritas respectivamente da seguinte forma 1 2 A Equação 1 é a expressão para o cálculo da tensão perpendicular normal à superfície A Já a Equação 2 é a expressão para o cálculo da tensão paralela cisalhante à superfície A JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Estudo da tensão stress 3 A relação entre tensão perpendicular tensão normal e tensão paralela tensão de cisalhamento com um ângulo de rotação variável θ governada pelas Equações 1 e 2 representa a equação do círculo com o raio σ12 Re presentado graficamente no domínio σ τ esse círculo é frequentemente chamado de círculo de Mohr Você vai estudálo mais adiante Na mecânica das rochas assim como na mecânica das partículas e dos corpos rígidos a variável cinemática fundamental é o deslocamento Ele é o vetor que quantifica a mudança na posição de dada partícula de rocha Especificamente na mecânica de rochas a posição de cada partícula de rocha é rotulada por sua localização em relação a algum sistema de coordenadas em algum estado que é considerado o estado inicial da rocha Essa posição pode ser denotada por x x y z Quando cargas são aplicadas à rocha a partícula de rocha inicialmente localizada no ponto x é deslocada para uma nova posição x x y z O vetor que conecta a posição original x e a posição final x é conhecido como o deslocamento da partícula inicialmente posicionada no ponto x ou simplesmente o deslocamento em x AADNOY LOOYEH 2013 Esse vetor é denotado em notação vetorial por u e seus componentes são u v w Para ser consistente com a convenção de sinais usada para trações em que um componente de tração é representado por um número positivo se apontar na direção da coordenada negativa o vetor de deslocamento deve ser definido por 3 A Equação 3 é a expressão para o cálculo do deslocamento em x JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 O deslocamento u pode ser interpretado como um vetor que aponta da nova posição x em direção à posição original x Em geral o deslocamento varia de ponto a ponto de modo que cada componente u v w varia com todas as três coordenadas de posição x y z O objetivo da solução de um problema de mecânica das rochas é calcular o vetor de deslocamento u em cada ponto do maciço rochoso ou espécime de rocha Isso é feito com base no conhecimento das trações superficiais e forças corporais aplicadas e nas condições de contorno Nesse contexto você precisa estar familiarizado com o conceito de deformação A deformação é essencialmente uma medida do deslocamento relativo das partículas próximas em vez de uma medida de seu deslocamento absoluto O conceito básico por trás da deformação pode ser introduzido em um contexto Estudo da tensão stress 4 unidimensional Considere uma barra unidimensional curta de comprimento inicial L de borda esquerda inicialmente localizada no ponto x e de borda direita localizada no ponto x Δx O comprimento inicial dessa barra é dado por L Δx Agora presuma que essa barra está deformada de tal modo que a sua borda esquerda se move para a localização x ux e a sua borda direita se move para a posição x Δx ux Δx O novo comprimento da barra é portanto L x Δx ux Δx x ux JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Assim é possível definir a deformação média sofrida por essa barra como a diminuição fracionária no comprimento da barra Equação 4 Veja 4 A Equação 4 é a expressão para o cálculo da deformação JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Na mecânica dos sólidos e em particular no âmbito da elasticidade estudase muito mais tensões e deformações do que trações forças e des locamentos Contudo em contraste com muitas outras áreas da mecânica dos sólidos em que os deslocamentos não despertam muito interesse na mecânica das rochas o deslocamento em si muitas vezes é extremamente importante Exemplos de tais situações incluem fechamento de mina ruptura de poços e subsidência de superfície acima de minas e reservatórios As tensões podem ser classificadas como principais invariantes ou des viatórias A seguir você vai conhecer os conceitos dessas tensões ver como diferenciálas e verificar qual é a importância prática de cada uma delas nos cálculos do estudo das tensões Tensões principais variantes e desviatórias Tensões principais Um maciço rochoso é um corpo tridimensional e a carga resultante aplicada num corpo rochoso se deve à tensão distribuída em todas as três direções ortogonais Assim as direções das três tensões normais quando a tensão de cisalhamento é zero são chamadas de eixos principais A tensão normal ao longo desses eixos é chamada de tensão principal As tensões principais são representadas por σ1 σ2 e σ3 que indicam respectivamente as tensões máxima intermediária e mínima HARRISON 2005 Estudo da tensão stress 5 No Quadro 1 veja alguns casos particulares Quadro 1 Casos particulares dos estados de tensão Descrição Tensões principais Compressão confinada σ2 σ3 0 Compressão isostática σ1 σ2 σ3 0 Estado simples de tensão σ1 0 σ2 σ3 0 Compressão triaxial σ1 0 σ2 0 σ3 0 Fonte Adaptado de Harrison 2004 Tensões invariantes Alguns aspectos associados a um tensor de tensão são invariantes não im porta como você rotacione o seu sistema de coordenadas Esses aspectos são chamados de tensões invariantes e estão associados a um tensor de tensão simétrico As tensões invariantes I1 I2 e I3 são úteis para a construção de leis de tensãodeformação e critérios de ruptura como você vai ver adiante Elas podem ser expressas em termos das tensões principais Equações 5 6 e 7 JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Primeiramente veja como calcular o componente I1 da tensão invariante em função das tensões principais 5 Agora veja como calcular o componente I2 da tensão invariante em função das tensões principais 6 Por fim veja a Equação 7 relativa ao componente I3 da tensão invariante 7 Estudo da tensão stress 6 Tensões desviatórias As tensões de cisalhamento e normais têm consequências físicas diferentes uma vez que as primeiras atuam tangencialmente a um plano e as últimas normalmente a ele O tensor de tensão quando escrito em determinado sistema de coordenadas contém explicitamente apenas os componentes da tensão de cisalhamento que atuam em planos cujas normais são perpendi culares a uma das três direções das coordenadas Portanto quando escrito no sistema de coordenadas principal o tensor de tensão parece não conter tensões de cisalhamento No entanto em geral seria errado presumir que nenhuma tensão de cisalhamento age naquele ponto uma vez que as tensões de cisalhamento podem ser diferentes de zero em planos oblíquos Somente no caso especial em que todas as três tensões principais são iguais é que as tensões de cisa lhamento em todos os planos são iguais a zero FIORI 2015 JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Seria útil portanto representar o tensor de tensão de modo a mostrar claramente se há ou não tensões de cisalhamento atuando no ponto em questão A tensão desviatória é obtida subtraindose a parte isotrópica do tensor de tensão total para fazer isso você deve decompor o tensor de tensão em uma parte isotrópica ou hidrostática e uma parte desviatória As direções principais das tensões desviatórias S1 S2 e S3 são as mesmas das tensões principais Elas podem ser expressas em função destas como mostram as Equações 8 9 e 10 JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Primeira mente veja o componente S1 da tensão desviatória em função das tensões principais 8 Agora veja o componente S2 da tensão desviatória em função das tensões principais 9 Estudo da tensão stress 7 Por fim veja o componente S3 da tensão desviatória em função das ten sões principais 10 Muitos dos critérios de ruptura estão voltados à observação da distorção caso em que esses critérios são mais convenientemente expressos em termos dos invariantes das tensões desviatórias O primeiro invariante da tensão desviatória é sempre igual a zero os outros dois componentes podem ser escritos em termos das tensões desviatórias de acordo com as Equações 11 e 12 JAEGER COOK ZIMMERMAN 2007 Na Equação 11 veja o componente J2 invariante da tensão desviatória 11 Na Equação 12 a seguir veja o componente J3 invariante da tensão desviatória 12 Na próxima seção você vai conhecer melhor o círculo de Mohr ferramenta gráfica para o estudo de diversas variáveis mecânicas a exemplo da resis tência ao cisalhamento em solos e rochas bem como do estado de tensão em planos inclinados Círculo de Mohr O círculo de tensão de Mohr é um diagrama que mostra como as tensões normal e de cisalhamento variam com a orientação num material por exemplo um corpo rochoso Considere um plano tridimensional de ten sões A Figura 2 mostra três círculos de Mohr para tensões atuando em três conjuntos de planos cada conjunto contendo uma das principais direções de tensão CAPUTO 2015 Na prática muitas vezes a direção σ2 é desconsiderada e é plotado apenas o maior círculo de Mohr por meio de σ1 e σ3 Estudo da tensão stress 8 Se num sistema cartesiano ortogonal forem traçados três círculos como indicado na Figura 2 demonstrase que o ponto representativo do estado de tensão sobre qualquer seção inclinada em relação aos planos principais situase na área hachurada em vermelho limitada pelos três semicírculos Figura 2 Círculos de Mohr Fonte Adaptada de Nash 201 Com base nisso concluise que a tensão máxima de cisalhamento τmáx é igual ao raio do círculo maior Observe a Equação 13 relativa ao cálculo da tensão de cisalhamento máxima COELHO 2008 13 Para um estado plano de tensão os valores de τ e σ para determinado ângulo α podem ser obtidos graficamente pelo círculo de Mohr Para traçálo consideramse dois eixos ortogonais os σ são representados em abscissas e os τ em ordenadas As coordenadas do centro são Já o valor do raio é O círculo de Mohr conta com a seguinte propriedade todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2α corta o círculo num ponto D cujas coordenadas são os valores de σ e τ Figura 3 Estudo da tensão stress 9 Figura 3 Esquematização do círculo de Mohr Fonte Adaptada de Caputo 2015 O estudo da Figura 3 permite então depreender as conclusões matemá ticas descritas nas Equações 14 e 15 COELHO 2008 Observe a Equação 14 utilizada para o cálculo da tensão normal a um ângulo α 14 Agora veja a Equação 15 utilizada para o cálculo da tensão de cisalhamento a um ângulo α 15 Como desenhar o círculo de Mohr Na Figura 4 veja os passos necessários para a construção do círculo de Mohr Figura 4 Plotagem do círculo de Mohr Fonte Nash 201 documento online Estudo da tensão stress 10 Agora veja as instruções 1 desenhe o elemento que descreve as tensões e o círculo de Mohr 2 identifique um plano nesse caso AC do qual você conhece as tensões e marque no círculo de Mohr 3 Trace uma linha ac paralela ao plano AC até a intersecção com o círculo ponto P 4 Desenhe uma linha ab através de P paralela ao plano AB plano no qual você deseja saber o estado de tensão até a intersecção com o círculo ponto Y Embora a localização do ponto P varie com a orientação relativa isso não ocorre com o ponto Y A técnica pode então ser utilizada para se encontrar a orientação dos planos nos quais o estado de tensão é conhecido Exemplo Para o elemento em estado plano de tensões a seguir Figura 5 construa o círculo de Mohr Figura 5 Elemento em estado plano de tensões Estudo da tensão stress 11 Figura 7 Representação do círculo de Mohr para o estado simples de tensão Fonte Adaptada de Caputo 2015 Se as três tensões principais são iguais σ1 σ2 σ3 w a representação se reduz a um ponto Figura 8 Consequentemente τ 0 Figura 8 Representação do círculo de Mohr para tensões principais iguais Fonte Adaptada de Caputo 2015 Como você viu neste capítulo a mecânica dos maciços rochosos é um tema complexo Contudo com o auxílio de cálculos é possível estimar a resistência das rochas às cargas solicitantes Por isso o estudo das tensões é muito importante para diversas atividades a exemplo da mineração O cálculo correto dos esforços atuantes em determinada área de interesse permite a prevenção de acidentes além de possibilitar a exploração eficiente segura e otimizada Estudo da tensão stress 13 Referências AADNOY B LOOYEH R Mecânica de rochas aplicada perfuração e projeto de poços São Paulo LTC 2013 CAPUTO H P Mecânica dos solos e suas aplicações mecânica das rochas fundações e obras de terra 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 COELHO R T Processos de conformação dos materiais introdução à plasticidade São Paulo USP 2008 FIORI A P Fundamentos de mecânica dos solos e das rochas aplicações na estabilidade de taludes 3 ed São Paulo Oficina de Textos 2015 HARRISON J P Rock mechanics In SELLEY R C et al Encyclopedia of geology S l Elsevier 2005 p 440451 JAEGER J C COOK N G W ZIMMERMAN R W Fundamentals of rock mechanics 4th ed New jersey Blackwell Publishing 2007 NASH D Mohrs circle of stress Bristol University of Bristol 201 Disponível em httpsedisciplinasuspbrpluginfilephp5050926modresourcecontent6recMo hrDNashpdf Acesso em 23 nov 2020 OLIVEIRA A M S BRITO S N A ed Geologia de engenharia São Paulo ABGE 1998 PARK H J WESTT R Sampling bias of discontiuity orientation caused by linear sam pling technique Engineering Geology v 66 n12 2002 Disponível em httpswww sciencedirectcomsciencearticlepiiS0013795202000340 Acesso em 23 nov 2020 SCHULTZ R A Elastic rock rheology and stress concentration In GEOLOGIC Fracture Mechanics Cambridge Cambridge University Press 2019 p 2774 Leituras recomendadas ALMUSALLAM A TAHER S ED Threedimensional Mohrs circle for shear stress components Journal of Engineering Mechanics v 121 n 3 1995 Disponível em https ascelibraryorgdoiabs10106128ASCE2907339399281995291213A328477 29srcrecsys Acesso em 23 nov 2020 AMADEI B Rock anisotropy and the theory of stress measurements New York Springer Verlag 1983 BRAJA D SOBHAN K Fundamentos de engenharia geotécnica São Paulo Cengage Learning 2014 FIORI A P WANDRESEN R Tensões e deformações em geologia São Paulo Oficina de Textos 2014 Estudo da tensão stress 14 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Estudo da tensão stress 15