Modelagem Numérica na Mecânica das Rochas: Métodos e Aplicações

MECÂNICA DAS ROCHAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Identificar premissas e critérios de aplicação dos métodos diferenciais e dos métodos de elementos finitos Reconhecer os métodos estatísticos de validação dos parâmetros geome cânicos dos maciços rochosos Elaborar um exemplo de aplicação da modelagem pelo método de elementos finitos em maciços rochosos Introdução Os métodos numéricos se originaram por volta dos anos 1960 e desde aquela época já se apresentavam promissores quanto à sua aplicabilidade em diversos segmentos da engenharia e outros campos científicos a exemplo da mecânica de rochas Além disso a constante modernização dos computadores contribui positivamente para resolver problemas e simulações computacionais com cada vez mais agilidade e eficiência De maneira geral os métodos computacionais podem ser divididos em dois grupos os contínuos e os discretos Alguns problemas requerem o uso combinado dos métodos em esquemas híbridos Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas Lanna Caroline Normando Neste capítulo você estudará os principais métodos numéricos disponíveis atualmente para aplicações relacionadas à mecânica de rochas Assim entenderá as principais vantagens e desvantagens relacionadas a cada método bem como a importância da validação estatística dos dados obtidos Por fim verá como se dá a aplicação desses métodos na prática profissional Métodos numéricos Devido à natureza irregular dos materiais rochosos a previsão do seu comportamento sempre foi uma tarefa árdua Atualmente entretanto já estão disponíveis diversos métodos aplicáveis a uma grande variedade de problemas incluindo aproximações baseadas em experiências prévias modelos matemáticos que podem ser resolvidos analiticamente ou sistemas de classificação JING 2003 Existem diversos sistemas de classificação como RMR Q e GSI utilizados para estimar as propriedades das rochas A falta de informações é comum na mecânica de rochas de maneira que as aproximações ainda são amplamente utilizadas Como a modelagem em mecânica de rochas foi desenvolvida para o projeto de estruturas de engenharia em diferentes circunstâncias e diferentes propósitos e como diferentes técnicas de modelagem foram desenvolvidas agora temos um amplo espectro de abordagens de modelagem e projeto Fique atento As abordagens podem ser apresentadas de diferentes maneiras Os métodos numéricos mais comumente aplicados para problemas de mecânica das rochas são HAMMING 1987 métodos contínuos métodos discretos métodos híbridos contínuosdiscretos A escolha de métodos contínuos ou discretos depende de muitos fatores específicos do problema e principalmente da escala e da geometria do sistema de fratura A abordagem contínua pode ser usada se apenas algumas fraturas estiverem presentes e se a abertura da fratura e o deslocamento completo do bloco não forem fatores significativos FERZIGER 1981 Por outro lado a abordagem discreta é mais adequada para massas de rocha moderadamente fraturadas nas quais o número de fraturas é muito grande para a abordagem contínua com elementos de fratura ou nas quais ocorrem deslocamentos em grande escala de blocos individuais Assim sendo não há vantagens absolutas de um método sobre o outro No entanto algumas das desvantagens de cada tipo podem ser evitadas por modelos combinados chamados de modelos híbridos JING 2003 A seguir são listados os principais métodos numéricos disponíveis atualmente e sua respectiva nomenclatura em inglês NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIC 2016 Métodos contínuos método das diferenças finitas finite difference method FDM método de volumes finitos finite volume method FVM Método de elementos finitos finite element method FEM métodos sem malha meshless methods método de elementos de fronteira boundary element method BEM Métodos discretos método de elementos discretos discrete element method DEM método de rede de fraturas discretas discrete fracture network DFN Métodos híbridos método de elementos finitos discretos discrete finite element method método combinado de elementos discretos e finitos combined finite discrete element method FEMDEM Saiba mais A modelagem numérica para análise de problemas em rochas deve incluir a possibilidade de descrição do comportamento pela relação entre diversos fatores como mecanismos de fratura atuantes a presença prévia de falhas o estado de tensão heterogeneidades e anisotropia Também deve considerar uma variante temporal pela possibilidade de deformação plástica STEAD EBERHARDT COGGAN 2006 Métodos FDM e FVM O FDM é um dos métodos numéricos mais antigos amplamente aplicados para resolver as equações diferenciais parciais que encontraram sua aplicação na mecânica das rochas O princípio geral do método é substituir as derivadas parciais da função pelas diferenças finitas definidas em um determinado intervalo nas direções das coordenadas Mais precisamente o domínio precisa ser particionado em grade de nós entre os quais as diferenças finitas são definidas NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 HAMMING 1987 É importante notar que o FDM pode ser usado para resolver os problemas dependentes do tempo É composto pelas seguintes etapas 1 Construção da malha malha consiste em uma representação discreta do domínio e sua construção tem impacto direto nas próximas etapas do método A malha mais simples possível é aquela constituída por pontos igualmente espaçados malha uniforme 2 Construção do problema discreto consiste na discretização das equações 3 Resolução do sistema discreto essa etapa consiste em resolver o sistema discreto construído na etapa anterior 4 Visualização e interpretação dos resultados Como resultado da malha do domínio um sistema de equações algébricas com incógnitas surgirá Depois de introduzir as condições de contorno o sistema de equações algébricas é finalmente resolvido geralmente por mé todos diretos ou iterativos o que produz os valores das incógnitas levando à solução aproximada da equação diferencial parcial Esse método consiste então numa técnica mais direta e intuitiva para resolver as equações dife renciais parciais A vantagem do método também está na possibilidade de simular o comportamento de materiais não lineares complexos sem soluções iterativas NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 O desenvolvimento dessa abordagem continuou com o FVM que é um método para resolver equações diferenciais parciais não diretamente como no FDM mas no sentido integral Isso leva à formulação de volumes finitos que representam o volume ao redor de cada ponto da malha O princípio básico é substituir as integrais por funções algébricas das incógnitas nos nós levando em consideração as condições iniciais e de contorno que levam ao conjunto de equações algébricas As principais vantagens do FVM são as possibilidades de utilização de malhas irregulares não estruturadas como triângulos e quadriláteros e consi deração das heterogeneidades do material Ou seja é possível unir diferentes propriedades do material a diferentes volumes finitos FERZINGER 1981 LINS PROENÇA DUARTE 2019 Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 4 Método FEM O FEM se originou no início dos anos 1960 e foi desenvolvido como uma al ternativa ao FDM para a solução numérica da concentração de tensões em mecânica contínua Foi o primeiro método numérico capaz de dar conta das heterogeneidades não linearidades geometrias complexas e condições de contorno dos materiais Devido a isso tornouse imediatamente o método numérico mais aplicado na mecânica das rochas principalmente porque o FDM naquela época se limitava a grades regulares O FEM foi se desenvolvendo ainda mais ao longo dos anos e hoje ainda é o método numérico mais aplicado para muitas simulações de mecânica avançada de rochas e solo do comportamento não linear dependente do tempo e anisotrópico BOBET et al 2009 O FEM é o método numérico para encontrar soluções aproximadas para os problemas de valorlimite para equações diferenciais O princípio geral é dividir o domínio do problema em subdomínios menores chamados elementos finitos fazer a aproximação local dentro de cada elemento finito realizar a montagem dos elementos finitos e encontrar a solução da equação da matriz global LINS PROENÇA DUARTE 2019 Mais precisamente a função desconhecida geralmente função de deslocamento precisa ser aproximada com uma funçãoteste dos valores nodais em uma forma polinomial em que a integração numérica é realizada em cada elemento em pontos de quadratura gaussiana Depois que a montagem dos elementos finitos é realizada o sistema algébrico de equações em nível global é obtido NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 Uma das vantagens mais aproveitadas do FEM é a possibilidade de repre sentar rochas heterogêneas sendo possível atribuir diferentes propriedades de materiais a diferentes elementos finitos Atualmente existem várias formas de elementos finitos para casos 1D 2D e 3D LINS PROENÇA DUARTE 2019 Por causa das suposições de continuum os métodos usuais de FEM têm restrições na aplicação eficiente da análise de falha trincas e descontinuidades ou singularidades induzidas por danos Uma vez que a rocha é um material des contínuo e o FEM é um método contínuo houve muitas tentativas de melhorálo a fim de simular a propagação da fratura e outros efeitos descontínuos na rocha Dos primeiros experimentos com espécimes de rocha foi observado que as curvas tensãodeformação obtidas experimentalmente até a ruptura não são lineares Um dos primeiros modelos capaz de simular aproximadamente a curva tensãodeformação não linear devido à abertura de trinca foi o modelo de trinca espalhada Modelos como esse eram perfeitamente frágeis no início embora a rocha tenha alguma capacidade de carga residual após atingir sua resistência resultando em um comportamento dúctil HAMMING 1987 Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 5 Métodos sem malha A aplicação do FEM em problemas práticos de engenharia com geometrias complexas propriedades de materiais e condições de contorno requer a ge ração de uma malha o que às vezes pode ser tão complicado quanto resolver o problema Outra desvantagem do FEM é o travamento que geralmente se reflete em uma instabilidade numérica devido à distorção da malha LINS PROENÇA DUARTE 2019 Ambos problemas podem ser evitados por métodos sem malha desenvolvidos de forma que os elementos que conectam os pontos não sejam necessários Em vez disso as funções de teste não são mais como no FEMpadrão e sim geradas dentro de um domínio de influência Mais pre cisamente basta gerar os pontos em todo o domínio sem definir a topologia de elemento fixo As funções de interpolação obtidas dessa forma não são mais funções polinomiais e é mais difícil integrálas em comparação com o FEMpadrão em que os pontos de integração de Gauss dentro dos elementos são usados para integração numérica Isso torna os métodos sem malha mais exigentes computacionalmente mas com a vantagem de não usar os geradores de malhas padrão e representação mais fácil de geometrias mais complexas NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 Método BEM O BEM é um método numérico computacional para resolver equações dife renciais parciais cuja a solução obtida não é satisfatoriamente precisa Assim o princípio básico do BEM é usar as condições de contorno fornecidas para ajustar os valores de contorno na equação integral Portanto a discretização é necessária apenas na fronteira com um número finito de elementos de fronteira Depois de encontrar a solução em um contorno a equação integral pode ser usada novamente para o cálculo de soluções diretamente dentro do domínio A principal vantagem do BEM é a redução das dimensões do modelo em 1 Portanto para problemas de BEM 2D os elementos de contorno são linhas 1D que podem ser constantes lineares ou quadráticas No caso 3D os elementos de limite são 2D A aproximação da solução nos elementos de fronteira é reali zada usando as funções de forma semelhante ao FEM A integração numérica é geralmente realizada usando pontos de quadratura gaussiana Ao aplicar as condições de contorno nas equações matriciais obtidas após o estágio de aproximação a equação matricial global final com incógnitas no contorno é obtida Ao contrário das equações da matriz FEMpadrão a matriz global em BEM é geralmente assimétrica BOBET et al 2009 HAMMING 1987 Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 6 Método DEM O DEM começou a se desenvolver no campo das aplicações da mecânica das rochas devido à sua capacidade de modelar o comportamento descontínuo característico das rochas O método foi definido principalmente como a abordagem computacional que pode simular deslocamentos finitos e rotações de corpos discretos incluindo seu desprendimento As formulações teóricas são baseadas nas equações de movimento de corpos rígidos ou deformáveis usando integrações de tempo implícitas ou explícitas O conceito básico é tratar o domínio de interesse como um conjunto de partículas ou blocos que estão continuamente interagindo entre si Na abordagem DEM o contato entre os componentes do sistema muda constantemente durante o processo de deformação NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 Método DFN O DFN é um modelo discreto que começou a ser desenvolvido no final dos anos 1970 principalmente para simular o fluxo de fluidos e os processos de transporte através das fraturas de rocha conectadas O transporte de água subterrânea é dominado pelos caminhos conectados formados por fraturas rachaduras vazios etc Assim o problema central é definir a posição a geometria e as propriedades de fraturas discretas O modelo DFN pode ser resolvido para entender os problemas de transporte e a natureza do fluxo LINS PROENÇA DUARTE 2019 FERZINGER 1981 Validação de modelos numéricos A validação de um modelo matemático é definida como sua comprovação dentro de seu domínio de aplicabilidade e para uma faixa satisfatória de precisão coerente com o sistema real e sua aplicação prevista O desenvol vimento da modelagem matemática de um processo deve ter um propósito específico e sua validade é determinada em concordância com tal propósito Em geral a validação absoluta não existe mas há técnicas particulares que foram estabelecidas para validar os modelos de forma quantitativa com um propósito específico e dentro de uma faixa de valores O modelo desenvolvido é considerado válido se sua precisão estiver dentro da faixa de valores aceitáveis exigida para o propósito previsto Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 7 O conjunto de testes que permite determinar se o modelo obtido é válido ou não é analisado a seguir GENT 2019 Os testes estatísticos permitem validar modelos matemáticos mediante a análise de um conjunto de dados gerados pelo modelo e os dados reais do processo O uso desses testes permite estabelecer o nível de confiabilidade exigido para que o modelo seja aceitável na aplicação prevista As comparações visuais possibilitam uma forma intuitiva de verificar se as saídas previstas pelo modelo acompanham o sistema real Para isso é necessário um conjunto de dados empíricos que devem ser independentes dos dados usados na construção do modelo validação cruzada A análise spectral permite avaliar o nível de confiabilidade do modelo por meio da resposta em frequência em uma determinada faixa de frequências Duas etapas de validação são importantes A primeira compreende a validação mediante testes estatísticos a fim de obter um grau de confiabilidade do modelo dentro da região de aplicação A segunda etapa compreende uma validação subjetiva que consiste em realizar comparações gráficas entre os dados reais e aqueles previstos assim como acertar a faixa de frequências em que o modelo é validado Validação aplicando testes estatísticos os testes estatísticos são instrumentos para validar ou rejeitar hipóteses de modelagem de um sistema real Eles tentam distinguir o que é plausível do que é pouco verossímil em determinado modelo A finalidade desses testes é determinar seu grau de certeza ou confiabilidade e o significado do resultado obtido Esse tipo de validação é aplicado em casos em que seja possível obter dados experimentais para serem comparados com os dados simulados do modelo construído A comparação é realizada mediante uma excitação na entrada tanto do sistema real quanto do modelo Assim os dados de saída real e simulada são comparados a fim de determinar se existe uma representação adequada do sistema real Exemplo de aplicação do FEM Para exemplificar a aplicação do FEM vejamos a modelagem numérica reali zada por Aresh et al 2010 com o objetivo de modelar o processo de remoção de material no processo de corte de rochas a fim de entender a influência do atrito e estudar a deformação do material de rochas heterogêneas Os materiais de ferramentas de corte mais comumente usados são car boneto de tungstênio e diamante policristalino São usados na usinagem de rochas em diversas indústrias e tarefas como perfuração para petróleo e gás mineração escavação e construção de túneis Tendo em vista que as rochas são substâncias extremamente variáveis os estudos baseados em um tipo específico de rocha podem não ser aplicáveis a outros tipos A mecânica de fraturas em rocha estuda o critério de falha e os mecanismos de falha e fornece maneiras de maximizar ou minimizar a fratura O desgaste das fer ramentas é inevitável e portanto há uma necessidade maior de se entender a mecânica da fratura das rochas para aprimorar as ferramentas utilizadas No estudo realizado por Aresh et al 2010 a ferramenta de elementos finitos foi utilizada para simular o Ensaio Brasileiro NBR 7222 Um modelo bidimensional do teste brasileiro foi modelado no software ELFEN que permite a modelagem explícita da fratura com um diâmetro de amostra de 100 mm e com ambas as placas movendose para dentro como mostrado na Figura 1 Figura 1 Amostra modelada no software ELFEN Fonte Aresh et al 2010 documento online Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 9 Nessa simulação cada uma das placas se move para dentro a uma ve locidade de 75 mms o que produz uma velocidade líquida de 15 mms A velocidade aplicada é sustentada por uma duração de 002 segundo com um aumento linear atingindo seu valor total em 00001 segundo permane cendo constante posteriormente As placas são rígidas o suficiente para causar a ruptura da rocha sem que ela se deforme A topologia de malha triangular foi aplicada a todo o modelo com um tamanhopadrão de malha de 5 mm Figura 2 Figura 2 Geração de malha Fonte Aresh et al 2010 documento online A Figura 3 ilustra o início da trinca e a propagação da fratura na dire ção da força aplicada A bifurcação das fissuras também foi observada à medida que as fissuras se ramificam e se aglutinam com outras para formar uma frente de fratura levando à ruptura NIKOLIC ROJEBONACCI IBRAHIMBEGOVIĆ 2016 Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 10 Figura 3 Resultados da simulação Fonte Aresh et al 2010 documento online Neste capítulo você estudou os diversos métodos numéricos existentes na atualidade e como eles podem ser aplicados nos estudos de engenharia especialmente na mecânica de rochas O conhecimento dessas técnicas é particularmente importante frente ao avanço dos métodos e à ampliação da capacidade dos computadores permitindo agilidade e segurança nas simulações de atividades Modelagem numérica aplicada à mecânica de rochas 11 Referências ARESH B et al Investigation into rock mechanics using finite element method In ISRM INTERNATIONAL SYMPOSIUM 2010 ASIAN ROCK MECHANICS SYMPOSIUM 6 2010 New Delhi Proceedings New Delhi s n 2010 Disponível em httpswwwresearchgate netpublication229422250Investigationintorockmechanicsusingfiniteele mentmethod Acesso em 4 jan 2021 BOBET A et al Numerical Models in Discontinuous Media Review of Advances for Rock Mechanics Applications Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engine ering v 135 n 11 p 15471561 2009 Disponível em httpswwwresearchgatenet publication228340582NumericalModelsinDiscontinuousMediaReviewofAd 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