Etapas da Análise Estatística e Inferência Estatística

Carmen Diva Saldiva de André DATA SCIENCE I Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Etapas recomendadas da Análise Estatística 3 Organização dos dados Informações contidas nos dados Análise descritiva Conclusões sobre características da população Inferência estatística População Amostra Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Inferência Estatística 4 A inferência estatística permite generalizar conclusões obtidas numa amostra para a população de onde ela foi obtida A inferência estatística leva em consideração a variabilidade dos resultados de amostra para amostra As técnicas de inferência estatística são divididas em dois grandes grupos Estimação Testes de hipótese Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 5 Testes de Hipótese Hipótese estatística conjectura sobre alguma característica da população parâmetro populacional desconhecido A hipótese deve ser estabelecida antes da realização do estudo Eu acredito que a proporção de pessoas com dengue neste ano no Estado de São Paulo com idades entre 15 e 50 anos é maior que 1 5 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 6 Exemplo 1 Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90 de peças dentro das especificações O IPEM deseja investigar se este processo de fabricação ainda está sob controle Foi selecionada uma amostra aleatória de 100 itens e observada a proporção itens satisfatórios Parâmetro de interesse proporção de itens dentro das especificações na população p H0 p090 hipótese nula H1 p090 hipótese alternativa Hipótese nula afirmação sobre p em geral ligada a um valor de referência ou a uma especificação padrão ou histórica Hipótese alternativa afirmação sobre p que suspeitamos seja verdadeira No caso especial de teste de hipóteses sobre o parâmetro p temos Hipóteses Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Exemplo 2 Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contêm em média não mais que 30 mg de nicotina Uma ONG antitabagismo não concorda com essa afirmação e colhe uma amostra aleatória de 81 cigarros dessa marca para contestar a afirmação H0 30 hipótese nula H1 30 hipótese alternativa Parâmetro de interesse média da quantidade de nicotina em um cigarro Hipóteses onde é a média de nicotina cigarro 7 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 8 Os conceitos sobre testes de hipótese já apresentados são gerais e válidos para testes sobre diferentes parâmetros médias variâncias proporções coeficientes de regressão etc Neste curso vamos nos concentrar de uma forma geral em testes sobre as médias de variáveis com distribuição normal Como já visto dois tipos de erros podem ser cometidos Erro de tipo I rejeitar H0 quando H0 é verdadeira Erro de tipo II não rejeitar H0 quando H0 é falsa Perro de tipo I Perro de tipo II nível de significância do teste Em um teste de hipótese é fixado Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Procedimento geral para testar hipóteses Estabelecer as hipóteses a serem testadas hipótese nula e hipótese alternativa Fixar o nível de significância Em geral 005 Selecionar as amostras Calcular o valor da estatística de teste apropriada Construir a Região crítica ou calcular o valorp Decidir verificando se o valor da estatística pertence ou não à Região crítica ou comparando o valorp com o nível de significância 9 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 10 Se o valorp é pequeno então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra supondo a hipótese nula H0 verdadeira Logo há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitála Para valores não tão pequenos do valorp não fica evidente que a hipótese nula H0 seja falsa portanto tendemos a não rejeitála O limite para pequeno é o nível de significância ou seja valorp rejeitase H0 valorp não se rejeita H0 Se valorp dizse que a amostra forneceu evidência para rejeitar a hipótese nula H0 Se valorp dizemos que a amostra não forneceu evidência para rejeitar a hipótese nula H0 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 11 Teste de igualdade de duas proporções Exemplo 3 Para investigar a lealdade de consumidores a um determinado produto sorteouse uma amostra de 200 homens e 200 mulheres Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 homens e 120 mulheres Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os gêneros Em caso afirmativo construa um intervalo de confiança para a diferença Sejam pH proporção de homens com alto grau de fidelidade pM proporção de mulheres com alto grau de fidelidade Hipóteses de interesse H0 pH pM H1 pH pM Banco de dados AltaFidelidadexlsx Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Procedimento para testar a igualdade de duas proporções Hipóteses estatísticas H0 p1 p2 H1 p1 p2 ou p1 p2ou p1 p2 Nível de significância α 005 Seleção das amostras Amostra de tamanho n1 de uma população com proporção p1 se observamos x1 sucessos na amostra então Amostra de tamanho n2 da população com proporção p2 se observamos x2 sucessos então Ƹ𝑝1 𝑋1 𝑛1 estimador pontual de 𝑝1 Ƹ𝑝2 𝑋2 𝑛2 estimador pontual de 𝑝2 12 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 13 Estatística do teste 𝑍 Ƹ𝑝1 Ƹ𝑝2 Ƹ𝑝 1 Ƹ𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 Se n1 e n2 são suficientemente grandes essa estatística sob H0 tem uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 onde Ƹ𝑝 𝑋1 𝑋2 𝑛1 𝑛2 Região crítica depende da hipótese alternativa H1 p1 p2 H1 p1 p2 H1 p1 p2 Hipótese alternativa Região crítica 𝑍𝑜𝑏𝑠 𝑧𝛼2 𝑜𝑢 𝑍𝑜𝑏𝑠 𝑧𝛼2 𝑍𝑜𝑏𝑠 𝑧𝛼 𝑍𝑜𝑏𝑠 𝑧𝛼 Para α 005 𝑍𝑜𝑏𝑠 196 𝑜𝑢 𝑍𝑜𝑏𝑠 196 𝑍𝑜𝑏𝑠 164 𝑍𝑜𝑏𝑠 164 𝑍𝑜𝑏𝑠 valor observado da estatística de teste Z Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 14 Representação das regiões críticas para hipóteses alternativas bilaterais e unilaterais α 005 H1 p1 p2 H1 p1 p2 H1 p1 p2 𝑍𝑜𝑏𝑠 196 𝑜𝑢 𝑍𝑜𝑏𝑠 196 𝑍𝑜𝑏𝑠 164 𝑍𝑜𝑏𝑠 164 04 03 02 01 00 Z Densidade 1960 0025 1960 0025 0 04 03 02 01 00 Z Densidade 005 0 164 04 03 02 01 00 Z Densidade 005 0 164 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 15 Cálculo do valorp depende da hipótese alternativa H1 p1 p2 H1 p1 p2 H1 p1 p2 04 03 02 01 00 Z Densidade Zobs p2 Zobs p2 0 04 03 02 01 00 Z Densidade p 0 Zobs 04 03 02 01 00 Z Densidade Zobs p 0 Valorp 2 x PZ zobs Valorp PZ zobs ValorpPZzobs 𝑍𝑜𝑏𝑠 valor observado da estatística de teste Z Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 16 No Exemplo 3 Hipóteses de interesse H0 pH pM H1 pH pM nH 200 100 com alto grau de fidelidade nM 200 120 com alto grau de fidelidade 𝑝 200 05 200 06 200 200 055 Ƹ𝑝𝐻 100 200 05 Ƹ𝑝𝑀 120 200 06 𝑍 Ƹ𝑝𝐻 Ƹ𝑝𝑀 Ƹ𝑝 1 Ƹ𝑝 1 𝑛𝐻 1 𝑛𝑀 Estatística do teste Valor da estatística do teste 𝑧𝑜𝑏𝑠 05 06 055 1 055 1 200 1 200 201 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 17 valorp 2 PZ 201 0044 Região crítica teste bilateral Nível Descritivo valorp 5 RC Z Z 196 ou Z 196 Decidir e concluir zobs 201 RC rejeitase H0 ou valorp 005 rejeitase H0 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 18 Ƹ𝑝𝐻 Ƹ𝑝𝑀 fornece uma estimativa por ponto para a verdadeira diferença pH pM das proporções populacionais Ƹ𝑝𝐻 Ƹ𝑝𝑀 196 Ƹ𝑝𝐻1 Ƹ𝑝𝐻 𝑛𝐻 Ƹ𝑝𝑀1 Ƹ𝑝𝑀 𝑛𝑀 Intervalo de confiança de 95 para a diferença pH pM usando a aproximação normal Observação O erro padrão da diferença das proporções amostrais não é o mesmo que aquele usado no teste No teste de hipóteses o erro padrão empregado foi baseado na suposição de que a hipótese nula era verdadeira pHpM p essa suposição não é necessária no cálculo de um intervalo de confiança Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 19 No R Rcmdr Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 20 Percentage table Fidelidade Grupo Nao Sim Total Count H 50 50 100 200 M 40 60 100 200 2sample test for equality of proportions without continuity correction data Table Xsquared 40404 df 1 pvalue 004442 alternative hypothesis twosided 95 percent confidence interval 0002986732 0197013268 sample estimates prop 1 prop 2 05 04 Saída do R De acordo com o que consta na aba Opções do R este é um intervalo de confiança de 95 para a diferença entre as proporções de não fidelidade entre homens e mulheres Proporção amostral de não fidelidade nos homens Proporção amostral de não fidelidade nas mulheres Pode ser demonstrado que o intervalo de confiança de 95 para a diferença entre as proporções de fidelidade entre homens e mulheres é 0197 000299 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 21 Comparação das médias de duas populações Amostras independentes Podem ocorrer duas situações Variâncias iguais e desconhecidas Variâncias desiguais e desconhecidas Discutiremos apenas os testes conhecidos como paramétricos que assumem que as variáveis se comportam segundo um modelo Normal Exemplo 4 Foram medidas as resistências à tração Mpa em duas amostras de 10 corpos de prova de plástico preparados por dois processos P1 e P2 As elasticidades médias obtidas pelos dois processos são iguais P1 716 596 667 858 683 753 601 772 620 710 P2 838 830 749 854 803 727 764 814 848 798 H0 1 2 H1 1 2 Hipóteses Banco de dados ResistenciaTracaoxlsx Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Procedimento para testar a igualdade de duas médias Variâncias iguais Hipóteses estatísticas H0 µ1 µ2 H1 µ1 µ2ou µ1 µ2ou µ1 µ2 Nível de significância α 005 Seleção das amostras Amostra de tamanho n1 de uma população com média µ1 Calcular a média amostral e a variância amostral ҧ𝑥1 e 𝑆1 2 Amostra de tamanho n2 de uma população com média µ2 Calcular a média amostral e a variância amostral ҧ𝑥2 e 𝑆2 2 22 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 23 06 05 04 03 02 01 00 População 1 População 2 N12 N22 amostra 1 x11 x12 x1n1 amostra 2 x21 x22 x2n2 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 24 24 Estatística do teste 𝑡 lj𝑥1 lj𝑥2 𝑠 1𝑛1 1𝑛2 onde 𝑠2 𝑛1 1𝑠1 2 𝑛2 1𝑠2 2 𝑛1 𝑛2 2 Variância amostral combinada Se H0 é verdadeira t tem distribuição tStudent com n1n22 graus de liberdade 4 2 0 2 4 00 01 02 03 04 T1 T5 T30 Z Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 25 Região crítica depende da hipótese alternativa H1 µ1 µ2 H1 µ1 µ2 H1 µ1 µ2 Hipótese alternativa Região crítica 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑡𝑛1𝑛22 𝛼2 𝑜𝑢 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑡𝑛1𝑛22𝛼2 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑡𝑛1𝑛22𝛼 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑡𝑛1𝑛22𝛼 Por exemplo para n1 n2 10 hipótese alternativa bilateral e α 005 04 03 02 01 00 T Densidade 2101 0025 2101 0025 0 distribuição tStudent com 18 graus de liberdade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 26 Cálculo do valorp depende da hipótese alternativa H1 µ1 µ2 H1 µ1 µ2 H1 µ1 µ2 𝑡𝑜𝑏𝑠 valor observado da estatística de teste t 04 03 02 01 00 T Densidade t obs t obs p2 0 p2 Distribuição tStudent com 18 graus de liberdade 04 03 02 01 00 T Densidade t obs p 0 Distribuição tStudent com 18 graus de liberdade Valorp 2 x Pt tobs Valorp Pt tobs ValorpPttobs 04 03 02 01 00 T Densidade 25 p 0 Distribuição tStudent com 18 graus de liberdade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 27 No Exemplo 4 Processo N Média Desvio Padrão Mínimo Mediana Máximo P1 10 698 083 597 697 858 P2 10 803 044 727 809 854 Análise descritiva P2 P1 85 80 75 70 65 60 Resistência à tração Mpa Banco de dados ResistenciaTracaoxlxs Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Hipóteses de interesse H0 1 2 H1 1 2 005 fixado 𝑠2 10 1 0832 10 10442 10 10 2 044 𝑡𝑜𝑏𝑠 698 803 066 110 110 354 s 066 Nível de significância Estatística do teste 𝑡 lj𝑥1 lj𝑥2 𝑠 1𝑛1 1𝑛2 Valor da estatística do teste n1n210 n1n2218 28 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 29 Cálculo do valorp Valorp Pt354 Pt354 onde t tem distribuição tStudent com 18 graus de liberdade Rejeitamos H0 Valorp0002 As médias das resistências à tração nos dois métodos não são iguais 04 03 02 01 00 T Densidade 354 0001 354 0001 0 Distribuição tStudent com 18 graus de liberdade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 30 Verificação das suposições Normalidade Gráfico QQ Normal das observações em cada processo Os gráficos não apontam desvios grosseiros da distribuição normal Igualdade de variâncias O teste de igualdade de variâncias será apresentado posteriormente Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 31 No R Rcmdr Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 32 Two Sample ttest data Resistencia by Processo t 35433 df 18 pvalue 0002322 alternative hypothesis true difference in means between group P1 and group P2 is not equal to 0 95 percent confidence interval 16692456 04265648 sample estimates mean in group P1 mean in group P2 6977814 8025719 Saída do R Intervalo de confiança de 95 para a diferença entre as médias populacionais 1 2 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 33 Procedimento para testar a igualdade de duas médias Variâncias diferentes N𝜇1 𝜎1 2 N𝜇2 𝜎2 2 amostra 1 x11 x12 x1n1 amostra 2 x21 x22 x2n2 média amostral ҧ𝑥 1 variância amostral 𝑆1 2 média amostral ҧ𝑥 variância amostral 𝑆2 2 2 São adotados os mesmos procedimentos porém a estatística do teste é dada por t lj𝑥1 lj𝑥2 𝑆12 𝑛1 𝑆22 𝑛2 Sob H0 t tem distribuição tStudent com graus de liberdade 𝜈 𝑠1 2𝑛1 𝑠2 2𝑛22 𝑠1 2𝑛12𝑛1 1 𝑠2 2𝑛22𝑛2 1 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Exemplo 4 continuação No exemplo 4 se não supusermos variâncias iguais 𝑡 698 803 06910 01910 354 Estatística do teste Valor da estatística do teste t lj𝑥1 lj𝑥2 𝑆12 𝑛1 𝑆22 𝑛2 lj𝑥1 698 lj𝑥2 803 𝑆1 2 0832 069 𝑆2 2 0442 019 Cálculo do valorp Valorp Pt354 Pt354 onde t tem distribuição tStudent com ν graus de liberdade ν 136 34 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 35 Cálculo do valorp Valorp Pt354 Pt354 onde t tem distribuição tStudent com ν graus de liberdade Neste exemplo ν 136 04 03 02 01 00 T Densidade 354 00017 354 00017 0 distribuição tStudent com 136 graus de liberdade Valorp 00017 x 2 0034 Rejeitamos a hipótese de igualdade das médias da resistência à tração nos dois processos Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 36 No R Rcmdr A única alteração em relação ao teste com variâncias desconhecidas e iguais ocorre nas opções t 35433 df 13607 pvalue 0003376 alternative hypothesis true difference in means between group P1 and group P2 is not equal to 0 95 percent confidence interval 1683939 0411871 sample estimates mean in group P1 mean in group P2 6977814 8025719 Resultados Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 37 Comparação das médias de duas populações Amostras dependentes Característica das amostras dependentes pareadas para cada unidade amostral realizamos duas medições Em geral observações pareadas correspondem a medidas tomadas antes e depois de uma dada intervenção cada indivíduo unidade experimental é examinado antes que um certo tratamento seja aplicado e novamente depois que o tratamento foi completado Dizemos neste caso que o estudo é longitudinal Outro tipo de emparelhamento unidades experimentais que são naturalmente agrupadas como em famílias hospitais escolas vizinhanças etc Em situações como as descritas acima as observações feitas em uma mesma unidade experimental ou em unidades experimentais agrupadas são em geral correlacionadas Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 38 Uma vantagem deste planejamento é controlar fontes de variação que poderiam influenciar os resultados da comparação Por exemplo Se as medidas são feitas no mesmo sujeito uma certa variabilidade biológica é eliminada não temos que nos preocupar com o fato de um sujeito ser mais velho do que outro ou se um é homem e o outro é mulher A desvantagem é que pode ocorrer perda de observações um indivíduo pode comparecer em apenas uma das avaliações por exemplo Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 39 Exemplo 5 Uma empresa quer avaliar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores Para isso sorteou seis operários e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo Os resultados sugerem que há ou não melhora na produtividade Caso haja melhora qual o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica Xi número de peças produzidas pelo operário i na semana sem intervalo Operário 1 2 3 4 5 6 Sem intervalo 23 35 29 33 43 32 Com intervalo 28 38 29 37 42 30 Yi número de peças produzidas pelo operário i na semana com intervalo 39 Banco de dados CafezinhoLongoxlsx Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Objetivo do emparelhamento eliminar quaisquer distorções que poderiam ser introduzidas ao se comparar indivíduos que diferem com relação a outras variáveis como idade sexo peso etc As observações podem ser dispostas como a seguir Variável de interesse D Y X d1 d2 dnamostra de tamanho n das diferenças Amostra 1 Amostra 2 x1 y1 x2 y2 xn yn di yi xi d1 y1 x1 d2 y2 x 2 dn yn xn 40 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 H0 D 0 H1D 0 ou D 0 ou D 0 O efeito produzido para o iésimo indivíduo pode ser representado pela variável diferença Di Yi Xi comsem Suposição Di ND D 2 para i 1 n a pausa para o café não produz efeito a pausa para o café produz algum efeito Hipóteses estatísticas Observação a análise de duas amostras pareadas se reduz ao teste de hipótese sobre a média de uma população e os mesmos procedimentos já apresentados são aplicados 41 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 O parâmetro D é estimado pela média amostral das diferenças Um estimador da variância das diferenças é dado por ሜ𝐷 1 𝑛 𝑖1 𝑛 𝐷𝑖 𝑆𝐷 2 1 𝑛 1 𝑖1 𝑛 𝐷𝑖 ሜ𝐷2 Estatística do teste 𝑡 ሜ𝐷 𝑆𝐷Τ 𝑛 Sob H0 a estatística t tem distribuição tStudent com n1 graus de liberdade 42 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 No exemplo 5 Há evidência estatística de que a pausa para o café aumenta a produtividade Hipóteses de interesse que equivale a H0 X Y H1 Y X Estatística de teste 𝑡 ሜ𝐷 𝑆𝐷Τ 𝑛 𝑡𝑛1 sob H0 Nível de significância 5 H0 D 0 H1 D 0 comsem 43 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Amostra de pares di yi xi 5 3 0 4 1 2 ሜ𝑑 σ𝑖1 6 𝑑𝑖 6 9 6 15 𝑠𝐷 σ𝑖1 6 𝑑𝑖 ሜ𝑑2 6 1 288 Valor da estatística do teste 𝑡𝑜𝑏𝑠 15 288Τ 6 1276 Sob a hipótese nula H0 t tem distribuição tStudent com 6 1 5 graus de liberdade Região Crítica 5 RC t𝑜𝑏𝑠 2015 Média amostral das diferenças Desvio padrão amostral das diferenças 44 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Nível descritivo valorp Pt 1276 0129 não há evidência experimental para concluirmos que a pausa para um cafezinho melhora a produtividade média Decidir e concluir tobs 1276 RC não se rejeita H0 ou valorp 005 não se rejeita H0 45 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 46 No R Rcmdr Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 47 Resultados Paired ttest data Comintervalo and Semintervalo t 12753 df 5 pvalue 01291 alternative hypothesis true mean difference is greater than 0 95 percent confidence interval 0870003 Inf sample estimates mean difference 15 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 48 48 Gráfico QQ Normal da Diferença Com Sem Verificação da suposição de normalidade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 49 Utilização do Excel na análise dos dados Nos slides anteriores ilustramos a utilização do aplicativo estatístico R na realização de testes de hipótese O R é um aplicativo computacional para a análise estatística de dados de uso livre e a rotina Rcmdr possibilita a análise via menu O Excel consiste em alternativa de ferramenta computacional bastante acessível Vamos ilustrar a utilização do Excel na realização de alguns testes apresentados aplicando as rotinas disponíveis na opção Análise de dados do ícone Dados Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 50 O primeiro passo é verificar se a opção Análise de dados está disponível Clicando em Dados o ícone deve aparecer no canto superior direito Caso não esteja seguir o caminho Arquivo Opções Suplementos Ir Ferramentas de análise de dados Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 51 Atividade em grupo Resolver os exemplos 4 e 5 no Excel Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 52 Comparação das médias de duas populações ou mais Amostras independentes Análise de Variância ANOVA Exemplos 6 Comparação das médias do número de horas de alívio de dor de cabeça proporcionado por cinco marcas de comprimido 7 Um fabricante de sacolas de papel está interessado em aumentar a capacidade de carga de seu produto O engenheiro responsável pela fabricação do papel decide então investigar o efeito da concentração de fibras de celulose na massa para produção do papel As concentrações de interesse prático são 5 10 15 e 20 Foram fabricadas 6 unidades em cada concentração As 24 unidades foram testadas em laboratório em ordem aleatória medindose em cada uma delas a tensão do papel Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 8 Um hospital quer avaliar se a educação de pacientes no uso de uma droga anticoagulante aumenta a compreensão de como usar o medicamento corretamente Para isso considera dois fatores aplicação de um formulário padronizado com instruções sim ou não e explicação sobre o uso dada por um farmacologista sim ou não 9 Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade Um experimento foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A altura da prateleira cujos níveis são embaixo no meio e em cima e do fator B largura da prateleira com níveis regular e larga nas vendas em número de unidades deste pão durante certo período Doze supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela foram utilizados no estudo Cada um dos 6 tratamentos foi atribuído ao acaso a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja 53 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Definições Fator é uma variável qualitativa controlada cujo efeito se quer testar Em um experimento pode haver um ou mais fatores Nível de um fator é cada categoria do fator Tratamento é uma combinação dos níveis do fator Quando há apenas 1 fator os tratamentos coincidem com os níveis do fator Variável resposta é a variável dependente do experimento que será empregada para se avaliar a influência dos fatores Unidade experimental é o elemento da amostra no qual será observada a variável resposta A unidade experimental é determinada pela própria natureza do estudo Pode ser um indivíduo um conjunto de indivíduos uma família uma porção de matéria prima um objeto um animal um pedaço de tecido etc 54 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 55 Réplica Quando um mesmo tratamento é aplicado a diferentes unidades experimentais tem se o caso de réplicas Em cada tratamento podemos ter ou não o mesmo número de observações ou réplicas Quando há um mesmo número de réplicas em cada tratamento dizemos que o experimento é balanceado O planejamento experimental indica o esquema sob o qual as hipóteses de interesse podem ser verificadas Por exemplo Plano experimental completamente casualizado experimento com 1 fator com 3 níveis Sorteio Aleatorização Nível A Nível B Nível C Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 56 No exemplo 9 Vendas em número de unidades de pão italiano Largura da prateleira B Altura da prateleira A baixa média alta Regular 47 43 62 68 41 39 Larga 46 40 67 71 42 46 Variável resposta número de unidades vendidas Fatores Largura 2 níveis e Altura 3 níveis Unidade experimental supermercado Número total de observações 12 Número de réplicas 2 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 57 Fator fixo x fator aleatório Um fator pode ser fixo ou aleatório O fator é fixo quando as conclusões se referem somente aos níveis presentes no experimento O fator é aleatório quando uma amostra dos possíveis níveis do fator está presente no experimento e as conclusões se estendem a toda a população de níveis Exemplo 10 Um laboratório de análises clínicas possui vários postos de coleta Sete postos foram sorteados ao acaso e em cada posto uma amostra de empregados fez uma avaliação do responsável pelo posto Fator posto de atendimento Níveis do fator 7 postos participantes do experimento O interesse do laboratório se estende a toda a rede de postos e não somente aos 7 presentes no estudo Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Número de níveis k Em cada nível uma amostra de ni observações i1 k k amostras ANOVA com um fator fixo e amostras independentes Notação O fertilizante fosfato de amônio magnésio é um fornecedor eficaz dos nutrientes necessários para o crescimento de plantas Os compostos fornecidos por esse fertilizante são altamente solúveis em água permitindo que ele seja aplicado diretamente na superfície do solo ou misturado com substratos de crescimento durante um processo de plantação Exemplo 11 58 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Objetivo do estudo determinar o nível ótimo de fertilização com base no aumento vertical da altura de crisântemos 40 mudas de crisântemos plantadas em vasos similares foram divididas aleatoriamente em quatro conjuntos cada um com 10 mudas A cada conjunto foi adicionada uma concentração do fertilizante medida em gramas por alqueire Os quatro conjuntos cresceram sob as mesmas condições em uma estufa pelo período de quatro semanas 59 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Variação da altura de altura das plantas cm 50 100 200 400 132 16 10 23 124 126 144 168 128 148 20 211 172 13 158 178 13 14 17 20 14 236 27 28 142 14 196 231 216 17 18 24 15 222 202 27 20 244 232 202 Concentração galq Experimento com 1 fator fixo com 4 níveis Há 10 observações réplicas em cada nível Banco de dados Crisantemoxlsx 60 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 61 Nível 1 Nível 2 Nível k y11 y12 y1n1 y21 y22 y2n2 yk1 yk2 yknk Médias amostrais y1 yk y2 Representação dos dados Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Suposições Portanto temos k amostras independentes de k populações k grupos 1 Cada amostra é constituída por observações independentes selecionadas de uma população na qual a variável resposta tem distribuição Normal 2 A variância da variável resposta é a mesma em cada população Nível 1 Nível 2 Nível k y11 y12 y1n1 y21 y22 y2n2 yk1 yk2 yknk amostra N1 2 amostra N2 2 amostra Nk 2 62 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Hipóteses de interesse H0 1 2 k H1 pelo menos uma das médias é diferente das demais Se H0 é verdadeira a variabilidade entre as médias das amostras deve ser pequena Análise de Variância compara a variabilidade entre as médias amostrais dos grupos ou variabilidade entre grupos e a variabilidade dentro dos grupos 63 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 Variabilidade entre os grupos 𝑆𝑒2 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 lj𝑦𝑖 lj𝑦2𝑘 1 onde ninúmero de observações no grupo i lj𝑦𝑖 média das observações no grupo i lj𝑦 média de todas as observações k número de grupos ou níveis 64 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 65 Variabilidade dentro dos grupos é uma combinação das variâncias amostrais dentro de cada grupo Só tem sentido se a suposição de igualdade das variâncias populacionais é verdadeira 𝑆𝑑 2 1 𝑛 𝑘 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 1𝑠𝑖 2 𝑆𝑑 2 Variância dentro do grupo i Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 66 Estatística do teste 𝐹 𝑆𝑒2 𝑆𝑑 2 Quando H0 é verdadeira a estatística F tem distribuição FSnedecor com k1 e nk graus de liberdade Quanto maior for o valor de F maiores as evidências contra H0 Rejeitamos H0 para valores grandes de F Região crítica Fixado o nível de significância αRC F𝑜𝑏𝑠 Fk1 nk α Por exemplo para α 005 k4 e n40 Fk1 nk α2866 08 07 06 05 04 03 02 01 00 F Densidade 2866 005 0 Distribuição F com 3 e 36 graus de liberdade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 67 ValorpPFFobs Valorp 08 07 06 05 04 03 02 01 00 F Densidade Fobs p 0 Distribuição F com k1 e nk graus de liberdade Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 68 Fonte de Variação gl Soma de Quadrados SQ Quadrado Médio QM Teste F Entre grupos k 1 SQE QME SQE k 1 QME QMD Dentro de grupos n k SQD QMD SQD n k Total n 1 SQT Os resultados das expressões necessárias ao cálculo da estatística F podem ser dispostos em uma tabela denominada Tabela de Análise de Variância Note que QME e QMD 𝑆𝑑 2 𝑆𝑒2 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 69 Se a hipótese H0 não é rejeitada não há evidências de relação entre a variável resposta e o fator Se a hipótese H0 é rejeitada a análise tem continuidade com o objetivo localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos Alguns métodos de comparações múltiplas Método deTukey Método de Bonferroni Ideia comparar as médias duas a duas ou fazer comparações de interesse mantendo o nível de significância fixado Os métodos utilizados com essa finalidade são denominados métodos de comparações múltiplas Continuidade da análise Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 70 Comparação das médias duas a duas 𝐻0 𝜇𝑖 𝜇𝑗 𝐻1 𝜇𝑖 𝜇𝑗 i j 1 k ij Método de Tukey Estatística dos testes 𝑞 2 lj𝑦𝑖 lj𝑦𝑗 𝑆𝑑 1 𝑛𝑖 1 𝑛𝑗 Hipóteses As médias populacionais podem ser comparadas duas a duas mantendose um limite superior para o nível de significância α α 005 por exemplo Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 71 𝑞 𝑞𝑘𝑛𝑘𝛼 em que qknk é encontrado na tabela da distribuição studentized range Note que a distribuição depende de k número de níveis e nk número de graus de liberdade dentro dos grupos O cálculo do valorp pode ser feito com o auxílio de aplicativos estatísticos Regiões críticas Valoresp Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 72 No exemplo 11 Concentracao N Média DPadrão Mínimo Mediana Máximo 50 10 1534 321 1240 1410 2160 100 10 1716 453 1260 1540 2440 200 10 1852 471 1000 1880 2700 400 10 2210 365 1680 2205 2800 400 200 100 50 30 25 20 15 10 Concentração galq Crescimento cm Análise descritiva Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 73 ANOVA Experimento com 1 fator fixo com 4 níveis k4 Há 10 observações réplicas em cada nível experimento balanceado n40 Hipóteses H0 1 2 3 4 H1 pelo menos uma das médias é diferente das demais Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 74 ANOVA no R Rcmdr Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 75 Saida do R As médias da diferença de crescimento não são todas iguais nas 4 concentrações summaryAnovaModel1 Df Sum Sq Mean Sq F value PrF Concentração 3 2455 8183 4939 000565 Residuals 36 5964 1657 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 withCrescimentoplantas numSummaryCrescimento groupsConcentração statisticscmean sd mean sd datan 100 1716 4525287 10 200 1852 4708574 10 400 2210 3649049 10 50 1534 3209777 10 𝑆𝑑 2 𝑆𝑒2 Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 76 100 200 400 50 a ab b a Continuidade da análise pelo método de Tukey comparação das médias duas a duas A média do crescimento com a concentração de 400galq é maior que as médias com as concentrações de 50galq e 100 galq porém não há evidências para dizer que a média com 400galq é diferente da com 200galq Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842 A responsabilidade pela idoneidade originalidade e licitude dos conteúdos didáticos apresentados é do professor Proibida a reprodução total ou parcial sem autorização Lei nº 961098 77 Continuamos na próxima aula Obrigada Carlos Tony Pinheiro Santos 12819252842