Exercício de Espaços Métricos

1 20 pts Seja Md um espaço métrico Mostre que βxy dxy1 dxy xy M 4 Seja Md um espaço métrico e considere também a métrica β em M dada na questão 1 Mostre que a 05 pts βxy 1 xy M isto é β é uma métrica limitada b 10 pts IdM Md Mβ é uma contração fraca e que isso implica que d é mais fina do que β c 10 pts IdM Mβ Md é contínua em todo ponto de M e logo contínua d 05 pts Conclua que d é equivalente à β Obs Em particular fica provado que toda métrica é equivalente a uma métrica limitada QUESTÃO 4 A Pela questão 1 a função βxy dxy1 dxy xy M já é uma métrica em M No item a queremos apenas mostrar que ela é limitada por 1 Fixe xy M e denote t dxy Como d é métrica vale t 0 Então 1 t 0 e a fração t1t está bem definida Da desigualdade elementar t 1t como 1t 0 podemos dividir ambos os lados por 1t preservando o sentido t1t 1t1t 1 Voltando a t dxy obtemos βxy dxy1 dxy 1 xy M Logo β é uma métrica limitada por 1 B No item b consideramos a aplicação identidade IdM Md Mβ IdMx x Para xy M temos βIdMx IdMy βxy dxy1 dxy como dxy 0 vale 1 dxy 1 Dividindo dxy por um número 1 obtemos dxy 1 dxy dxy logo βIdMx IdMy dxy xy M Isto mostra que IdM é uma contração fraca isto é 1Lipschitz ou nãoexpansiva de Md em Mβ Agora isso implica que d é mais fina do que β porque a desigualdade acima dá uma inclusão direta de bolas abertas Fixo x M e ε 0 Se y Bdxε então dxy ε e portanto βxy dxy ε o que significa que y Bβxε Assim Bdxε Bβxε x M ε 0 Como toda bola βaberta em torno de x contém uma bola daberta basta tomar o mesmo raio concluímos que todo aberto na topologia induzida por β é também aberto na topologia induzida por d Em outras palavras a topologia de d contém a topologia de β isto é d é mais fina do que β c Queremos mostrar que IdM Mβ Md é contínua em todo ponto a M Pela definição de continuidade em espaços métricos fixamos a M e provamos que para todo ε 0 existe δ 0 tal que se βxa δ então dxa ε Começamos escrevendo a relação entre β e d Para quaisquer xa M βxa dxa 1 dxa Denote t dxa 0 Então βxa t 1 t Como 1 βxa 0 pois βxa 1 e na verdade βxa 1 quando t podemos isolar t em função de βxa βxa t 1 t βxa1 t t βxa βxat t βxa t βxat t1 βxa t βxa 1 βxa Voltando a t dxa obtemos a identidade dxa βxa 1 βxa Agora fazemos a escolha de δ em função de ε Dado ε 0 tome δ ε 1 ε Note que 0 δ 1 então 1 δ 0 Suponha que βxa δ Como a função u u1u é crescente em 0 u 1 segue que dxa βxa 1 βxa δ 1 δ Calculamos δ 1 δ com a escolha feita 1 δ 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 1 1 ε logo δ 1 δ ε 1 ε 1 1 ε ε Portanto βxa δ dxa ε Isso prova a continuidade de IdM Mβ Md no ponto a Como a M foi arbitrário IdM é contínua em todo ponto de M e portanto continua d Pelos itens b e c as aplicações identidade nos dois sentidos são contínuas IdM Md Mβ é contínua e IdM Mβ Md é contínua Isso significa que a topologia induzida por d é mais fina do que a induzida por β e ao mesmo tempo a topologia induzida por β é mais fina do que a induzida por d Logo elas coincidem Concluise que d e β geram a mesma coleção de abertos em M isto é d é equivalente a β