Exercicios de Calculo 1

Orientações Leia cada questão com atenção Responda com calma e clareza Mostre os cálculos sempre que possível 1 45 pontos Calcule a derivada das funções abaixo Mostre seus passos a fx 7x2 x3 b fx x3 2 5 c y 2x 1 x 3 d y 5x2 x 2x5 3x3 e fx x32x 13 f fx x 2 cosx g fx 2x3 5x h fx cosx2 x i fx sinx sinx2 j fx x2 x 3x4 x25 2 10 ponto Uma partícula se move em linha reta Sua posição no tempo t é dada por st t2 2 t 1 Responda Qual é a velocidade média entre os instantes t 2 e t 4 Qual é a velocidade no instante t 3 3 15 pontos A altura média de plantas de milho ht em cm depende do tempo t em semanas A fórmula é ht 60t t 2 t 0 Responda Qual é a taxa de crescimento na 4ª semana Qual é a equação da reta tangente ao gráfico no ponto t 4 Use y y0 fx0x x0 O que essa taxa significa para o crescimento da planta 4 15 pontos A produtividade Px em sacas por hectare de uma plantação de soja depende da quantidade de adubo x em kgha A função é Px 002x2 2x 50 Considere 0 x 100 Responda Qual é a quantidade de adubo que dá a maior produtividade Qual é a maior produtividade possível Desenhe o gráfico da função Marque o ponto da maior produtividade e escreva suas coordenadas 5 15 pontos A produtividade Px em toneladas por hectare também pode ser dada por Px x3 6x2 9x 60 Considere x 0 5 onde x é a quantidade de adubo em tha Responda Quais valores de x tornam a derivada igual a zero Classifique esses valores são máximo local mínimo local ou ponto de inflexão Qual é a maior produtividade local Em que intervalos a produtividade está aumentando E onde está diminuindo Explique o que isso significa para o uso do adubo 1º a Fx 7x2 x3 Fx ddx 7x2 ddx x3 Fx 7 2x 3x2 Fx 14x 3x2 b Fx x3 2 5 Fx 15 3x2 0 Fx 35 x2 c y 2x 1 x 3 y 2x 3 2x 11 x 32 y 2x 6 2x 1 x 32 y 7 x 32 d y 5x2 x 2x5 3x3 y 5x2 x 2x5 3x3 y 10x 1 10x6 9x4 y 10x 1 10x6 9x4 e Fx x32x 13 Fx 2x4 13x3 Fx 8x3 x2 f Fx x 2 cosx Fx 12 cosx xsinx 2 cosx2 Fx 2 cosx x sinx 2 cosx2 g Fx sqrt2x3 5x Fx 2x3 5x12 Fx 122x3 5x126x2 5 Fx 6x2 5 2 sqrt2x3 5x H Fx cosx2 x Fx sinx2 x2x 1 Fx 2x 1sinx2 x i Fx sinx sinx2 Fx cosx sinx2 sinx cosx22x Fx cosx sinx2 2x sinx cosx2 j Fx x2 x 3x4 x2 Fx 5 x2 x 3x4 x24 ddx x2 x 3x4 x2 ddx x2 x 3x4 x2 2x 13x4 x2 x2 x12x3 2x 3x4 x22 6x5 2x3 3x4 x2 12x5 2x3 12x4 2x2 3x4 x22 6x5 9x4 x2 3x4 x22 Fx 5 x2 x 3x4 x24 6x5 9x4 x2 3x4 x22 Velocidade média entre t2 e t4 st t2 2 t 1 s2 22 2 2 1 4 2 3 6 3 2 s4 42 2 4 1 16 2 5 18 5 36 Vmedia s4 s2 4 2 36 2 2 16 2 08 Velocidade no instante t3 st t2 2 t 1 u t2 2 u 2t v t 1 v 1 st 2tt1 t2 21 t 12 st 2t2 2t t2 2 t 12 st t2 2t 2 t 12 V3 s3 32 23 2 3 12 9 6 2 16 13 16 08125 TAXA DE CRESCIMENTO NA 4ª SEMANA ht 60t t2 ht 60t2 60t1 t22 60t 120 60t t22 120 t22 h4 120 422 120 36 10 3 EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE NO PONTO t4 h4 604 42 240 6 40 y 40 103 x 4 y 103 x 403 40 y 103 x 803 y 103 x 803 SIGNIFICADO DA TAXA DE CRESCIMENTO Representa a velocidade com que a altura da planta está aumentando em um determinado momento Na 4ª semana a planta está crescendo a uma taxa de 103 cm por semana Isso indica o quão rápido a planta está ganhando altura nesse período específico QUANTIDADE DE ADUBO PARA A MAIOR PRODUTIVIDADE x vértice b 2a a 002 e b 2 x vértice 2 2 x 002 2 004 50 MAIOR PRODUTIVIDADE POSSÍVEL P50 002 502 2 50 50 P50 002 2500 100 50 P50 50 100 50 100 O ponto máximo está marcado em vermelho coordenada x do vértice xv xv b 2a 2 2 002 2 004 50 coordenada y do vértice yv yv Pxv 002 502 250 50 002 2500 100 50 50 100 50 100 QUAIS VALORES DE X TORNAM A DERIVADA IGUAL A ZERO Px x3 6x2 9x 60 Px 3x2 12x 9 3x2 12x 9 0 x2 4x 3 0 x 1x 3 0 Os valores que tornam a derivada igual a zero são x1 e x3 CLASSIFIQUE ESSES VALORES Px 3x2 12x 9 Px 6x 12 Para x1 P1 61 12 6 mínimo local Para x3 P3 63 12 6 máximo local QUAL É A MAIOR PRODUTIVIDADE LOCAL P0 03 602 90 60 60 P1 13 612 91 60 1 6 9 60 56 P3 33 632 93 60 27 54 27 60 60 P5 53 652 95 60 125 150 45 60 40 A maior produtividade local é 60 toneladas por hectare em x0 e x3 A Produtividade está aumentando no intervalo 13 A Produtividade está diminuindo nos intervalos 01 e 35 EXPLICAÇÃO SOBRE O USO DO ADUBO De x0 a x1 tha de adubo a Produtividade diminui indicando que adicionar pouco adubo pode ser prejudicial De x1 a X3 tha de adubo a Produtividade aumenta mostrando que adicionar adubo nessa faixa é benéfico Acima de x3 tha de adubo a Produtividade diminui sugerindo que o excesso pode ser prejudicial