Probabilidade-Calculo-Distribuicao-Binomial-e-Conceitos-Basicos

Cálculo da probabilidade O cálculo das probabilidades é feito por meio da razão entre o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis Fórmula nA número de resultados favoráveis evento nS número de resultados possíveis espaço amostral PA nAns Exemplo Considere o lançamento de uma moeda e o evento A obter cara Temos scara coroa ns2 A cara nA1 PA12 PROBABILIDADE Distribuição Binomial Profª Berenice de Oliveira Bona A probabilidade é a ciência que está nos bastidores das principais tecnologias do século 20 e início do século 21 Não conseguimos imaginar o dia em que não utilizamos a probabilidade em nossas ações rotineiras Por exemplo ao consultarmos a previsão de tempo ou ao realizarmos jogos da loteria estamos sob os princípios da teoria da probabilidade Nós estamos consistentemente formulando testando hipóteses e tomando decisões baseadas nos princípios da teoria da probabilidade Definições básicas Experimento aleatório Pode ser definido como uma ocorrência ou experiência que pode ter diferentes resultados Apresenta resultados imprevisíveis Espaço amostral S É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Eventos São os subconjuntos dos espaços amostrais que podem ir de 0 denominado evento impossível a todos os demais resultados possíveis quando são chamados de eventos certos Espaços equiprováveis É denominado espaço equiprovável quando todos os pontos amostrais possuem a mesma chance de ocorrer como no caso de uma moeda lançada A possibilidade de cair com a cara ou coroa voltada para cima é a mesma Eventos complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorrasucesso e q a probabilidade de que não ocorra insucesso para um mesmo evento existe sempre a relação p q 1 ou q 1 p Exemplo Qual a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado E qual a probabilidade de não tirar o 4 A probabilidade de tirar o 4 é 16 A probabilidade de não tirar o 4 é 1 16 56 Eventos independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou nãorealização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice versa Quando lançamos dois dados o resultado obtido em um independe do resultado obtido no outro Assim sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo eventos a probabilidade de que os eventos se realizem simultaneamente é dada por p p1 x p2 Exemplo Lançamos dois dados Qual a probabilidade de sair 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado p1 16 p216 logo A probabilidade de obtermos simultaneamente 1no primeiro e 5 no segundo é p16 x 16 136 Eventos mutuamente exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização dos outros Assim no lançamento de uma moeda o evento tirar cara e o evento tirar coroa são mutuamente exclusivos já que ao se realizar um deles o outro não se realiza A probabilidade de que um ou outro se realize é a soma das probabilidades de cada um deles se realize p p1 p2 Lançamos um dado a probabilidade de tirarmos 3 ou 5 é p 16 16 26 13 Distribuição Binomial de Probabilidade Distribuição de probabilidades é um modelo matemático para a distribuição real de frequências Variável aleatória é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais ao acaso que não estão sob o controle do observador Ela pode ser denominada de discreta ou continua Variável aleatória discreta todos os possíveis valores da variável podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes Variável aleatória continua não podem ser listados todos os possíveis valores fracionário da variável Distribuição Binomial é uma distribuição discreta de probabilidade Distribuição Binomial A em cada tentativa existem dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos eles são denominados sucesso ou insucessofracasso B as séries de tentativas ou observações são constituídas de eventos independentes C a probabilidade de sucesso p permanece constante de tentativa para tentativa em outras palavras o processo é estacionário Distribuição Binomial fórmula Determinar a probabilidade de ocorrer três vezes o número 6 em 5 lances de um dado honesto Px C53 p3 q53 Px 5 3 53 163 5653 10 1216 2536 2507776 003215 ou 3215 Ou Probabilidade de ocorrer 6 é p 16 Probabilidade de não ocorrer q 56 Dois times de futebol A e B jogam entre si 6 vezes Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos Devido às altas taxas de juros uma empresa informa que 30 de suas contas a receber de outras empresas encontramse vencidas Se um contador escolher aleatoriamente uma amostra de cinco contas determine a probabilidade de exatamente 20 dessas contas estarem vencidas Lembrar que 20 das contas escolhidas é 20 de 5 020 5 1 ou seja queremos saber a chance de uma única conta estar vencida entre as cinco que foram escolhidas pelo contador 30 das contas estão vencidas Sucesso p 30 ou seja p 03 Logo q 07 insucesso Px 1 C51 031 0751 Px 1 5 1 51 03 02401 Px1 5 03 02401 036015 ou 36015 Distribuição de Poisson Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos em um processo de Poisson o número médio de sucessos para a específica dimensão de interesse Esse número médio representado por λ Lambda ou por μ mu A fórmula para determinar a probabilidade de Poisson é P λ λx eλ x e 271828 logaritmo natural neperiano eλ pode ser obtido em tabelas ou calculadora científica Exemplo Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por hora qual a probabilidade de que em uma hora selecionadas aleatoriamente sejam recebidas exatamente três chamadas P λ λx eλ x Px3 λ5 53 e5 3 125 000674 6 01404 ou 1404 Tabela e5 000674 Em média um digitador comete 3 erros a cada 6000 números teclados Qual a probabilidade de que na digitação de um relatório composto por 2000 números não ocorram erros Não ocorrer erros x0 3 erro a cada 6000 números teclados Para 2000 números é esperado apenas 1 erro então λ1 para 2000 números P λ λx eλ x Px0 λ1 10 e1 0 1 036788 1 036788 ou 36788 probabilidade de erros Tabela e1 036788 Referências CRESPO Antonio Arnot Estatística Fácil 19ª Ed 2009 Aplicações da Probabilidade PROFª BERENICE DE OLIVEIRA BONA O desenvolvimento das aplicações das probabilidades No período que vai dos primeiros estudos matemáticos de probabilidades até a metade do século passado surgiram varias aplicações da Teoria das Probabilidades aplicações que chamamos de clássicas os cálculos atuariais especialmente os associados aos seguros de vida os estudos demográficos e em especial os estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação exemplo de grande repercussão na época sendo o da varíola a construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar carteados roleta lotos etc Contudo o que queremos aqui abordar é o surgimento das modernas aplicações da Teoria das Probabilidades pois são essas que vão demonstrar a enorme importância teórica e prática das ideias probabilistas e estender seu uso a uma enorme gama de profissionais e até mesmo a muitas atividades do cotidiano do viver moderno Dentre essas modernas aplicações nos concentraremos em probabilidades na Física probabilidades na Estatística probabilidades na Engenharia PROBABILIDADES NA ESTATISTICA A História registra censos para fins de alistamento militar e de coleta de impostos realizados há mais de 4 000 anos como é o caso do censo do imperador Yao na China em 2 200AC Em todo esse tempo por estatística entendiase meramente o trabalho de exibição e síntese dos dados referentes colhidos pelo censo Mais importante do que observar que estava restrita aos censos é notar que era uma mera Estatística Descritiva a qual não envolvia nenhum trabalho probabilístico pois todos os objetos do universo envolvido a população eram observados ou medidos A primeira pessoa a atinar em medirobservar apenas uma pequena amostra do universo envolvido e a partir de análise probabilista estender os resultados da amostra para o todo do universo ou população foi Adolphe Quételet c 1850 A partir dele rapidamente surgiu a ideia de dar um embasamento mais rigoroso para o método científico a partir de uma fundamentação probabilista para as etapas da coleta e a da análise indutiva de dados científicos Essa concepção hoje essencial no trabalho científico só atingiu um nível prático no início do sec XX e desenvolveuse em três grandes frentes A inferência estatística estuda técnicas que permitem quantificar probabilisticamente as incertezas envolvidas ao induzirmos para um universo observações feitas numa amostra do mesmo Aplicações mais recentes das probabilidades na Engenharia são cada vez mais variadas e importantes citaremos rapidamente apenas três Teoria das Filas Busca calcular a quantidade de recursos e a maneira de disponibilizálos para que uma fila de solicitação de serviços seja atendida com investimento mínimo de recursos e tempo mínimo de espera por parte dos clientes da fila Teoria da Informação Partindo de considerações probabilistas essa teoria desenvolveu uma medida da quantidade de informação em mensagens Usando essa medida a teoria estuda maneiras de codificar transmitir e decodificar as mensagens que são transmitidas pelos sistemas de comunicação Teoria do Risco Trata de problemas envolvendo decisões alternativas e cujas consequências só podem ser avaliadas probabilisticamente Uma situação importante sendo o estudo das panes em sistemas de engenharia complexos como redes de distribuição de energia elétrica redes telefônicas redes de computadores etc Probabilidade na Loteria MEGA SENA É possível por meio de cálculos descobrir a probabilidade de acertar os números da Mega Sena Veja como calcular as chances de ganhar na MegaSena A MegaSena consiste num jogo de 60 números 1 a 60 no qual é permitido apostar de 6 a 15 números valor das apostas tende a aumentar conforme a quantidade de números assinalados por jogo podendo ganhar acertando 6 dezenas 5 dezenas ou 4 dezenas sendo que o prêmio principal é pago para quem acertar as 6 dezenas sena e proporcional a quem acertar 5 dezenas quina ou 4 dezenas quadra A possibilidade de acerto das 6 dezenas é calculado aplicando uma combinação simples de 60 elementos tomados 6 a 6 Lembrando que fatorial significa multiplicar o número por todos os seus antecessores naturais com ausência do zero Cn p n p n p C606 60 6 60 6 C606 60 6 54 C606 60595857565554 6 54 C606 605958575655 654321 C606 36045979200 720 C606 50063860 Os cálculos nos mostram que existem 50063860 combinações possíveis Por exemplo 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 07 01 02 03 04 05 08 20 23 32 45 48 59 Se apostarmos 1 jogo de seis dezenas a probabilidade de ganharmos é de 1 em 50063860 que corresponde a 0000002 de chance de ganhar QUINA Na Quina você pode apostar jogando 5 6 ou 7 números valor da aposta tende a aumentar conforme a quantidade de números jogados dentre os 80 existentes A possibilidade de acerto de 5 dezenas também é calculada aplicando a definição de combinação simples só que agora temos 80 números tomados 5 a 5 Cn p n p n p C805 80 5 80 5 C805 80 5 75 C805 807978777675 5 75 C805 8079787776 54321 C805 2884801920 120 C805 24040016 Então se apostarmos 1 jogo de 5 dezenas a probabilidade de ganhar é de 1 em 24040016 correspondente a 00000042 de chance de ganhar Atualmente existem 11 tipos de loterias no Brasil cada uma com suas próprias regras e variedades de prêmios máximos e secundários Loteria Chance de ganhar Federal 1 em 100000 MegaSena 1 em 50063860 Super Sete 1 em 10000000 Dia de Sorte 1 em 2629575 Lotofácil 1 em 3268760 Quina 1 em 24040016 Lotomania 1 em 11372635 Duplasena 1 em 15890700 Loteca 1 em 2391485 Lotogol 1 em 9765625 Timemania 1 em 26472637 A probabilidade de ganhar o prêmio máximo apostando o jogo mínimo em cada uma das loterias é Chances de ganhar em cada uma das loterias Basicamente todos os modelos de loterias oferecem mais de uma possibilidade de aposta E aí vem a pergunta mas é possível comprar todos os números e garantir a vitória Sim é possível comprar mais números Contudo a aposta será cada vez mais cara No caso da MegaSena quem aposta o máximo de 15 números em um único jogo por exemplo passa a ter uma chance de 1 em 10003 Mas também vai precisar desembolsar aproximadamente R2252250 para comprar seu jogo LOTOFÁCIL Na Lotofácil por exemplo a pessoa aposta entre 15 e 20 números dos 25 totais Ganha o prêmio máximo quem acertar as 15 dezenas No entanto há premiações também para quem acertar 11 12 13 ou 14 números Caso faça a aposta mínima na Lotofácil ou seja marcar as 15 dezenas a probabilidade de faturar o prêmio máximo é de 1 em 3268760 MATEMÁTICO DA USP CRIA MÉTODO COM 96 DE CHANCE DE ACERTO PARA FAZER 14 PONTOS TODAS AS SEMANAS NA LOTOFÁCIL Serviços sensacionais Que nada são golpes Especialistas ouvidos pela reportagem do Portal do Bitcoin afirmam que é matematicamente impossível prever os números da loteria O motivo de acordo com eles é simples os concursos são independentes e não estão necessariamente ligados um ao outro Em buscadores e no YouTube há dezenas de sites e vídeos com ofertas de planilhas robôs e aplicativos com falsas promessas Basta digitar a expressão números da lotofácil no Google que chovem supostas oportunidades Uma das opções milagrosas e moderninha é a Robô da Loto Quais foram os números mais sorteados na história da Mega Sena Um levantamento da Caixa Econômica mostrou que existem alguns números que saíram muito mais do que outros desde que o sorteio foi lançado em 1996 Na série histórica completa o 53 é a dezena mais sorteada nos concursos O número saiu 279 vezes em sorteios Após o 53 279 vezes o 10 é a dezena que mais foi sorteada 277 vezes seguida do 05 268 vezes 42 266 vezes 04 e 33 263 vezes cada um 37 262 vezes 27 e 23 260 vezes cada um e 30 259 vezes Já para quem gosta da combinação de dezenas pares e ímpares existe um equilíbrio nos resultados Em 755 sorteios 31 foram sorteadas três dezenas pares e três ímpares Em 24 dos jogos vencedores a combinação com mais números pares se deu melhor quatro dezenas pares e duas ímpares apareceram em 586 sorteios Jogar mais dezenas compensa Existe uma fórmula para se calcular a probabilidade de acerto em um cartão com qualquer número de dezenas apostadas onde a é o número de dezenas do volante na Megasena a 60 b é o número de dezenas sorteadas na Megasena b 6 k é o número de dezenas por volante se o nosso volante tem 6 dezenas k 6 i é o número de dezenas que configura um jogo premiadopara a sena i 6 para a quina i 5 e para a quadra i 4 Podemos preencher vários volantes ou apenas um com mais do que seis dezenas Um volante com seis dezenas escolhidas equivale a uma aposta pela qual pagamos R 450 Marcar sete dezenas em um volante equivale a fazer sete apostas porque há sete maneiras de se fazer a sena com esse conjunto de dezenas e por esse jogo pagamos 7 x R 450 R 3150 Calcular com a fórmula quais as seguintes probabilidades a ganhar na quina com um volante de seis dezenas na megasena na verdade o denominador está arredondado Referências httpsfinanceonecombrchancesdeganharnaloteria httpsmundoeducacaouolcombrmatematicaprobabilidade naloteriahtm httpseducacaouolcombrplanosdeaulamediomatematica qualamelhorapostahtm Distribuição Normal de Probabilidade Prof Berenice de Oliveira Bona Revisão 1 Um empregado perdeu uma das 10 notas de compras feitas na hora do encerramento O valor médio de todas as 10 notas era de R 720 e as nove notas restantes tinham valores R 480 R 710 R 790 R 955 R 445 R 572 R 754 R 834 R 970 Qual o valor da nota perdida Solução O valor da nota perdida é X 48 71 79 955 445 572 754 834 9710 720 X 6511072 X651 72 X72651 R 69 2 Uma escola possui 90 alunos dos quais 50 são meninos e 40 meninas obtenha uma amostra proporcional estratificada de 10 da população Solução Solução 5 meninos e 4 meninas 10x50100 5 5 masculino 10X4010 4 4 54 9 Solução 40 1600 45 2025 48 2304 52 2916 54 2916 62 3844 70 4900 Soma 371 20293 3 Qual é o valor do desvio padrão e da variância do conjunto de valores seguintes 40 45 48 52 54 62 70 Desvio padrão S Σxᵢ²n Σxᵢn² Distribuição Normal de Probabilidade A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual 1 A curva é assintótica em relação ao eixo das abscissas isto é aproximase indefinidamente do eixo das abscissas sem contudo alcançálo Como a curva é simétrica em torno de xmédia a probabilidade de Ocorrer valor maior do que a média é igual a probabilidade de ocorrer Valor menor que a média isto é PxxPxx05 Cálculo da variável Z com distribuição normal ANEXO II ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 A Z z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00754 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02258 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02518 02549 07 02580 02612 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02996 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04017 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 22 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 23 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 24 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 25 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 26 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 27 04965 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04973 04974 28 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 29 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04986 04986 04986 30 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 31 04990 04991 04991 04991 04992 04992 04992 04992 04993 04993 32 04993 04993 04994 04994 04994 04994 04995 04995 04995 04995 33 04995 04995 04995 04996 04996 04996 04996 04996 04996 04997 34 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04998 35 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 36 04998 04998 04998 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 37 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 38 04999 04999 04999 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 39 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 Exemplo 2 Determine a probabilidade de P08Z123 Exemplo 2 Determine a probabilidade de P05 Z148 Exemplo 3 PZ06 Temos PZ 06 PZ 0 P0 Z 06 Como PZ 0 05 e P0 Z 06 02258 obtemos PZ 06 05 02258 02742 Exemplo 4 PZ092 Temos PZ 092 PZ 0 P0 Z 092 Como PZ 0 05 e P0 Z 092 03212 obtemos PZ 092 05 03212 08212 Exemplo 5 Determine a probabilidade de 125 Z 0 Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 653 kg e desvio padrão 55 kg Determine o número de estudantes que pesam A entre 60 e 70 kg B mais que 632 kg C menos que 68 kg Solução A Z1 6065355 5355 096 Z2 7065355 4755 085 P096z10 P0Z085 tabela 096 03315 08503023 03315 03023 06338 6333 B mais que 632 kg Z x x s Z1 632 653 55 21 55 038 tabela 01480 PZ038 038 Z0 05 01480 05 0648 648 C menos que 68 kg Z x x s Z1 68 653 55 27 55 049 tabela 01879 P06 Pz0 P0Z06 PZ005 P0Z06 05 01879 06879 6879 Exemplo Suponha uma variável aleatória X com média 50 e desviopadrão 10 Há interesse em calcular a probabilidade do evento X 55 2 Determine a probabilidade de P125 Z 0 A probabilidade procurada corresponde à partehachurada da figura Sabemos que P0Z125 03944 tabela Pela simetria da curva temos P125Z0 P0Z125 03944 3944 Referências MORETTIN Luiz Gonzaga Estatística Básica Probabilidade Volume 1 São Paulo Makron Books Ltda SPIEGEL Murray RProbabilidade e Estatística São Paulo MCGraw Hill do Brasil 1978 Distribuição normal de Probabilidade Resolução de Exercícios Profª Berenice de Oliveira Bona É uma distribuição de variável continua mais empregada É assintótica nunca toca o eixo das abscissasx Z x X s x variável aleatória X média s desvio padrão 4 Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10 Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota A maior que 120 B entre 85 e 115 C maior que 100 Explicação A Maior que 120 Solução média 100 s10 A maior que 120 PZ2 PZ0 P0Z2 05 04772 00228 228 Z x X s 120 100 10 20 10 2 Tabela Z04772 Explicação B Entre 85 e 115 B entre 85 e 115 P 15 Z 0 P 0 Z 15 04332 04322 08664 8664 Z1 x X s 85 100 10 15 10 15 Tabela Z 04332 Z2 x X s 115 100 10 15 10 15 Tabela Z 04332 C maior que 100 C maior que 100 PZ0 Solução Z x X s 100 100 10 0 10 0 PZ 0 Tabela Z 05 PZ 0 05 2 Sabemos que a vida útil de determinado componente elétrico segue uma distribuição normal com média X 2000 horas e desvio padrão S 200 horas Qual é a probabilidade de que um componente elétrico aleatoriamente selecionado dure entre 2000 e 2400 horas Solução Observe a área sob a curva correspondente ao intervalo de 2000 a 2400 HORAS A fronteira inferior do intervalo está na média da distribuição e portanto está no valor z 0 A fronteira superior do intervalo em termos de valor de z é z X λ S 2400 2000 200 20 De acordo com a Tabela 35 verificamos que P0 z 20 04772 Portanto P2000 X 2400 04772 ou 4772 Expectativa de vida útil do componente