Exercicios de Funcoes e Derivada

uiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiit h h h h h h h h h h h Universidade Estadual Paulista Disciplina Matematica I Monitoria Profa Erika Capelato Lista de Exercıcios h h h h h h h h h h h viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiw Exercıcios Ex1 Demonstre se a funcao e contınua a fx 8 1 x1 se x 6 1 2 se x 1 onde a 1 fx 8 ex se x 1 x2 se x 0 onde a 0 fx 8 x2x12 x3 se x 6 3 5 se x 3 onde a 3 Ex2 Encontre o limite em a onde a 2 R fx x22x8 x2 a 2 fx x364 x4 a 4 fx 3px 9x a 9 Ex3 Encontre o limite lim x1 1 2x3 lim x1 x35x 2x32x24 lim x1 x2 p 9x21 Ex10 ANPEC 2007 Seja Q R o conjunto dos numeros racionais e g R R uma funcao definida por gx 8 fx se x 2 0 81 se x 2 0 em que f R R e a funcao dada por fx x2 92 julgue os itens abaixo 0 g e contınua nos pontos 3 p 2 0 3 p 2 1 g e descontınua em todos os pontos x 2 R 1 Ex2 ANPEC 2009 Considere a funcao f R R em que fx 8 ax2 1 se x 0 1 se x 0 0 f e contınua em 0 para todos a 2 R 2 UNESP FCLAR Departamento de Economia Data Atividade Instrucoes Esta atividade contem 3 questoes discursivas Elas devem ser resolvidas com justifi cativas completas e todos os calculos devem constar na folha de resolucao Respostas sem os calculos nao serao consideradas 1 Considere a funcao fx x b2 2 se x 0 a sen x se x 0 Quais os valores de a e b para que f seja contınua e diferenciavel em todo x 2 R 2 Sejam fx e gx duas funcoes diferenciaveis e suponha que estas assumem os seguintes valores x fx gx f0x g0x 0 1 1 5 13 1 3 9 13 83 Qual o valor da derivada de fesenx21 em x 1 3 Substitua o sımbolo pelo ultimo dıgito do seu RA e considere a funcao fx x2 x4 Determine a Os pontos de maximo e mınimo de f b O intervalo que f e cˆoncava e o intervalo que f e crescente c Faca o grafico de f 1 fx ex se x 0 x2 se x 0 onde a 0 Façamos os cálculos dos limites laterais que nos dão Lim fx Lim x2 0 Lim fx Lim ex e0 1 Logo como Lim fx Lim fx segue que não existe lim fx e por conseguinte fx é descontínua em x a 0 Ex10 ANPEC 2007 Seja Q R o conjunto dos números racionais e g R R uma função definida por gx fx se x Q 81 se x Q em que f R R é a função dada por fx x2 92 julgue os itens abaixo 0 g é contínua nos pontos 32 0 32 1 g é descontínua em todos os pontos x R Veja que seja a R então tomemos an uma sequência tg an a se n e an Q n IN Então veja que Lim gan Lim fan fa Se a R e a R Q por exemplo a 2 veja então que temos fa 2 22 92 4 92 25 Agora veja que ga 2 81 Logo Lim gan ga 0 Veja que 32 R Q Veja Tom l an Q e lim an 32 então Lim gan Lim fan f32 322 92 92 81 Logo Lim gan 81 g32 Então gx é continua no ponto x 32 Por conseguinte se tomarmos a sequência bn tg bn Q com bn 32 se n disso temos que Lim gbn Lim fbn f32 322 9 92 81 g32 Então gx é contínua no ponto x 32 Por fim avaliamos o zero Tom l dn Q e lim dn 0 Então temos Lim gdn Lim fdn f0 02 92 92 81 Logo Lim gdn 81 g0 E portanto a afirmativa 0 é verdadeira 1 Consequentemente a afirmativa 1 é falsa Ex1 Demonstre se a função é contínua a i fx 1x1 se x 1 e 2 se x 1 onde a1 ii fx ex se x 1 e x2 se x 0 onde a0 iii fx x2 x 12x3 se x 3 e 5 se x 3 onde a 3 Lim x a fx fa Não está bem definido i Lim x1 fx Lim x1 1x1 Logo como Lim x1 fx não existe segue que fx não é contínua em x1 iii Então calculando o limite desejado temos que Lim xa fx Lim x 3 fx Lim x 3 x2 x 12x3 x2 x 12 0 x12 1 492 1 72 4 3 Lim x3 x4x3x3 Lim x3 x4 7 Lim xa fx Lim x3 fx 7 Logo como Lim x 3 fx 7 f3 5 Segue que fx não é contínua em x 3 Ex2 Encontre o limite em a onde a R fx x2 2x 8x2 a 2 fx x3 64x4 a 4 fx 3 x9x a9 i Lim x2 x2 2x 8x2 Note que x2 2x 8 0 x12 2 4 322 2 6 4 2 Logo segue que x2 2x 8 x4x2 Portanto temos que Lim x2 x2 2x 8x2 Lim x2 x4x2x2 Lim x2 x4 6 Lim x2 x2 2x 8x2 6 ii Lim x4 x3 64x4 Como x3 64 0 se x 4 então x3 64 é divisível por x4 Então veja que x3 64x4 x3x 4 x2 x 4 x 16 x x 16 4 x2 64 4 x2 16 x 16 x 64 16 x 640 Que seja temos o seguinte x3 64x4 x2 4 x 16 Portanto segue que temos o seguinte desenvolvimento Lim x4 x3 64x4 Lim x4 x2 4 x 16 16 16 16 48 iii Lim x9 3 x9x a2 b2 abab Logo Lim x9 3 x9x Lim x9 3 x3 x3 x Lim x9 13 x 16 This page contains no additional text beyond the continuation of the last limit solution from image 7 Ex 3 Encontre o limite lim x 12x 3 lim x x³ 5x2x³ 2x² 4 lim x x 29x² 1 i Lim x 12x 3 0 ii Lim x x³ 5x2x³ 2x² 4 Lim x x³1 5x²x³2 2x 4x³ Lim x 1 5x²2 2x 4x³ 12 Lim x x³ 5x2x³ 2x² 4 12 iii Lim x x 29x² 1 Lim x x1 2xx9 1x² Lim x 1 2x9 1x² 19 13 Lim x x 29x² 1 13 Ex 10 ANPEC 2007 Seja Q R o conjunto dos números racionais e g R R uma função definida por gx fx se x 0 81 se x 0 em que f R R é a função dada por fx x² 9² julgue os itens abaixo 0 g é contínua nos pontos 32 0 32 1 g é descontínua em todos os pontos x R Ex 2 ANPEC 2009 Considere a função f R R em que fx ax² 1 se x 0 1 se x 0 0 f é contínua em 0 para todos a R Devemos checar se a igualdade Lim x0 fx f0 é satisfeita Para tanto veja que Lim x 0 fx Lim x 0 1 1 Por outro lado temos que Lim x 0 fx Lim x 0 a x² 1 1 Ou seja temos que Lim x 0 fx Lim x 0 fx 1 Lim x 0 fx 1 para todo valor de a R Note que f0 1 portanto segue que Lim x 0 fx f0 1 e logo fx é contínua em x 0 para todo a R Considere a função fx x b2 2 se x 0 a sen x se x 0 Quais os valores de a e b para que f seja contínua e diferenciável em todo x ℝ Verificarmos primeiro a condição de continuidade Logo devemos ter que Lim x0 fx Lim x0 a senx 0 Lim x0 fx Lim x0 x b2 2 b2 2 Então como f deve ser contínua devemos ter que Lim x0 fx Lim x0 fx b2 2 0 b 2 Verificarmos agora a condição de diferenciabilidade Com efeito veja que fx 2x b se x 0 a cosx se x 0 Logo devemos ter que Lim x0 f Lim x0 f a cosx x0 2x b x0 a 2 b Logo temos que a f é contínua e diferenciável se b 2 e a 22 ou se b 2 e a 22 Sejam fx e gx duas funções diferenciáveis e suponha que estas assumem os seguintes valores x fx gx fx gx 0 1 1 5 13 1 3 9 13 83 Qual o valor da derivada de fesenx2 1 em x 1 ddx fesenx2 1x1 ddu fuu1 ddx ux1 u esenx2 1 fu ddx senx2 1 exx1 fu cosx2 1 2x esenx2 1xu1 fu1 cos0 2 e0 2 fu1 2 13 23 ddx fesenx2 1x1 23 Substitua o símbolo pelo último dígito do seu RA e considere a função fx x2 x4 Determine a Os pontos de máximo e mínimo de f b O intervalo que f é côncava e o intervalo que f é crescente c Faça o gráfico de f a Determinaremos os pontos críticos da função que são os x₀ tais que ddx f xx₀ 0 Logo temos que ddx f xx₀ ddx 4x2 x4 4 xx₀ 0 8x₀ 4x₀³ 0 4x₀ 2 x₀² 0 4x₀ 2 x₀2 x₀ 0 Portanto os pontos críticos são x₀ 0 x₁ 2 x₂ 2 Então agora usaremos o teste da derivada segunda que nos dá d²dx² f d²dx² 4x2 x4 4 ddx 8x 4x³ 8 12x² Portanto veja que d2fdx2x080 Logo x0 é um ponto de mínimo d2fdx2x28122160 Logo x2 é um ponto de máximo d2fdx2x28122160 Logo x2 é um ponto de máximo Em que os resultados acima seguem do teste da derivada segunda b A função fx é crescente nos pontos x tais que dfdx0 Então dfdx0 ddx4x2 x4 4 0 8x 4x3 0 4x2 x2 0 Disso vamos aos casos Se x0 então 2 x2 0 x2 2 0 x 2 Se x 0 então 2 x2 0 x2 2 x 2 Então a f é crescente em 0 2 e em 2 Ou seja f é crescente em 2 0 2 Agora o intervalo de concavidade Aqui analisaremos o comportamento da derivada segunda da função Com efeito d2fdx2 8 12x2 Então veja aqui f é côncava para baixo se d2fdx2 0 então d2fdx2 0 8 12x2 0 8 12x2 2 3x2 x2 23 x 23 f é côncava para cima se d2fdx2 0 então d2fdx2 0 8 12x2 0 8 12x2 2 3x2 x2 23 x 23 Logo f é côncava para cima se x 23 23 x 23 ou seja f é côncava para cima no intervalo 23 23 Por conseguinte f é côncava para baixo se x pertence aos intervalos 23 ou 23 c O gráfico y x fx 4x2 x4 4 2 0 2 4 8