Limite e Continuidade - Cálculo Diferencial e Integral I

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 36 CAPÍTULO 3 LIMITE E CONTINUIDADE 31 Noção Intuitiva A idéia de limite é fácil de ser captada intuitivamente Por exemplo imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo aquecida Se x é o comprimento do lado a área da placa é dada por A x2 Evidentemente quanto mais x se avizinha de 3 a área A tende a 9 Expressamos isto dizendo que quando x se aproxima de 3 2 x se aproxima de 9 como um limite Simbolicamente escrevemos 9 lim x 2 x 3 onde a notação x3 indica x tende a 3 e lim significa o limite de Generalizando se f é uma função e a é um número entendese a notação L lim f x x a como o limite de fx quando x tende a a é L isto é fx se aproxima do número L quando x tende a a Exemplo 1 Seja 2 R x x Df 2 x 4 x x f 2 Se 2 x 2 x 2 2 x x 2 x 4 x f x 2 x 2 2 x f x 2 Se x x fx x fx 1 3 3 5 15 35 25 45 19 39 21 41 199 399 201 401 Note que para todo x V 2 δ fx V 4 ε podemos dizer que o limite de fx quando x tende para 2 é igual a 4 e podemos escrever 4 2 x 4 x lim 2 x 2 De modo geral se y f x definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação L lim f x x a Na determinação do limite de fx quando x tende para a não interessa como f está definido em a nem mesmo se f está realmente definido A única coisa que interessa é como f está definido para valores de x na vizinhança de a De fato podemos distinguir três casos possíveis como segue Suponha que L lim f x x a Então exatamente um dos três casos é válido Caso 1 f está definido em a e faL Caso 2 f não está definido em a Caso 3 f está definido em a e faa Lε Lε a δ a a δ 4 2 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 37 32 Definição Formal de Limite Sendo f x definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f x tem limite L quando x tende para a e se indica por L lim f x x a se e somente se para todo ε 0 δ 0 f x L ε sempre que 0 x a δ A função f é definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a excluindo o valor de a Exemplos Usando a definição de limite mostre que 1 9 4 lim5x x 1 5 1 x 5 1 x 1 x 5 1 x 5 1 x 5 5 x 5 9 4 5x ε δ δ ε ε ε ε ε ε 2 5 1 lim 3x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 5 1 x 3 5 1 x 3 ε δ δ δ ε ε ε ε ε Se f x x y x Função Identidade a lim x x a P1 xa ε xa δ ε δ Se f x k y k k lim k x a P2 321 Propriedades dos Limites de Funções Até agora temos estimado os limites das funções por intuição com auxílio do gráfico da função com o uso de álgebra elementar ou pelo uso direto da definição de limites em termos de ε e δ Na prática entretanto os limites são usualmente achados pelo uso de certas propriedades que vamos estabelecer agora Propriedades Básicas de Limites Suponha que L lim f x x a e M lim g x x a e k é uma constante 1 a lim x x a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 38 2 k lim k x a 3 M L lim g x lim f x g x lim f x a x a x x a 4 LM f x lim g x lim lim f x g x a x a x x a 5 c lim f x x fc lim a x a x onde c é uma constante qualquer 6 0 lim g x M L g x lim f x lim g x f x lim a x a x a x a x 7 n n a x n x a L lim f x lim f x n é um inteiro positivo qualquer 8 n n a x n x a L lim f x f x lim se L0 e n é um inteiro positivo ou se L0 e n é um inteiro positivo ímpar 9 M g x lim a x x g x a L lim f x f x lim x a 10 log L lim f x log f x lim log b a x b b x a 11 sen L sen lim f x lim sen f x a x x a 12 L lim f x lim f x a x x a 13 Se h é uma função tal que hxfx é válido para todos os valores de x pertencent6es a algum intervalo ao redor de a excluindo o valore de xa então L lim f x lim h x a x x a Observação Demonstração das propriedades em sala de aula Exercícios 1 1 5x 2x x lim 2 x 2 9 8 10 1 4 4 1 25 22 2 1 lim x 5 lim 2x x lim lim 1 5x lim 2x x lim 1 5x lim 2x x lim 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 Seja 4 lim f x x 2 e 3 lim g x x 2 ache cada limite a g x lim f x x 2 b g x lim f x x 2 c f x g x lim 2 x 3 Avalie cada limite e indique quais das propriedades de 1 a 13 a 2 1 x x 3x lim 5 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 39 b 2x x 1 x x lim 2 2 x 2 c 8 t2 1 1 t lim 2 t 1 2 d 5 2x 25 4x lim 2 x 5 2 e x 1 1 x 1 lim x 1 33 Limites Laterais Limite à direita Seja f uma função definida em um intervalo a c e L um número real a afirmação L f x lim x a significa que para todo ε 0 δ 0 f x L ε sempre que 0 x a δ a x a δ Limite à esquerda Seja f uma função definida no intervalo c a e L um número real a afirmação L f x lim x a significa que para todo ε 0 δ 0 f x L ε sempre que δ x a 0 aδ x a 331 Teorema O limite lim f x xa existe e é igual a L se e somente se ambos os limites laterais f x e lim f x lim a x a x existem e tem o mesmo valor comum L L f x lim lim f x L lim f x a x a x x a Exemplos 1 1 se x x 1 se x 1 2x f x 2 1 lim fx são iguais 1 1 f x lim 1 1 12 lim f x lim f x 1 x 2 1 x 1 x x 1 2 2 se x 4 2x 2 se x 1 3x x f não existe lim f x são diferentes 0 fx lim 7 lim f x lim fx 2 x 2 x 2 x x 2 Exercícios 1 Nos problemas de a até c trace o gráfico das funções dadas ache os limites laterais das funções dadas quando x tende para a pela direita e pela esquerda e determine o limite da função quando x tende para a se o limite existe a c a aδ aδ a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 40 a 3 3a x se x 9 3 x se x 5 f x b 1 1 a se x x 1 x se x 2 x f 2 c 2 1 3a 5 6x S x 2 Explique porque freqüentemente achamos lim f x xa apenas pelo cálculo do valor de f no ponto a Dê um exemplo para mostrar que f a lim f x x a pode não ocorrer 34 Continuidade das Funções Mencionamos anteriormente que quando o f a lim f x x a a função f é contínua em a De agora em diante consideraremos isto uma definição oficial Definição 1 Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas Condições f a lim f x xa lim f x f a xa f a a y x a y x b f a c a y x y x a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 41 c fx lim b lim f x fx lim OK a f a x a x x a lim f x a f OK lim fx OK a f a x a x Exercícios 1 Verificar se 1 se x x 1 1 se x x 3 f x 2 2 é contínua para x 1 i OK 2 1 f ii lim f x x 1 OK 2 lim fx iguais São 2 1 1 f x lim 2 3 1 f x lim 1 x 1 x 1 x iii OK lim f x 1 f x1 Resposta É contínua 2 Verificar se 3 x f x 2 é contínua para x 0 OK 3 f 0 3 lim f x x 0 OK lim f x f 0 x0 Resposta Como as condições 1 e 3 da definição 1 foram satisfeitas concluímos que f é contínua em 0 3 Verifique se a função f definida por 1 se x 3 1 se x 1 x 1 3x 2x x f 2 é contínua para o número 1 Observações Importantes Se os dois limites laterais f x lim a x e f x lim a x existem e têm o mesmo valor é claro que lim f x xa existe e que todos os três limites têm o mesmo valor Se lim f x xa existe os dois limites laterais f x lim a x e f x lim a x existem e todos os três limites são iguais Consequentemente se os dois limites f x lim a x e f x lim a x existem mas têm valores diferentes então lim f x xa não pode existir Exercícios 1 Em cada exemplo a trace o gráfico da função b ache os limites laterais da função quando x a e quando x a c determine o limite da função quando xa se ele existe e d diga se a função é contínua no valor a 1 3 a 3 x se x 10 3 1 se x 2x f x 2 2 a 2 1 se x 2 2 se x x f x Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 42 3 1 a 1 se x x 1 1 se x x 3 x f 2 2 341 Propriedades das Funções Contínuas Suponha que f e g sejam duas funções contínuas no número a Então tanto fa como ga são definidas e consequentemente fgafaga é definida 1 Se f e g são contínuas em a então fg fg e fg também o são 2 Se f e g são contínuas em a e ga0 então fg é contínua em a 3 Se g é contínua em a e f é contínua em ga então f g é contínua em a 4 Uma função polinomial é contínua em todos os números 5 Uma função racional é contínua em todo número no qual está definida Exercícios 1 Use as propriedades básicas de função contínua para determinar em quais números as funções dadas são contínuas Trace o gráfico das funções 1 x x f x 2 x x f 2 3 1 x 2 f x 342 Continuidade em um intervalo Dizer que uma função f é contínua em um intervalo aberto I significa por definição que f é contínua em todos os números no intervalo I Por exemplo a função x2 9 f x é contínua no intervalo aberto 33 Da mesma forma dizer que uma função f é contínua em um intervalo fechado ab significa por definição que f é contínua no intervalo aberto ab e que satisfaz as seguintes condições de continuidade nos pontos finais a e b f a f x lim x a e f b f x lim x b Por exemplo a função x2 9 f x é contínua no intervalo fechado 33 35 Limite de Função Composta Sejam f e g duas funções tais que Imf C Dg Nosso objetivo é estudar o limite lim g f x xp Supondo que a lim f x p x é razoável esperar que lim g u lim g u a u p x sendo ufx Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 43 Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que g ou é contínua em a ou não está definida em a O quadro que apresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de função composta no cálculo de limites lim F x p x Suponhamos que existam funções gu e ufx onde g ou é contínua em a ou não está definida em a tais que Fxgu onde ufx x Df a lim f x p x ua para xp e que lim g u ua exista Então lim g u lim F x a u p x Exercícios 1 Calcule os limites a 1 x 1 x lim 2 x 1 b 1 x 16 x 3 lim 3 4 3 x 1 c 1 x 1 2 x lim 3 1 x d 1 x 2 5 3x lim 2 3 1 x 2 Seja f definida em R Suponha que 1 x f x lim x 0 Calcule a x f 3x lim 0 x b x f x lim 2 0 x c 1 x 1 f x lim 2 x 1 3 Seja f definida em R e seja p um real dado Suponha que L p x f p f x lim p x calcule a h f p h f p lim h 0 b h f p 3h f p lim h 0 c h f p h f p lim h 0 36 Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras Polinomiais F a F x lim a a x a x x F a x n n 1 1 n 0 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 44 37 Limite das Funções Racionais Fracionárias 0 ºn 0 0 e g a Q a Se 0 ºn 0 0 0 e g a Q a Se g a Q a g x Q x lim b b x b x x g a a x a x x Q g x Q x x F a x m m 1 1 m 0 n n 1 1 n 0 a função não está definida para x a não existe g x lim Q x diferentes são g x Q x lim g x Q x lim g x lim Q x iguais são g x Q x lim g x Q x lim Calcule 0 ºn não existe 0 ºn a x a x a x a x a x a x m Exercícios 1 5 7 5 7 9 x 4 2 5x lim 2 x 1 2 0 12 0 2 5x 4 x lim 2 x 2 3 0 10 2 x 5x lim x 2 existe não 0 10 2 x 5x lim 0 10 2 x 5x lim 2 x x 2 4 0 10 2 x 5x lim 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 5x lim 0 10 2 x 5x lim 0 10 2 x 5x lim a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 45 0 g x Se Q x 0 0 g x Q x lim x a indeterminação etc Exercícios 1 0 0 2 x 4 x lim 2 x 2 4 2 2 2 lim x 2 x 2 2 x x lim 2 x 2 x 2 0 0 2 3x x 4 x lim 2 2 x 2 4 1 2 2 2 1 x 2 x lim 1 2 x x 2 2 x x lim 2 x 2 x 3 0 0 4 4z z 4z 3z z lim 2 3 4 2 z 6 1 2 2 2 z 1z 2 z z lim 2 2 2 z 4 0 0 1 t 1 t lim 3 1 x 3 1 1 1 1 t 1 t 1t t lim 2 2 1 x z2 2 1 3 0 4 0 z1 1 1 1 2 0 1 2 0 z2 2z 0 2 z 2 z z 0 z t1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 t 1 t2 t 1 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 46 38 Limite das Funções Irracionais 4 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x 1 lim 2 2 x 1 2 2 x x x 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 2 x x 2 2 x 0 0 x 2 2 x lim 0 x 0 x Outra maneira Substituição de Variável 4 2 2 2 1 2 t 1 lim 2 2 t t 2 t lim 2 t 2 t lim 2 t 0 x 2 t x t 2 x 0 0 x 2 2 x lim 2 t 2 t 2 2 t 2 2 0 x 39 Limites Envolvendo Infinito Definições 1 Dizemos que um elemento c é finito quando c R e dizemos que c é infinito quando c é um dos símbolos ou Obs quando valer a frase do limite para b finito ou infinito diremos que existe o limite e indicaremos por c lim f x x b Em caso contrário diremos que não existe o limite e escreveremos f x lim lim f x f x lim b x b x x b 2 Seja f definida em um intervalo c A afirmação L lim f x x significa que a todo ε 0 corresponde um número positivo N tal que f x L ε x N 3 Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a a afirmação f x se torna infinita quando x tende para a que se escreve lim f x x a significa que para todo número positivo N corresponde um δ 0 f x N sempre que 0 x a δ Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 47 310 Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras Polinomiais ou a x lim a a x a x lim n 0 x n n 1 1 mais alto grau n 0 x 3 2 1 Exercícios 1 1 2x 4x 5x lim 2 3 x 3 x 5x lim 2 2 3x 5x lim 2 x 2 x 5x lim 311 Limite das Funções Racionais Fracionárias 0 0 m 0 n 0 x m m 1 1 m 0 n n 1 1 n 0 x b a m n 0 m n ou m n Se x b a x lim b b x x b a a x a x lim Exemplos 1 1 6x x 2 2 4x 5x lim 2 3 x 2 3 x x 2 5x lim 2 2 5x x 4 3x 2x lim 3 2 x aδ aδ y x a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 48 0 2 x 2x lim 3 2 x 3 4 x 2x 4x x 4 4 2x 6x lim 3 4 5 3 5 x 2 3 x 4 6x lim 5 5 x Indeterminações 0 0 1 00 0 0 312 Seqüência e Limite de Seqüência Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função n a an a valores reais cujo domínio é um subconjunto de N As seqüências que vão interessar ao curso são aquelas cujo domínio contém um subconjunto do tipo q N n n onde q é um natural fixo só consideraremos tais seqüências Exemplos 1 Seja a seqüência de termo geral n n a 2 Temos 2 K 2 a 2 a a 2 2 1 1 0 0 2 Seja a seqüência de termo geral n 3 2 1 sn K temos 3 2 1 s2 1 s1 s 3 2 1 etc Sejam m n dois naturais O símbolo n k m k a leia somatório de k a para k variando de m até n e é usado para indicar a soma dos termos n m 2 m 1 m a a a a K Definição Consideremos uma seqüência de termo geral n a e seja a um número real Definimos i a lim a n n Para todo ε 0 existe um natural 0 n tal que ε ε a a a n n n 0 ii n n lim a Para todo ε 0 existe um natural 0n tal que ε n 0 a n n iii n n lim a Para todo ε 0 existe um natural 0n tal que ε n 0 a n n Se a lim a n n diremos que a seqüência de termo geral n a converge para a ou simplesmente que n a converge para a e escrevemos an a Se n n lim a diremos que n a para e escrevemos an Observamos que as definições dadas aqui são exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma função fx para x deste modo tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma f x lim n aplicase aqui Exercícios 1 Calcule os limites a 1 n 3 2n nlim b 2 3 1 2 lim n n n c n 0 k k n 2 1 lim Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 49 2 Supondo que 0b1 calcule n n lim b 3 Suponha a1 Mostre que n n a lim 4 Considere a seqüência de termo geral n 0 k k n t s t0 e t1 Verifique que t 1 t 1 s 1 n n 313 Limite das Funções Transcendentais Exemplos 1 1 ln 2x 4 lim ln x 2 x indeterminação 2x lim x ln 1 2x 4 lim x ln 1 2x 4 ln x lim 2 x 2 x 2 x 2 0 0 x sen x lim x 0 indeterminação x sen x x f lim notável 1 x sen x lim 0 x 314 Limites Notáveis 1 1 u senu lim u 0 1o Limite Fundamental Demonstração 0 2 t t sent t f t sent lim 0 t π 2 t SOQP 2 sent S OQP 2 cos t sent S OQQ cos t t sent 1 se os sinais se e troca inverte 1 sent t cos t 1 sent sen t t cos t t sen x 2 2 sent 2 t cos t sent 2 1 0 O 1 1 M A T P Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 50 1 t lim sent 1 lim cos t t lim sent 1 lim t sent lim 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 1 t sent lim t 0 Exemplo 1 5x 5 sen 5x lim 0 x 5 15 5x lim sen 5x 5 1 0 x 4243 1 2 e u lim1 u 1 u 0 2o Limite Fundamental Exemplos 1 e x lim1 x 1 x 0 2 e tan x lim1 tan x 1 x 0 3 x 2 x lim1 x 0 2 2 x 1 0 x e x 1 lim x x k x 0 e x lim 1 4 2 1 x 2 1 x 0 e x lim 1 5 x 2x 1 lim 1 x 0 2 y 2 y 0 e y 1 lim 2 y x 0 y 0 x y x 2 k x 1 x 0 e kx lim 1 3 1 u tan u lim u 0 1 cos u 1 lim u sen u lim u 1 cos u sen u lim 1 0 u 1 0 u 0 u 3 2 1 3 2 1 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 51 4 e u 1 1 lim u u Substituir 0 y u y u 1 k y 1 x 0 e y lim 1 Exemplos k ku u e u 1 lim 1 k u u e u k lim 1 5 x 5 x e x 1 lim 1 3 x x e x 3 lim 1 15 x 5 x e x 3 lim 1 5 ln a u 1 a lim u u 0 Substituir 1 y a y 1 a u u 1 y log u 0 y 0 u a a ln a log log a 1 1 log a log e 1 log e 1 log e y log lim 1 y 1 log lim y 1 y log lim 1 y y 1 lim log y 1 log y lim e e e e a 1 a 1 e y 1 0 y a 1 y 1 a 0 y a 0 y 1 a 0 y a 0 y 4243 1 6 1 u 1 e lim u u 0 7 log e u u log 1 lim a u 0 log e u u 1 lim 1 log u 1 lim log a 0 a u u 1 a u 0 8 1 u u ln 1 lim u 0 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 52 Limites Notáveis 1 1 u sen u lim u 0 2 e u lim 1 u 1 u 0 3 1 u tan u lim u 0 4 e u 1 1 lim u u 5 ln a u 1 a lim u u 0 6 1 u 1 e lim u u 0 7 log e u u log 1 lim a u 0 8 1 u u ln 1 lim u 0 315 Assíntotas Horizontais e Verticais Assíntotas são retas que tangenciam o gráfico de uma função no infinito e normalmente são paralelas aos eixos x e y Estes próprios eixos podem ser assíntotas Assíntota Vertical Dizemos que a reta x a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das seguintes condições 1 lim fx x a 2 lim fx x a 3 lim f x x a 4 lim f x a x Assíntota Vertical x y a y f x x a AV Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 53 Assíntota Horizontal Dizemos que a reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições abaixo for verificada 1 b lim fx x 2 b xlim fx Assíntotas verticais envolvem limites infinitos enquanto que assíntotas horizontais envolvem limites no infinito Exercícios 1 Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de 2 x 1 f x 2 R x x Df y f x f x lim lim f x 0 R x x Df a x a x x a AV b xlim fx y b AH b xlim fx y c AH Assíntota Horizontal x y 12 Assíntota Vertical x y 2 Assíntota Horizontal AH 0 y 0 2 x 1 lim 0 2 x 1 lim AV 2 x 0 1 2 x 1 lim 0 1 2 x 1 lim x x 2 x 2 x Para x0 y 12 b Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof Salete Souza de Oliveira Buffoni 54 2 2 x 4x f x 2 0 ou x R x x Df 0 2 x R 4x x Df 3 Dada a função fx 5 x 6 2x achar as assíntotas 4 Seja y fx 3 2x 4 Achar as assíntotas 2 x y 2 2 2 x 4x lim AH 2 y 2 4 2 x 4x lim 2 x 4x lim 0 8 2 x 4x lim 2 x 4x lim 2 x 4x y 0 y 0 x Para x x x 2 x 2 x