Exercícios Resolvidos: Dinâmica Rotacional - Aceleração Angular e Conservação de Energia

30 Duas forças F1 40 N e F2 20 N são aplicadas a um disco fino de massa 2 kg e raio 20 cm conforme mostra a imagem Determine a aceleração angular e linear que a qual o disco está submetido 30 Uma esfera maciça rola suavemente e passa pelo ponto 2 com uma velocidade de 10 ms e chega ao ponto 1 onde sua velocidade é zero Qual é a altura do ponto 1 Use g 10 ms² Questão 1 Pela lei de newton do movimento angular temos que a aceleração angular em módulo é dada por Iα τ α1 I τ α1 I RF1RF2 α R I F1F2 α R 1 2 R 2M F1F2 α 2 R M F1F2 α 2 0202 4020 α 1 020 20 α100 rad s 2 Para determinar a aceleração linear devemos considerar o ângulo θ não fornecido no problema que as forças formam Assim o somatório das forças vale FF2cosθF1cosθ Logo a aceleração linear é dada por ma F a 1 m F Questão 2 Pela conservação da energia devemos ter Ecinetica 2E potencial 1 Ecinetica translaçãoEcinetica rotaçãoEpotencial 1 1 2 mV 2 1 2 I ω 2mgh Mas a velocidade angular de rotação da esfera é dada por ωV r E o momento de inércia da esfera é dado por I2 5 m r 2 Assim a equação fica 1 2 mV 2 1 2 I ω 2mgh 1 2 mV 2 1 2 2 5 m r 2 V 2 r 2 mgh 1 2 V 21 5 r 2 V 2 r 2 gh 1 2 V 21 5 V 2gh 7 10 V 2gh Assim temos h 7 10 V 2 g h 710 10² 10 h 70 m Questão 1 Pela lei de newton do movimento angular temos que a aceleração angular em módulo é dada por 𝐼𝛼 𝜏 𝛼 1 𝐼 𝜏 𝛼 1 𝐼 𝑅 𝐹1 𝑅 𝐹2 𝛼 𝑅 𝐼 𝐹1 𝐹2 𝛼 𝑅 1 2 𝑅2𝑀 𝐹1 𝐹2 𝛼 2 𝑅𝑀 𝐹1 𝐹2 𝛼 2 020 2 40 20 𝛼 1 020 20 𝜶 𝟏𝟎𝟎𝒓𝒂𝒅 𝒔𝟐 Para determinar a aceleração linear devemos considerar o ângulo 𝜃 não fornecido no problema que as forças formam Assim o somatório das forças vale 𝐹 𝐹2 cos 𝜃 𝐹1 cos 𝜃 Logo a aceleração linear é dada por 𝑚𝑎 𝐹 𝑎 1 𝑚 𝐹 Questão 2 Pela conservação da energia devemos ter 𝐸𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎2 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙1 𝐸𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝐸𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙1 1 2 𝑚𝑉2 1 2 𝐼𝜔2 𝑚𝑔ℎ Mas a velocidade angular de rotação da esfera é dada por 𝜔 𝑉 𝑟 E o momento de inércia da esfera é dado por 𝐼 2 5 𝑚𝑟2 Assim a equação fica 1 2 𝑚𝑉2 1 2 𝐼𝜔2 𝑚𝑔ℎ 1 2 𝑚𝑉2 1 2 2 5 𝑚𝑟2 𝑉2 𝑟2 𝑚𝑔ℎ 1 2 𝑉2 1 5 𝑟2 𝑉2 𝑟2 𝑔ℎ 1 2 𝑉2 1 5 𝑉2 𝑔ℎ 7 10 𝑉2 𝑔ℎ Assim temos ℎ 7 10 𝑉2 𝑔 ℎ 7 10 102 10 𝒉 𝟕𝟎 𝒎