Interferência e Difração - Ondas e Óptica Física

Interferência e Difração 331 Diferença de Fase e Coerência 332 Interferência em Filmes Finos 333 Padrão de Interferência de Fenda Dupla 334 Padrão de Difração de Fenda Simples 335 Usando Fasores para Somar Ondas Harmônicas 336 Difração de Fraunhofer e Fresnel 337 Difração e Resolução 338 Redes de Difração Você provavelmente já notou as bandas coloridas em uma bolha de sabão ou na superfície de um filme de água com óleo Estas bandas são devidas à interferência da luz refletida nas duas superfícies do filme As diferentes cores surgem devido à variação na espessura do filme causando a interferência de diferentes comprimentos de onda em diferentes pontos SOLUÇÃO 1 A mésima franja escura desde o ponto de contato ocorre quando a diferença de caminho óptico 2t é igual a m comprimentos de onda 2t mλ mλ m 2tλ θ tl 2 A espessura t está relacionada ao ângulo θ m xθλ 3 Substitua f xθ na equação para m m 2xθλ 4 Calcule mx mx 2θλ 230 X 106 50 X 107 1200 m1 12 cm1 CHECAGEM A expressão para o número de franjas escuras por unidade de comprimento no passo 4 mostra que o número por centímetro decresceria se fosse usada luz com comprimento de onda menor Este resultado está de acordo com o esperado INDO ALÉM Observamos 12 franjas escuras por centímetro Na prática o número de franjas por centímetro que é fácil de contar pode ser usado para determinar o ângulo Observe que se o ângulo na borda aumentar as franjas ficarão mais próximas entre si PROBLEMA PRÁTICO 331 Quantas franjas escuras por centímetro são observadas se for usada luz de comprimento de onda de 650 nm Exemplo 333 Espaçamento entre as Franjas a partir do Espaçamento entre as Fendas Duas fendas estreitas separadas por 150 mm são iluminadas pela luz amarela de uma lâmpada de sódio com comprimento de onda igual a 589 nm Determine o espaçamento entre as franjas brilhantes observadas em um anteparo a 300 m de distância SITUAÇÃO A distância ym medida ao longo do anteparo até a mésima franja brilhante é dada pela Equação 335 onde L 300 m d 150 mm e λ 589 nm SOLUÇÃO Cubra a coluna da direita e tente por si só antes de olhar as respostas Passos Respostas 1 Faça um desenho da situação Figura 338 2 O espaçamento entre as franjas é a distância entre a mésima franja brilhante e a m 1ésima franja brilhante Usando o desenho obtenha uma expressão para o espaçamento entre as franjas espaçamento entre as franjas ym1 ym 3 Aplique a Equação 335 para as franjas m e m 1ésima ym mλLd e ym1 m 1λLd 4 Substitua no resultado do passo 2 e simplifique ym1 ym λLd 5 Substitua no resultado do passo 4 e resolva para o espaçamento entre as franjas espaçamento entre as franjas 118 mm INDO ALÉM As franjas estão uniformemente espaçadas apenas enquanto vale a aproximação para pequenos ângulos isto é enquanto λd 1 Neste exemplo λd 589 nm150 mm 00004 Exemplo 334 Quantas Franjas Duas fendas estreitas são iluminadas por luz monocromática Se a distância entre as fendas é igual a 275 comprimentos de onda qual é o número máximo de franjas brilhantes que podem ser vistas em um anteparo 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 ou mais SITUAÇÃO Uma franja brilhante interferência construtiva existe nos pontos no anteparo para os quais a distância até as duas fendas difere por um múltiplo inteiro do comprimento de onda Entretanto a diferença máxima na distância possível é igual à distância entre as duas fendas SOLUÇÃO 1 Determine a diferença máxima na distância de pontos no anteparo até as duas fendas Em todos os pontos no anteparo a diferença na distância até as duas fendas é 275 comprimentos de onda ou menos 2 Uma franja brilhante interferência construtiva existe nos pontos do anteparo para os quais a distância até as duas fendas difere por um múltiplo inteiro de comprimentos de onda Franjas brilhantes existem no anteparo em locais onde a diferença na distância até as duas fendas é 2 comprimentos de onda 1 comprimento de onda ou zero comprimentos de onda 3 Conte as franjas brilhantes Há o máximo central e duas de cada lado do máximo central e 5 Veja o Tutorial Matemático para mais informações sobre Trigonometria CÁLCULO DA INTENSIDADE Para calcular a intensidade da luz no anteparo em um ponto qualquer P precisamos somar duas funções de onda harmônicas que diferem em fase As funções de onda para ondas eletromagnéticas são vetores de campo elétrico Seja E1 o campo elétrico em algum ponto P no anteparo devido às ondas da fenda 1 e seja E2 o campo elétrico naquele ponto devido às ondas da fenda 2 Como os ângulos de interesse são pequenos podemos tratar os campos como se fossem paralelos Ambos os campos elétricos oscilam com a mesma frequência eles resultam de uma única fonte que ilumina ambas as fendas e eles têm a mesma amplitude A diferença de caminho óptico é no máximo da ordem de poucos comprimentos de onda da luz Eles têm uma diferença de fase δ dada pela Equação 334 Se representarmos as funções de onda por E1 A0 sen ωt e E2 A0 senωt δ a função de onda resultante é E E1 E2 A0 sen ωt A0 senωt δ 336 Utilizando a identidade sen α sen β 2 cosα β senα β a função de onda resultante é dada por E 2A0 cosδ2 sen ωt δ2 337 A amplitude da onda resultante é portanto 2A0 cos δ2 Ela tem seu valor máximo de 2A0 quando as ondas estão em fase e é zero quando elas têm uma diferença de fase de 180 Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude a intensidade de em qualquer ponto P é I 4I0 cos²δ2 338 INTENSIDADE EM TERMOS DA DIFERENÇA DE FASE onde I0 é a intensidade da luz que atinge o anteparo vinda de cada fenda separadamente O ângulo de fase θ está relacionado à posição no anteparo por δ d sen θλ2π Equação 334 A Figura 339a mostra o padrão de intensidade como visto no anteparo Um gráfico da intensidade como função de sen θ é mostrado na Figura 339b Para pequenos θ este gráfico é equivalente ao gráfico da intensidade versus y pois y L tan θ L sen θ A intensidade I0 é a intensidade de cada fenda separadamente A linha tracejada na Figura 339b mostra a intensidade média 2I0 que resulta da média sobre a distância contendo muitos máximos e mínimos de interferência Esta é a intensidade que deveria surgir de duas fontes se elas agissem independentemente sem interferência isto é se elas não fossem coerentes Nesse caso a diferença de fase entre as duas fontes deveria flutuar aleatoriamente e portanto apenas a intensidade média seria observada A Figura 3310 mostra outro método de produzir o padrão de interferência de fenda dupla um arranjo conhecido como espelho de Lloyd Uma fonte linear horizontal a b FIGURA 339 a O padrão de interferência observado em um anteparo muito distante das duas fendas mostradas na Figura 337 b Gráfico da intensidade versus sen θ A intensidade máxima é 4I0 onde I0 é a intensidade devido à cada fenda separadamente A intensidade média curva tracejada é 2I0 Cortesia de Michael Cagnet INTENSIDADE 4I0 Iméd 2I0 2λ 2λ sen θ b FIGURA 3310 O espelho de Lloyd para produzir um padrão de interferência de fenda dupla As duas fontes a fonte e sua imagem virtual são coerentes e estão fora de fase por 180 SOLUÇÃO 1 A meia largura do máximo central y1 está relacionada ao ângulo θ1 por tan θ1 y1L 2 O ângulo θ1 está relacionado à largura da fenda a pela Equação 3311 sen θ1 λa 3 Resolva o resultado do passo 2 para θ1 substitua no resultado do passo 1 e resolva para 2y1 2y1 2L tan sen¹λa 260 m tan sen¹ 700 x 10⁹ m 000020 m 42 x 10² m 42 cm CHECAGEM Como sen θ1 λa 700 nm020 mm 00035 podemos usar a aproximação para pequenos ângulos para calcular 2y1 Nesta aproximação sen θ1 tan θ1 logo λa y1L e 2y1 2L λa 260 m700 nm 020 mm 42 cm Este valor aproximado está de acordo com o valor exato dentro de um erro de 00006 por cento PADRÃO DE INTERFERÊNCIADIFRAÇÃO PARA FENDA DUPLA Quando há duas ou mais fendas o padrão de intensidade em um anteparo distante é uma combinação do padrão de difração de fenda simples das fendas individuais com o da interferência de múltiplas fendas que estudamos A Figura 3314 mostra o padrão de intensidade em um anteparo distante das duas fendas cuja separação é d 10a onde a é a largura de cada fenda O padrão é o mesmo que o de duas fendas muito estreitas Figura 3311 exceto pelo fato de ser modulado pelo padrão de difração de fenda simples isto é a intensidade devida a cada fenda separadamente não é agora constante mas diminui com o ângulo como mostrado na Figura 3314b Observe que o máximo central de difração na Equação 3314 tem 19 máximos de interferência o máximo central de interferência e 9 máximos de cada lado O décimo máximo de interferência de cada lado do central está no ângulo θ10 dado por sen θ10 10λd λa pois d 10a Isto coincide com a posição do primeiro mínimo de difração e portanto este máximo de interferência não é observado Nestes pontos a luz das duas fendas estaria em fase e interferiria construtivamente mas não há luz vindo de nenhuma das fendas porque os pontos estão nos mínimos de difração de cada fenda Em geral podemos ver que se m da o mésimo máximo de interferência cai no primeiro mínimo de difração Como a mésima franja não é vista haverá m 1 franjas de cada lado da franja central para um total de N franjas no máximo central onde N é dado por N 2m 1 1 2m 1 3312 Exemplo 336 Interferência e Difração Duas fendas cada uma com largura a 0015 mm estão separadas por uma distância d 0060 mm e são iluminadas por luz com comprimento de onda λ 650 nm Quantas franjas brilhantes são vistas no máximo central de difração SITUAÇÃO Precisamos determinar o valor de m para o qual o mésimo máximo de interferência coincida com o primeiro mínimo de difração Então haverá N 2m 1 franjas no máximo central SOLUÇÃO 1 Relacione o ângulo θ1 do primeiro mínimo de difração à largura de fenda a sen θ1 λa primeiro mínimo de difração 2 Relacione o ângulo θm do mésimo máximo de interferência à separação entre as fendas d sen θm mλd 3 Iguale os ângulos e resolva para m mλa λd m da 0060 mm0015 mm 40 N 7 franjas brilhantes 335 USANDO FASORES PARA SOMAR ONDAS HARMÔNICAS Para calcular o padrão de interferência produzido por três quatro ou mais fontes de luz coerentes e para calcular o padrão de difração de uma fenda simples precisamos combinar várias ondas harmônicas de mesma frequência que diferem em fase Uma interpretação geométrica simples das funções de onda harmônicas conduz a um método de somar ondas harmônicas de mesma frequência através de uma construção geométrica Considere que as funções de onda para duas ondas em algum ponto sejam E1 A1 sen α e E2 A2 senα δ onde α ωt Nosso problema é então determinar a soma E1 E2 A1 sen α A2 senα δ Podemos representar cada função de onda pela componente y de um vetor bidimensional como mostrado na Figura 3315 O método geométrico de adição é baseado no fato que a componente y da soma de dois ou mais vetores é igual à soma das componentes y dos vetores como ilustrado na figura A função de onda Ei é representada pela componente y do vetor Ai Enquanto o tempo passa este vetor gira no plano xy com frequência angular ω O vetor Ai é chamado de fasor Encontramos fasores no nosso estudo sobre circuitos ac na seção 295 A função de onda E2 é a componente y de um fasor de magnitude A2 que faz um ângulo α δ com o eixo x Pelas leis da adição de vetores a soma das componentes y dos fasores individuais é igual à componente y do fasor resultante A como mostrado na Figura 3315 A componente y do fasor resultante A senα δ é uma função de onda harmônica que é a soma das funções de onda originais Isto é A1 sen α A2 senα δ A senα δ 3313 onde A amplitude da onda resultante e δ a fase da onda resultante relativa à fase da primeira onda são encontrados somando os fasores representando as ondas Enquanto o tempo varia α varia Os fasores representando as duas funções de onda e o fasor resultante representando a função de onda resultante giram no espaço mas suas posições relativas não variam porque todos giram com a mesma velocidade angular ω SOLUÇÃO Cubra a coluna da direita e tente por si só antes de olhar as respostas Passos 1 Relacione δ e δ usando o teorema Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos nãoadjacentes 2 Resolva para δ 3 Escreva cos δ em termos de A e A0 4 Resolva para A em termos de δ 5 Use seus resultados para A e δ para escrever a função de onda resultante CHECAGEM O resultado do passo 5 é idêntico à Equação 337 veja o enunciado do Problema PROBLEMA PRÁTICO 333 Determine a amplitude e a fase constante da função de onda resultante produzida pela superposição de duas ondas E1 40 Vm senωt e E2 30 Vm senωt 90 PADRÃO DE INTERFERÊNCIA PARA TRÊS OU MAIS FONTES IGUALMENTE ESPAÇADAS Podemos aplicar o método de fasores de adição para calcular o padrão de interferência de três ou mais fontes coerentes que estão igualmente espaçadas e em fase Estamos mais interessados na posição dos máximos e mínimos de interferência A Figura 3317 ilustra o caso para três destas fontes A geometria é a mesma que para duas fontes A uma grande distância das fontes os raios em um ponto P no anteparo são aproximadamente paralelos A diferença de caminho óptico entre a primeira e a segunda fonte é d sen θ como antes e a diferença de caminho óptico entre a primeira e a terceira fonte é 2d sen θ A onda no ponto P é a soma das três ondas Seja α ωt a fase da primeira onda no ponto P Temos então o problema de somar três ondas da forma E1 A0 sen α a E2 A0 senα δ E3 A0 senα 2δ 3314 onde δ 2πλ d sen θ 2πλ ydL 3315 como no problema de duas fendas Em θ 0 δ 0 logo todas as ondas estão em fase A amplitude da onda resultante é 3 vezes a de cada onda individual e a intensidade é 9 vezes a de cada onda atuando separadamente À medida que o ângulo θ aumenta desde θ 0 o ângulo de fase δ aumenta e a intensidade diminui A posição θ 0 é portanto uma posição de intensidade máxima A Figura 3318 mostra a adição de fasores para três ondas para um ângulo de fase δ 30 π6 rad Isto corresponde a um ponto P no anteparo para o qual 6 é dado por sen θ λδ2πd λ12d A amplitude resultante A é consideravelmente menor que 3 vezes a amplitude A0 de 7 Interferência e Difração 449 FIGURA 3316 7 Geometria para calcular o padrão de intensidade distante de três fontes coerentes igualmente espaçadas que estão em fase cada fonte Quando δ aumenta a amplitude resultante diminui até que a amplitude é zero em δ 120 Para este valor de δ os três fasores formam um triângulo eqüilátero Figura 3319 Este primeiro mínimo de interferência para três fontes ocorre em um valor menor de δ e portanto em um menor ângulo θ que para apenas duas fontes onde o primeiro mínimo de interferência ocorre em δ 180 Quando δ aumenta a partir de 120 a amplitude resultante aumenta atingindo um máximo secundário em δ 180 No ângulo de fase δ 180 a amplitude é a mesma que a de uma fonte única porque as ondas das duas primeiras fontes se cancelam deixando apenas a terceira A intensidade do máximo secundário é um nono da intensidade do máximo em θ 0 Quando δ aumenta além de 180 a amplitude decresce novamente e zera em δ 180 60 240 Para δ maior que 240 a amplitude aumenta e é novamente 3 vezes o valor de cada fonte quando δ 360 Este ângulo de fase corresponde à diferença de caminho óptico de 1 comprimento de onda para as ondas das duas primeiras fontes e 2 comprimentos de onda para as ondas da primeira e terceira fontes Conseqüentemente as três ondas estão em fase neste ponto Os máximos mais intensos chamados de máximos principais estão nas mesmas posições que no caso de duas fontes que são os pontos correspondentes aos ângulos θ dados por d sen θm mλ m 0 1 2 3316 Estes máximos são mais intensos e estreitos que para duas fontes Eles ocorrem em pontos para os quais a diferença de caminho óptico entre fontes adjacentes é zero ou um número inteiro de comprimentos de onda Estes resultados podem ser generalizados para mais de três fontes Para quatro fontes coerentes igualmente espaçadas e em fase os máximos principais de interferência são novamente dados pela Equação 3316 mas os máximos são ainda mais intensos são mais estreitos e há dois máximos secundários menores entre cada par de máximos principais Em θ 0 a intensidade é 16 vezes a de uma única fonte O primeiro mínimo de interferência ocorre quando δ é 6 90 como pode ser visto do diagrama de fasores da Figura 3320 O primeiro máximo secundário está próximo a δ 132 A intensidade do máximo secundário é aproximadamente um quatorze avos da intensidade do máximo central Há outro mínimo em δ 180 outro máximo secundário próximo a δ 228 e outro mínimo em δ 270 antes do próximo máximo principal em δ 360 A Figura 3321 mostra os padrões de intensidade para duas três e quatro fontes coerentes igualmente espaçadas A Figura 3322 mostra um gráfico de II0 onde I0 é a intensidade devida a cada fonte atuando separadamente Para três fontes há um máximo secundário muito pequeno entre cada par de máximos principais e os máximos principais são mais finos e mais intensos que os de apenas duas fontes Para quatro fontes há dois máximos secundários pequenos entre cada par de máximos principais e o máximo principal é ainda mais estreito e intenso A partir desta discussão podemos ver que quando aumentamos o número de fontes a intensidade se torna mais e mais concentrada nos máximos principais dados pela Equação 3316 e estes máximos se tornam cada vez mais estreitos Para N fontes a intensidade dos máximos principais é N² vezes a de uma única fonte O primeiro mínimo ocorre em um ângulo de fase δ 360N para o qual os N fasores formam um polígono fechado de N lados Há N 2 máximos secundários entre cada par de máximos principais Estes máximos secundários são muito fracos comparados aos máximos principais Quando o número de fontes aumenta os máximos principais se tornam mais finos e mais intensos e as intensidades dos máximos secundários se tornam desprezíveis comparadas às dos máximos principais CALCULANDO O PADRÃO DE DIFRAÇÃO DE FENDA SIMPLES Vamos agora usar o método dos fasores para somar ondas harmônicas para calcular o padrão de intensidade mostrado na Figura 3311 Consideramos que FIGURA 3318 Diagrama de fasores para determinar a amplitude resultante A devida a três ondas cada uma com amplitude A0 com diferenças de fase δ e 26 devidas às diferenças de caminho óptico de d sen θ e 2d sen θ O ângulo α ωt varia com o tempo mas isto não afeta o cálculo de A FIGURA 3319 A amplitude resultante para as ondas das três fontes é zero quando δ é 120 Este mínimo de interferência ocorre em um ângulo menor θ que o primeiro mínimo de duas fontes que ocorre quando δ é 180 FIGURA 3320 Diagrama de fasores para o primeiro mínimo para quatro fontes coerentes que estão igualmente espaçadas e em fase A amplitude é zero quando a diferença de fase entre as ondas de fontes adjacentes é 90 Duas fontes Três fontes Quatro fontes FIGURA 3321 Padrões de intensidade para duas três e quatro fontes coerentes igualmente espaçadas e em fase Há um máximo secundário entre cada par de máximos principais para três fontes e dois máximos secundários entre cada par de máximos principais para quatro fontes Cortesia de Michael Cagnet a fenda de largura a é dividida em M intervalos iguais e que há uma fonte puntiforme de ondas no ponto médio de cada intervalo Figura 3323 Se d é a distância entre duas fontes adjacentes e a é a largura da abertura temos d aN Como o anteparo no qual estamos calculando a intensidade está distante das fontes os raios das fontes até o ponto P no anteparo são aproximadamente paralelos A diferença de caminho óptico entre quaisquer duas fontes adjacentes é δ sen θ e a diferença de fase δ está relacionada à diferença de caminho óptico por δ d sen θ 2πλ Se A0 é a amplitude devida a uma fenda simples a amplitude no máximo central onde θ 0 e todas as ondas estão em fase é A máx NA0 Figura 3324 Podemos determinar a amplitude em algum ponto em um ângulo θ usando o método de fasores para a soma de ondas harmônicas Como na soma de duas três e quatro ondas a intensidade é zero em qualquer ponto onde os fasores representando as ondas formam um polígono fechado Neste caso o polígono tem N lados Figura 3325 No primeiro mínimo a onda da primeira fonte logo abaixo do topo da abertura e a onda da fonte logo abaixo da metade da abertura estão defasadas por 180 Neste caso a onda da fonte próxima ao topo da abertura difere daquela na base da abertura por aproximadamente 360 A diferença de fase δ de fato 360 360N Então se o número de fontes é muito grande 360N é desprezível e obtemos o cancelamento completo se as ondas da primeira e última fontes estão fora de fase por 360 correspondendo a uma diferença de fase de um comprimento de onda de acordo com a Equação 3311 Calcularemos agora a amplitude em um ponto geral no qual as ondas de duas fontes adjacentes diferem em fase por δ A Figura 3326 mostra o diagrama de fasores para a soma de N ondas onde as ondas subseqüentes diferem em fase a partir da primeira onda por δ 28 N 1δ Quando N é muito grande e δ é muito pequeno o diagrama de fasores se aproxima de um arco de círculo A amplitude resultante A é o comprimento da corda deste arco Calcularemos esta amplitude resultante em termos FIGURA 3324 Uma fenda simples é representada por N fontes cada uma com amplitude A0 No ponto do máximo central onde θ 0 as ondas das fontes estão em fase dando uma amplitude resultante A máx NA0 FIGURA 3322 Gráfico da intensidade relativa versus sen θ para duas três e quatro fontes coerentes igualmente espaçadas e em fase FIGURA 3323 Diagrama para calcular o padrão de difração à grande distância de uma fenda estreita Consideramos que a largura da fenda a contenha um grande número de fontes puntiformes igualmente espaçadas e em fase separadas por uma distância d Os raios das fontes até um ponto distante são aproximadamente paralelos A diferença de caminho óptico para as ondas das fontes adjacentes é δ FIGURA 3325 Diagrama de fasores para calcular o primeiro mínimo em um padrão de difração de fenda simples Quando as ondas de N fasores se cancelam completamente os N fasores formam um polígono fechado A diferença de fase entre as ondas de fontes adjacentes é então δ 180N Quando N é muito grande as ondas da primeira e última fontes estão aproximadamente em fase da diferença de fase φ entre a primeira e a última ondas Da Figura 3326 temos sen ½ φ A2 r ou A 2r sen ½ φ 3317 onde r é o raio do arco Como o comprimento do arco é A máx NA0 e o ângulo subtendido é φ temos φ A máx r 3318 ou r A máx φ Substituindo isto na Equação 3317 temos A 2A máx φ sen ½ φ A máx sen ½ φ ½ φ Como a amplitude no centro do máximo central θ 0 é A máx a razão da intensidade em outro ponto qualquer em relação ao centro do máximo central é II0 A²A máx² sen ½ φ½ φ² ou I I0sen ½ φ½ φ² 3319 INTENSIDADE PARA UM PADRÃO DE DIFRAÇÃO DE FENDA SIMPLES A diferença de fase φ entre a primeira e a última ondas está relacionada à diferença de caminho óptico a sen θ entre o topo e a base da abertura por φ a sen θ λ 2π 3320 A Equação 3319 e a Equação 3320 descrevem o padrão de intensidade mostrado na Figura 3311 O primeiro mínimo ocorre em a sen θ λ o qual está no ponto onde as ondas do meio da metade superior e do meio da metade inferior da fenda têm uma diferença de caminho óptico de λ2 e estão fora de fase por 180 O segundo mínimo ocorre em a sen θ 2λ onde as ondas da metade superior da metade superior da fenda e aquelas da metade inferior da metade superior da fenda têm uma diferença de caminho óptico de λ2 e estão fora de fase de 180 Há um máximo secundário aproximadamente na metade da distância entre o primeiro e o segundo mínimos em a sen θ 32 λ A Figura 3327 mostra o diagrama de fasores para determinar a intensidade aproximada deste máximo secundário A diferença de fase φ entre a primeira e a última ondas é aproximadamente 2π π Os fasores completam então 1 ½ ciclos A amplitude resultante é o diâmetro de um círculo cuja circunferência é dois terços do comprimento total A máx Se C 32 A máx é a circunferência o diâmetro A é e A² 49π² A máx² 1 49π² I 1222 I0 3321 A intensidade neste ponto é FIGURA 3326 Diagrama de fasores para calcular a amplitude resultante devida a ondas de N fontes em termos da diferença de fase φ entre a onda da primeira fonte logo abaixo do topo da fenda e a onda da última fonte logo abaixo da base da fenda Quando N é muito grande a amplitude resultante A é a corda de um arco circular de comprimento NA0 A máx FIGURA 3327 Diagrama de fasores para calcular a amplitude aproximada do primeiro máximo secundário do padrão de difração de uma fenda simples O máximo secundário ocorre próximo ao ponto médio entre o primeiro e o segundo mínimos quando os N fasores completam 1 ½ ciclos F I G U R A 3330 a O padrão de difração de Fresnel de um disco opaco No centro da sombra as ondas de luz difratadas pela borda do disco estão em fase e produzem um ponto brilhante chamado de ponto de Poisson b O padrão de difração de Fresnei de uma abertura circular Compare com a Figura 3330a a e b M Cagnet M FraqonJ L C Thrier Atlas of Optical Phenomena CALCULANDO O PADRÃO DE INTERFERÊNCIADIFRAÇÃO DE FENDAS MÚLTIPLAS A intensidade do padrão de interferênciadifração de duas fendas pode ser calculada a partir do padrão para duas fendas Equação 338 onde a intensidade de cada fenda I0 naquela equação é substituída pela intensidade do padrão de difração devido a cada fenda I dado pela Equação 3319 A intensidade para o padrão de interferênciadifração para duas fendas é portanto I 4I0sen ½ φ 12 ½ φ cos² 12 δ 3322 INTENSIDADE DE INTERFERÊNCIADIFRAÇÃO PARA DUAS FENDAS onde φ é a diferença de fase entre os raios do topo e da base de cada fenda que está relacionada com a largura de cada fenda por φ a sen θ 2π λ e δ é a diferença de fase entre raios desde o centro de duas fendas adjacentes que está relacionada à separação entre as fendas por δ d sen θ 2π λ Na Equação 3322 a intensidade I0 é a intensidade em θ 0 devida a uma fenda única Exemplo 338 Padrão de InterferênciaDifração para Cinco Fendas Determine o padrão de intensidadedifração para cinco fendas igualmente espaçadas onde a é a largura de cada fenda e d é a distância entre fendas adjacentes SITUAÇÃO Primeiro determine o padrão de intensidade de interferência para as cinco fendas considerando que não há variações angulares na intensidade devido à difração Para fazer isso primeiro construa um diagrama de fasores para determinar a amplitude do onda resultante em uma direção arbitrária θ A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude Depois corrija para a variação da intensidade com θ usando a relação para o padrão de intensidade de difração de fenda simples Equação 3319 e Equação 3320 SOLUÇÃO 1 A intensidade do padrão de difração I devida a uma fenda de largura a é dada pela Equação 3319 e pela Equação 3320 I I0sen ½ φ 12 ½ φ² onde φ 2πλ a sen θ 2 A intensidade do padrão de interferência I é proporcional ao quadrado da amplitude A da superposição das funções de onda para a luz das cinco fendas I I0 sen ½ φ ½ φ² cos² ½ δ 3322 onde φ é a diferença de fase entre os raios do topo e da base de cada fenda relacionado com a largura de cada fenda por φ a sen θ 2πλ e δ é a diferença de fase entre raios desde o centro de duas fendas adjacentes relacionado à separação entre as fendas por δ d sen θ 2πλ Na Equação 3322 a intensidade I0 é a intensidade em θ 0 devida a uma fenda única 4 Para determinar δ somamos os ângulos exteriores A soma dos ângulos exteriores é igual a 2π se você andar pelo perímetro de qualquer polígono você gira através da soma dos ângulos exteriores e você gira por 2π radianos 5 Resolva para A a partir da figura A 2A0 cos δ 2A0 cos β A0 6 Substitua para δ usando o resultado do passo 4 e substitua para β usando a relação β δ A igualdae entre β e δ segue do teorema Se duas linhas paralelas são cortadas na transversal os ângulos interior e exterior no mesmo lado da transversal são iguais A A02 cos 2δ 2 cos δ 1 7 Eleve ambos os lados ao quadrado para relacionar as intensidades Lembrese de que I é a intensidade de uma única fenda e A0 é a amplitude de uma única fenda A² A0²2cos 2δ 2cos δ 1² então I I2cos 2δ 2cos δ 1² 8 Substitua para I usando o resultado do passo 1 I I0sen ½ φ½ φ² 2cos 2δ 2cos δ 1² onde φ a sen θ λ 2π e δ d sen θ λ 2π CHECAGEM Se φ 0 então φ 0 e δ 0 Logo para θ 0 o passo 5 tornase A 5A0 e o passo 8 tornase I 5²I0 25I0 como esperado FIGURA 3328 F I G U R A 3331 a A difração de Fresnel de uma borda linear b Um gráfico da intensidade versus distância ao longo de uma linha perpendicular á borda Cortesia de BattelleNorthwest Laboratories F I G U R A 3332 O padrão de difração de Fresnel de uma abertura retangular Cortesia de Michael Cagnet F I G U R A 3333 O padrão de difração de Fraunhofer de uma abertura circular Cortesia de Michael Cagnet Hologramas Interferência Guiada A holografia foi inventada por Dennis Gabor em 1948 quando ele tentou melhorar a resolução da microscopia eletrônica Ele reconstruiu frentes de onda usando interferência na placa fotográfica para fazer uma imagem que continha informação de fase bem como informação sobre intensidade Ele nomeou este tipo de imagem de holografia devido às palavras gregas para tudo e escrever pois ele achou que a inclusão da informação sobre a fase daria uma imagem completa Era extremamente difícil criar aqueles primeiros hologramas e ele não conseguiu a resolução desejada Ele usou lâmpadas de vapor de mercúrio como fonte de luz A luz era altamente monocromática porém incoerente A fase da luz flutuava aleatoriamente Depois de pouco mais de uma década após o laser ser inventado o uso da luz coerente do laser tornou a holografia prática para muitos propósitos Hologramas em relevo são usados freqüentemente pois têm baixo custo Estes hologramas são feitos por estamparia a quente em um filme plástico metalizado com uma matriz que é uma cópia negativa das linhas de interferência extremamente rasas aproximadamente 0305 micrometro de profundidade presentes em um holograma O filme plástico é então uma duplicata das franjas de interferência muito pequenas do holograma original Quando a luz brilha através do filme e reflete no fundo metálico a imagem holográfica é reconstruída Praticamente todos os hologramas em relevo são hologramas arcoris possíveis de serem vistos sem o uso de um laser A criação do original de um holograma arcoris é um processo complexo envolvendo múltiplas exposições em ângulos precisos Hologramas em relevo são visíveis e reconhecidos com facilidade e difíceis de falsificar Como eles podem substituir etiquetas de papel ou serem adicionados ao papel ou plástico eles são usados em cartões de crédito embalagens farmacêuticas dinheiro e cheques de viagem como um método rápido para autenticação 222 Em janeiro de 1999 a Ford Motor usou uma série de hologramas digitais para criar um holograma de 3 metros por 120 metros de um carro conceitual Os hologramas foram impressos diretamente a partir de dados projetados no computador A holografia digital é atualmente usada para auxiliar os médicos a visualizarem os resultados de tomografia computadorizada ou de ressonância magnética A saída de uma série de varreduras de tomografia ou ressonância é coletada processada digitalmente e então impressa em um único holograma que pode ser observado em um dispositivo portátil Ó holograma resultante permite aos cirurgiões prepararem cirurgias difíceis e podem também ter aplicações biomédicas e de engenharia industrial A holografia digital está começando a ser usada em aplicações de vídeo holográficas Os hologramas também têm sido usados como substitutos para lentes tradicionais Os elementos ópticos holográficos permitem a construção de telas menores e mais compactas Telas para pilotos de aeronaves são criadas usando elementos ópticos holográficos 11 Um sistema extremadamente compacto que usa hologramas calcados digitalmente como elemento óptico tem sido testado para uso como projetor para telefone celular O uso de hologramas como elementos ópticos e para armazenamento de dados ópticos depende de avanços em materiais que sejam mais leves resistentes e que apresentem as propriedades ópticas desejadas Recentemente os hologramas têm sido usados para medida do potencial eletrostático e de campos magnéticos em objetos muito pequenos Eles também têm sido usados para aumentar a resolução óptica para lentes de raios X Mais de cinqüenta anos depois de os hologramas terem sido inventados eles são usados para melhorar a resolução de imagens microscópicas Gabor D Nobel Lecture Nobel Prize Lectures 1971 Dec 11 1971 at httpnobelprizeorgnobelprizesphysicslaureates1971gaborlecturepdf As of Nov 2006 Scanlon L The Whole Picture Technology Review Dec 2002Jan 2003 Vol 105 No 10 p 88 Ruschmann H W Apparatus for Embossing Holograms on Metallized Thermoplastics Films United States Patent 4547141 Oct 15 1985 Abraham N C Optical Data Storage Disc United States Patent 5452282 Sept 19 1995 Benton S HowdeWalter W and Minhage Jr H Methods of Making Holographic Images United States Patent 4415225 Nov 15 1983 Cross L Brand Security Graphics Arts Monthly Jan 2006 Vol 78 No 1 pp 3233 MasterCard 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entre elas é 180 ou um número ímpar multiplicado por 180 d Δ r 2λ 331 Diferença de fase devida à diferença de caminho óptico Diferença de fase devida à reflexão Uma diferença de fase de 180 é introduzida quando a luz é refletida em uma interface entre dois meios onde a velocidade da luz é maior no lado da onda incidente na interface Filmes finos A interferência de ondas luminosas refletidas nas duas superfícies de um filme fino produz franjas de interferência normalmente observadas em bolhas de sabão ou filmes de óleo A diferença de fase entre as duas ondas refletidas resulta da diferença de caminho óptico do dobro da espessura do filme mais qualquer mudança de fase devida à reflexão de um ou de ambos os raios Fenda dupla A diferença de caminho óptico em um ângulo θ em um anteparo distante de duas fendas estreitas separadas por uma distância é d sen θ Se a intensidade devida a cada fenda separadamente é I0 a intensidade em pontos de interferência construtiva é 4I0 e a intensidade em pontos de interferência destrutiva é zero Máximos de interferência em fenda dupla fontes em fase d senθ m mλ m 01 2 332 Máximos de interferência em fenda dupla fontes fora de fase por 180 d senθ m m 1 2λ m 1 2 3 333 2 Difração A difração ocorre sempre que uma porção de uma frente de onda é limitada por um obstáculo ou por uma abertura A intensidade da luz de qualquer ponto no espaço pode ser calculada usando a construção de Huygens tomando cada ponto da frente de onda como uma fonte puntiforme e calculando o padrão de interferência resultante Padrões de Fraunhofer Os padrões de Fraunhofer são observados a grandes distâncias do obstáculo ou abertura e portanto os raios atingindo qualquer ponto são aproximadamente paralelos ou eles podem ser observados usando uma lente para focalizar os raios paralelos em um anteparo colocado no plano focal da lente Padrões de Fresnel Os padrões de Fresnel são observados em pontos não necessariamente distantes da fonte Fenda simples Quando a luz incide em uma fenda simples de largura a o padrão de intensidade em um anteparo distante mostra um máximo central de difração largo que diminui a zero em um ângulo θ1 dado por sen θ 1 λ a 339 A largura do máximo central é inversamente proporcional à largura da fenda Os zeros no padrão de difração de fenda simples ocorrem em ângulos dados por d senθ m mλ m 12 3 3311 Fenda dupla O padrão de interferênciadifração de duas fendas é o padrão de interferência de fenda dupla modulado pelo padrão de difração de fenda simples Resolução de duas fontes Quando a luz de duas fontes puntiformes próximas entre si passa através de uma abertura os padrões de difração das fontes podem se superpor Se a superposição é muito grande as duas fontes não podem ser resolvidas como duas fontes separadas Quando o máximo central de difração de uma fonte coincide com o mínimo de difração da outra fonte dizemos que as fontes estão no limite de resolução de acordo com o critério de Rayleigh Para uma abertura circular de diâmetro D a separação angular crítica entre as duas fontes para o critério de resolução de Rayleigh é dado por Critério de Rayleigh α R 1 22 λ D 3325 14 TÓPICO EQUAÇÕES RELEVANTES E OBSERVAÇÕES Redes Uma rede de difração que consiste em um grande número de linhas ou fendas igualmente espaçadas é usada para medir o comprimento de onda da luz emitida por uma fonte As posições dos máximos de interferência de ordem m para uma rede estão em ângulos dados por d senθ m mλ m 0 1 2 3326 O poder de resolução de uma rede é R λ Δλ mN 3327 onde N é o número de fendas da rede que estão iluminadas e m é o número de ordem 3 Fasores Duas ou mais ondas harmônicas podem ser somadas representando cada onda pela componente y de um vetor bidimensional chamado de fasor A diferença de fase entre as duas ondas harmônicas é representada pelo ângulo entre os fasores Respostas das Checagens Conceituais Respostas dos Problemas Práticos 331 6 331 92 cm1 332 Verdadeiro A difração de Fresnel é o nome que descreve as observações quando o anteparo está a qualquer distância da fonte de difração A difração de Fraunhofer é o nome que descreve as observações no limite que o anteparo está distante da fonte de difração 332 44 mm 333 A 50 Vm δ 37 334 6207 e 6218 Problemas Em alguns problemas você recebe mais dados do que necessita em alguns outros você deve acrescentar dados de seus conhecimentos gerais fontes externas ou estimativas bem fundamentadas Interprete como significativos todos os algarismos de valores numéricos que possuem zeros em sequência sem vírgulas decimais PROBLEMAS CONCEITUAIS 1 Uma diferença de fase devida a uma diferença de caminho óptico é observada para luz visível monocromática Qual diferença de fase requer a menor mínima diferença de caminho óptico a 90 b 180 c 270 d a resposta depende do comprimento de onda da luz 2 Qual dos seguintes pares de fontes de luz são coerentes a duas velasb uma fonte puntiforme e sua imagem em um espelho plano c dois orifícios uniformemente iluminados pela mesma fonte puntiforme d os dois faróis de um carro e duas imagens de uma fonte puntiforme devidoàs reflexão nas duas superfícies de uma bolha de sabão 3 O espaçamento entre os anéis de Newton diminui rapidamente à medida que o diâmetro dos anéis aumenta Explique por que ocorre este resultado 4 Se o ângulo de um filme de ar no formato de uma cunha tal como o ângulo no Exemplo 332 é muito grande as franjas não são observadas Por quê 5 Por que um filme usado para observar cores de interferência deve ser fino Um anel feito de fio é mergulhado em água com sabão e segurado para que o filme de água com sabão fique na vertical a Observado por reflexão e usando luz branca o topo do filme aparece preto Explique por quê b Abaixo da região preta há bandas coloridas A primeira banda é vermelha ou violeta 7 Um padrão de interferência de fenda dupla é formado usando luz de laser monocromática com comprimento de onda de 640 nm No segundo máximo a partir do máximo central qual é a diferença de caminho óptico entre a luz vinda de cada uma das fendas a 640 nm b 320 nm c 960 nm d 1280 nm 8 Um padrão de interferência de fenda dupla é formado usando luz de laser monocromática com comprimento de onda de 640 nm No primeiro mínimo do máximo central qual é a diferença de caminho óptico entre a luz vinda de cada uma das fendas a 640 nm b 320 nm c 960 nm d 1280 nm 9 Um padrão de interferência de fenda dupla é formado usando luz de laser monocromática com comprimento de onda de 450 nm O que acontece com a distância entre o primeiro máximo e o máximo central quando as duas fendas se aproximam a A distância aumenta b A distância diminui c A distância permanece a mesma 10 Um padrão de interferência de fenda dupla é formado usando dois lasers monocromáticos diferentes um verde e um vermelho Qual cor tem seu primeiro máximo mais próximo do máximo central a verde b vermelho c ambos os máximos estão na mesma posição 11 Um padrão de difração de fenda simples é formado usando luz de laser monocromático com comprimento de onda de 450 nm O que acontece com a distância entre o primeiro máximo e o máximo central quando a largura da fenda diminui a A distância aumenta b A distância diminui c A distância permanece a mesma 12 A Equação 332 que é d sen θ m mλ e a Equação 3311 que é a sen θ m mλ algumas vezes são confundidas Para cada equação defina os símbolos e explique a aplicação de cada equação 13 Quando uma rede de difração é iluminada com luz branca o máximo de primeira ordem da luz verde a está mais próximo do máximo central que o máximo de primeira ordem da luz vermelha b está mais próximo do máximo central que o máximo de primeiro ordem da luz azul c se superpõe ao máximo de segunda ordem da luz vermelha d se superpõe ao máximo de segunda ordem da luz azul 14 Um experimento de interferência de fenda dupla é montado em uma câmara na qual é possível fazer vácuo Usando luz de um laser de hélioneônio um padrão de interferência é observado quando a câmara está aberta ao ar Quando é feito vácuo na câmara observase que a as franjas de interferência permanecem fixas b as franjas de interferência se aproximam c as franjas de interferência se afastam d as franjas de interferência desaparecem completamente 15 Verdadeiro ou falso a Quando ondas interferem destrutivamente a energia é convertida em calor b Padrões de interferência são observados apenas se as fases relativas das ondas que se superpõem permanecem constantes c No padrão de difração de Fraunhofer para uma fenda simples quanto mais estreita a fenda mais largo é o máximo central do padrão de difração d Uma abertura circular pode produzir um padrão de difração de Fraunhofer e um padrão de difração de Fresnel e A capacidade de resolver duas fontes puntiformes depende do comprimento de onda da luz 16 Você observa duas fontes muito próximas de luz branca através de uma abertura circular usando vários filtros Que cor de filtro é mais provável que evite que você consiga resolver as imagens na sua retina como duas fontes distintas a vermelha b amarela c verde d azul e a escolha do filtro é irrelevante 17 Explique por que a habilidade para distinguir os dois faróis de um carro vindo a certa distância é maior para o olho humano à noite do que durante o dia Considere que os faróis do carro que se aproxima estejam ligados tanto durante o dia como durante a noite ESTIMATIVA E APROXIMAÇÃO 18 Dizse que a Grande Muralha da China é a única construção humana que pode ser vista do espaço sem auxílio de equipamento Verifique se esta afirmativa é verdadeira baseadose no poder de resolução do olho humano Considere que os observadores estejam em uma órbita baixa da Terra e uma altitude de aproximadamente 250 km 19 a Estime quão próximo um carro se aproximando à noite em uma rodovia plana e retilínea de uma autoestrada pode estar antes que seus faróis sejam distinguíos de um único farol de uma motocicleta b Estime quão longe de você um carro está se suas duas luzes traseiras vermelhas se superpõem como se fossem uma só 20 Um pequeno altofalante está localizado a uma grande distância a leste de você O altofalante é acionado por uma corrente senoidal cuja frequência pode ser variada Estime a menor freqüência para a qual seus ouvidos receberiam as ondas de som exatamente fora de fase quando você está olhando para o norte 21 Estime a distância máxima na qual um sistema binário de estrelas pode ser resolvido pelo olho humano Considere que as 22 Luz com comprimento de onda de 500 nm incide normalmente em um filme de água de água de 100 μm de espessura a Qual é o comprimento de onda da luz na água b Quantos comprimentos de onda estão contidos na distância 2t onde t é a espessura do filme c O filme tem ar em ambos os lados Qual é a diferença de fase entre a onda refletida pela superfície da frente e a onda refletida pela superfície de trás na região onde as duas ondas refletidas se superpõem 23 Duas fontes coerentes de microondas produzem ondas com um comprimento de onda igual a 150 cm As fontes estão localizadas no plano z 0 uma em x 0 y 150 cm e a outra em x 300 cm y 140 cm Se as fontes estão em fase determine a diferença de fase entre as duas ondas para um receptor localizado na origem INTERFERÊNCIA EM FILMES FINOS 24 Um filme de ar no formato de uma cunha é feito colocando um pequeno pedaço de papel entre as bordas de duas placas planas de vidro Luz com comprimento de onda de 700 nm incide normalmente nas placas de vidro e são observadas franjas de interferência por reflexão a A primeira franja próxima ao ponto de contato entre as placas é preta ou brilhante Por quê b Se cinco franjas escuras por centímetro qual é o ângulo da cunha 25 Os diâmetros de fibras finas podem ser medidos com precisão usando padrões de interferência Duas placas opticamente planas de vidro cada uma com um comprimento L são dispostas com a fibra entre elas como mostra a Figura 3340 O arranjo é iluminado com luz monocromática e as franjas de interferência resultantes são observadas Considere que L é 200 cm e que luz amarela de sódio 590 nm é usada para iluminação Se 19 franjas brilhantes são vistas ao longo desta distância de 200 cm quais são os limites para o diâmetro da fibra Dica A é ângulomona franja pode não estar bem no final mas pode não enxergar nada da vigésima franja 26 Luz com comprimento de onda de 600 nm é usada para iluminar duas placas de vidro com incidência normal As placas tem 22 cm de comprimento se encostam em uma extremidade e estão separadas na outra extremidade por um fio que tem raio igual a 0025 mm Quantas franjas brilhantes aparecem ao longo do comprimento total das placas 15 de 160 quais comprimentos de onda no espectro visível estariam faltando na luz refletida 28 Uma gota de óleo índice de refração de 122 flutua na água índice de refração de 133 Quando a luz refletida é observada de cima como mostrado na Figura 3341 qual é a espessura da gota no ponto onde a segunda franja vermelha contanda da borda da gota é observada Considere que a luz vermelha tem comprimento de onda de 650 nm FIGURA 3341 Problema 28 29 Um filme de óleo com índice de refração de 145 repousa sobre uma superfície de vidro opticamente plana que tem índice de refração de 160 Quando iluminado com luz branca em incidência normal luz com comprimento de onda de 690 nm e 460 nm predomina na reflexão Determine a espessura do filme de óleo 30 Um filme de óleo com índice de refração de 145 flutua na água Quando iluminado por luz branca em incidência normal luz com comprimentos de onda de 700 nm e 500 nm predomina na reflexão Determine a espessura do filme de óleo ANÉIS DE NEWTON 31 Um dispositivo para obtenção de anéis de Newton consiste em uma lente planoconvexa de vidro com raio de curvatura R que repousa sobre uma placa plana de vidro como mostrado na Figura 3342 O filme fino de ar com espessura variável O dispositivo é iluminado de cima pela luz de uma lâmpada de sódio com comprimento de onda de 590 nm O padrão é observado na luz refletida a Mostre que para uma espessura t a condição para um anel de interferência brilhante construtiva é 2t m 12λ onde m 01 2 b Mostre que para t R o raio r de uma franja está relacionado a t por r 2Rt c Para um raio de curvatura de 100 m e uma lente de 400 cm de diâmetro quantas franjas brilhantes você veria na luz refletida d Qual seria o diâmetro da sexta franja brilhante e Se o vidro usado no dispositivo tem índice de refração n 150 e o ar for substituído por água entre as duas partes de vidro explique qualitativamente as variações que ocorrerão no padrão de franjas brilhantes 32 Uma lente de vidro planoconvexa de raio de curvatura ra 200 m repousa sobre uma placa de vidro opticamente plana O arranjo é iluminado de cima usando luz monocromática com comprimento de onda de 520 nm Os índices de refração da lente e da placa são 160 Determine os raios da primeira e da segunda franjas desde o centro da luz refletida FIGURA 3342 Problema 31 33 Considere que antes que a lente do Problema 32 seja colocada sobre a placa um filme de óleo com índice de refração igual a 182 seja depositado sobre a placa Quais seriam então os raios das primeira e segunda franjas brilhantes PADRÕES DE INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA 34 Duas fendas estreitas separadas por 100 mm são iluminadas por luz com comprimento de onda de 600 nm e o padrão de interferência é observado em um anteparo a 200 m de distância Calcule o número de franjas brilhantes por centímetro no anteparo na região próxima à franja central 35 Usando um dispositivo convencional de fenda dupla e luz com comprimento de onda de 589 nm 28 franjas brilhantes por centímetro são observadas próximo ao centro de um anteparo a 300 m de distância Qual é a separação entre as fendas 36 Luz com comprimento de onda de 633 nm de um laser de hélioneônio incide normalmente em um plano contendo duas fendas O primeiro máximo de interferência está a 82 cm do máximo central no anteparo que está a 12 m de distância a Determine a separação entre as fendas b Quantos máximos de interferência é possível em princípio observar 37 Duas fendas estreitas estão separadas por uma distância d Seu padrão de interferência deve ser observado em um anteparo a uma grande distância L a Calcule o espaçamento entre máximos sucessivos próximos à franja central para um comprimento de onda de 500 nm quando L é 100 m e d é 100 cm b Você esperaria ser capaz de observar a interferência da luz no anteparo para esta situação c Quão próximas as fendas deveriam ser colocadas para que os máximos estivesse sejam espaçados por 100 mm para este comprimento de onda e distância do anteparo 38 Luz incide formando um ângulo θ com a normal em um plano vertical que contém duas fendas de separação d Figura 3343 Mostre que os máximos de interferência estão localizados em ângulos m dados por sen θ m sen θ mλd FIGURA 3343 Problemas 38 e 39 39 Luz branca incide em um ângulo de 30 com a normal a um plano que tem um par de fendas separadas por 250 μm Quais comprimentos de onda na região do visível dão máximos de interferência na luz transmitida na direção normal ao plano Veja o Problema 38 40 Dois pequenos altofalantes estão separados por uma distância de 50 cm como mostrado na Figura 3344 Os altofalantes são acionados em fase com um sinal de onda senoidal de frequência 10 kHz Um pequeno microfone é colocado a uma distância de 100 m dos altofalantes no eixo que passa pelo meio dos dois e o microfone é então movido perpendicularmente ao eixo Onde o microfone registra o primeiro mínimo e o primeiro máximo do padrão de interferência dos altofalantes A velocidade do som no ar é 343 ms FIGURA 3344 Problema 40 Microfone 100 m 50 cm Altofalantes 466 PADRÃO DE DIFRAÇÃO DE FENDA SIMPLES 41 Luz com comprimento de onda de 600 nm incide em uma fenda longa e estreita Determine o ângulo do primeiro mínimo de difração se a largura da fenda é a 10 mm b 010 mm e c 0010 mm 42 Microondas planas incidem em uma fina placa metálica que tem uma fenda longa e estreita de largura 50 cm A radiação de microondas incide na lâmina com incidência normal O primeiro mínimo de difração é observado em θ 37 Qual é o comprimento de onda das microondas 43 Amédia da distância até a Lua distância lunar é rotineiramente feita através de pulsos curtos de laser e da medida do tempo que eles levam para refletir na Lua Um pulso é disparado da Terra Para enviálo o pulso é expandido para que preencha a abertura de um telescópio com 15 cm de diâmetro Considerando que a única causa da abertura do feixe é a difração e que o comprimento de onda da luz é 500 nm qual será a largura do feixe quando ele atingir a Lua a 382 105 km de distância PADRÕES DE INTERFERÊNCIADIFRAÇÃO DE FENDA DUPLA 44 Quantos máximos de interferência estarão contidos no máximo central de difração no padrão de interferênciadifração de fenda dupla se a separação entre as fendas for exatamente 5 vezes o valor da largura de cada uma Quantas existem se a separação entre as fendas é um múltiplo inteiro da largura da fenda isto é d na para qualquer valor de n 45 Um padrão de interferênciadifração de fenda dupla do tipo Fraunhofer é observado usando luz com comprimento de onda de 500 nm As fendas estão separadas por 1000 mm e têm largura desconhecida a Determine a largura se o quinto máximo de interferência está no mesmo ângulo que o primeiro mínimo de difração b Para este caso quantas franjas brilhantes de interferência serão vistas no máximo central de difração 46 Um padrão de interferênciadifração de fenda dupla do tipo Fraunhofer é observado usando luz com comprimento de onda de 700 nm As fendas têm larguras de 0010 mm e estão separadas por 020 mm Quantas franjas brilhantes serão vistas no máximo central de difração 47 Considere que o máximo central de difração para duas fendas tenha 17 franjas de interferência para algum comprimento de onda da luz Quantas franjas de interferência seriam esperadas no máximo de difração adjacente ao lado do máximo central de difração 48 Luz com comprimento de onda igual a 550 nm ilumina duas fendas cujas larguras são iguais a 0030 mm e a separação entre elas é 015 mm a Quantos máximos de interferência estão inseridos na largura completa do máximo central de difração b Qual é a razão entre a intensidade do terceiro máximo de interferência de um lado do máximo central de interferência e a intensidade do máximo central de interferência USANDO FASORES PARA SOMAR ONDAS HARMÔNICAS 49 Determine a resultante de duas ondas cujos campos elétricos em uma dada posição variam com o tempo como se segue 2A0 E 12 20 sen ωt e 3A0 E 2 30 sen ωt 1 πi 50 Determine a resultante de duas ondas cujos campos elétricos em uma dada posição variam com o tempo como se segue 4A0 E 140 sen ωt e 3A0 E 230 sen ωt 1 πi 51 Luz monocromática incide em uma lâmina que contém uma fenda longa e estreita Figura 3345 Seja 1 a intensidade do máximo central do padrão de difração em um anteparo distante e seja I a intensidade no segundo máximo desde o máximo central A distância deste segundo máximo até borda mais distante da fenda é aproximadamente 25 comprimentos de onda maior que a distância do segundo máximo até a borda mais próxima da fenda Qual é a razão entre I e I0 FIGURA 3345 Problema 51 52 Luz monocromática incide em uma lâmina que tem três fendas longas estreitas e igualmente espaçadas por uma distância d a Mostre que as posições dos mínimos de interferência em um anteparo a uma grande distância L da lâmina com as fendas com d L são dadas aproximadamente por y m mλL4d onde m 1 2 4 5 7 8 10 isto é m não é um múltiplo de 3 b Para um anteparo a uma distância de 100 m L é de comprimento de onda de 500 nm e um espaçamento entre as fontes de 0100 mm calcule a largura do máximo principal de interferência a distância entre mínimos sucessivos para as três fontes Considere a largura com a das duas fontes com o mesmo espaçamento 54 Luz com comprimento de onda de 480 nm incide normalmente em quatro fendas Cada fenda tem 200 μm de largura e a separação centro a centro entre ela e a próxima fenda é 600 μm a Determine a largura angular do máximo central de intensidade do padrão de difração de fenda simples em um anteparo distante b Determine a posição angular de todos os máximos de interferência que estão no interior do máximo central de difração c Determine a largura angular do máximo central de interferência Isto é determine o ângulo entre os primeiros mínimos de interferência de cada lado do máximo central de interferência d Faça um esboço da intensidade relativa como função do seno do ângulo 55 Três fendas cada uma separada da fenda ao lado por 600 μm são iluminadas no máximo central de intensidade por uma fonte de luz coerente com comprimento de onda igual a 550 nm As fendas são extremamente estreitas Um anteparo é colocado a 250 m das fendas A intensidade é 500 mWm2 Considere a posição a 172 cm do máximo central e Desenhe um diagrama de fases adequado para a adição das três ondas harmônicas naquela posiçãob Do diagrama de fasores calcule a intensidade da luz naquela posição 56 Na difração de fenda simples de Fraunhofer o padrão de intensidade Figura 3311 consiste em um máximo central largo com uma sequência de máximos secundários de cada lado do máximo central A intensidade é dada por I I0 sen2 t onde é a diferença de fase entre as ondas secundárias chegando das extremidades opostos das fendas Calcule os valores de para os primeiros três máximos secundários de um lado do máximo central determinando os valores de para os quais dφ é igual a zero Confira seus resultados comparando suas respostas com valores aproximados para igual a 3π 5π e 7π Na discussão sobre a Figura 3327 será mostrado que estes valores de φ são aproximadamente corretos nos máximos de intensidade secundários DIFRAÇÃO E RESOLUÇÃO 57 Luz com comprimento de onda igual a 700 nm incide em um orifício com diâmetro de 0100 mm a Qual é o ângulo entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração para o padrão de difração de Fraunhofer b Qual é a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração em um anteparo a 800 m de distância 58 Duas fontes de luz com comprimentos de onda iguais a 700 nm estão a 100 m de distância do orifício do Problema 57 Qual deve ser a separação entre as fontes para que seus padrões de difração sejam resolvidos pelo critério de Rayleigh 59 Duas fontes de luz com comprimentos de onda iguais a 700 nm estão separadas por uma distância horizontal x Elas estão a 500 m de uma fenda vertical de largura 0500 mm Qual é o menor valor de x para o qual o padrão de difração das fontes possa ser resolvido pelo critério de Rayleigh 60 O teto de seu quarto de leitura provavelmente seja coberto com telha acústica que tem pequenos orifícios separados por aproximadamente 60 mm a Usando luz com comprimento de onda de 500 nm que distância da cobertura você pode estar e ainda resolver os orifícios Considere que o diâmetro da pupila dos seus olhos seja de aproximadamente 50 mm b Você poderia resolver os orifícios melhor usando luz vermelha ou luz violeta Explique sua resposta 61 O telescópio do Monte Palomar tem diâmetro de 500 cm Considere que uma estrela dupla esteja a 400 anosluz de distância Em condições ideais qual deve ser a mínima separação entre as duas estrelas para que suas imagens sejam resolvidas usando luz com comprimento de onda de 550 nm 62 A estrela Mizar na Ursa Maior é um sistema binário de estrelas que têm magnitudes aproximadamente iguais A separação angular entre as duas estrelas é 14 segundos de arco Qual é o diâmetro mínimo da pupila que permite a resolução das duas estrelas usando luz com comprimento de onda de 550 nm REDES DE DIFRAÇÃO 63 Uma rede de difração com 2000 fendas por centímetro é usada para medir comprimentos de onda emitidos por gás hidrogênio a Em que ângulos no espectro de primeira ordem você esperaria encontrar as duas linhas violetas com comprimentos de onda de 434 nm e 410 nm b Quais são os ângulos se a rede tem 15 000 fendas por centímetro 64 Usando uma rede de difração com 2000 fendas por centímetro duas linhas no espectro de primeira ordem do hidrogênio são encontradas nos ângulos de 972 102 rad e 132 101 rad Quais são os comprimentos de onda das linhas 65 As cores de muitas asas de borboletas e carapaças de besouros são devidas a efeitos de difração A borboleta Morfo tem elementos estruturais nas suas asas que efetivamente atuam como uma rede de difração com espaçamento de 880 nm Em que ângulo ocorrerá o primeiro máximo de difração para luz com incidência normal difratada pelas asas da borboleta Considere que a luz seja azul e tenha comprimento de onda de 440 nm 66 Uma rede de difração tem 2000 fendas por centímetro e é usada para analisar o espectro do mercúrio a Determine a separação angular no espectro de primeira ordem das duas linhas com comprimentos de onda de 579 nm e 577 nm b Qual deve ser a largura do feixe na rede para que as linhas sejam resolvidas 67 Uma rede de difração tem 4800 linhas por centímetro e iluminada com incidência normal usando luz branca intervalo de comprimento de onda de 400 nm a 700 nm Quantas ordens do espectro completo podem ser observadas na luz transmitida Algumas destas ordens se superpõem Se a resposta for positiva descreva as regiões de superposição 68 Uma rede de difração quadrada com área de 250 cm2 tem resolução de 22 000 na quarta ordem Em que ângulo devemos olhar para ver um comprimento de onda de 510 nm na quarta ordem 69 Luz de sódio com comprimento de onda igual a 589 nm incide normalmente em uma rede de difração quadrada de 200 cm com 4000 linhas por centímetro O padrão de difração de Fraunhofer é projetado em um anteparo a uma distância de 150 m da rede por uma lente com 150 m de distância focal colocada imediatamente em frente à rede Determine a as distâncias entre os máximos de intensidade de primeira e segunda ordem do máximo central b a largura do máximo central e c a resolução na primeira ordem Considere que a rede inteira esteja iluminada 70 O espectro do neon é excepcionalmente rico na região do visível Entre as muitas linhas há duas com comprimentos de onda de 519313 nm e 519322 nm Se a luz de um tubo de descarga de neônio incide normalmente em uma rede de transmissão com 8400 linhas por centímetro e o espectro é observado em segunda ordem qual a largura da rede que deve ser iluminada para que as duas linhas possam ser resolvidas 71 O mercúrio tem vários isótopos estáveis dentre os quais estão 198Hg e 202Hg O intenso espectro de linhas do mercúrio em aproximadamente 54607 nm é uma composição de linhas espectrais dos vários isótopos do mercúrio Os comprimentos de onda da linha para 198Hg e para 202Hg são 54607532 nm e 54607355 nm respectivamente Qual deve ser o poder de resolução de uma rede capaz de resolver as duas linhas dos isótopos na terceira ordem em espectro Se a rede é iluminada em uma região de 200 cm de largura qual deve ser o número de linhas por centímetro da rede 72 Uma rede de difração tem n linhas por unidade de comprimento Mostre que a separação angular Δθ entre duas linhas de comprimentos de onda e aproximadamente onde n é o número de ordem 73 Para uma rede de difração na qual todas as superfícies são normais à radiação incidente a maior parte da energia está na ordem zero a qual é inútil do ponto de vista espectroscópico pois todos os comprimentos de onda estão em 0 Assim redes modernas de reflexão têm sulcos inclinados como mostrado na Figura 3346 Este sulco desvia a reflexão especular que contém a maior parte da energia da ordem zero para alguma ordem mais elevada a Calcule o ângulo de inclinação em ingles blaze em termos da separação entre os sulcos d do comprimento de onda λ e do número de ordem m no qual deve ocorrer a reflexão especular para m 1 2 b Calcule o ângulo de inclinação apropriado para que ocorra reflexão especular em segunda ordem para luz com comprimento de onda de 450 nm incidente em uma rede com 10 000 linhas por centímetro 74 Neste problema você deduzirá a relação R λΔλ mN Equação 3327 para o poder de resolução de uma rede de difração tendo N fendas separadas por uma distância d Para fazer isso você calculará a separação angular entre o máximo de intensidade e o mínimo de intensidade para algum comprimento de onda e igualará a separação angular do máximo de ordem m para dois comprimen tos de onda próximos a Primeiro mostre que a diferença de fase ϕ entre as ondas de duas fendas adjacentes é dada por ϕ 2πd sen θ b Depois diferencie esta expressão para mostrar que uma pequena variação no ângulo dθ resulta em uma variação na fase dϕ dada por dϕ 2π d cos θ dθ c Então para N fendas a separação angular entre um máximo de interferência e um mínimo de interferência corresponde a uma variação de fase de dϕ 2πN Use isso para mostrar que a separação angular dθ entre o máximo de intensidade e o mínimo de intensidade para algum comprimento de onda λ é dado por dθ λN d cos θ d Depois use o fato que o ângulo entre o mésimo máximo de interferência para o comprimento de onda λ é especificado por θ sen θ mλ Equação 3326 Calcule a diferença de cada lado da equação para mostrar que a separação angular entre o mésimo máximo para dois comprimentos de onda aproximadamente iguais diferindo por dλ é dado por dθ m dλ λ cos θ e De acordo com o critério de Rayleigh os comprimentos de onda serão resolvidos na ordem m se a separação angular entre os comprimentos de onda dados pelo resultado da Parte d é igual à separação angular do máximo de interferência e do mínimo de interferência dada pelo resultado da Parte c Use isto para chegar a R λΔλ mN Equação 3327 para o poder de resolução de uma rede PROBLEMAS GERAIS 75 Coronas que ocorrem naturalmente anéis brilhantes coloridos são algumas vezes vistas em volta da Lua ou do Sol quando observados através de uma nuvem fina Cuidado Ao observar uma corona no Sol se assegure que todo o Sol seja bloqueado pela borda de um edifício de uma árvore ou de um poste para proteger seus olhos Estas coronas são devidas à difração da luz por pequenas gotas de água na nuvem Um diâmetro angular típico para um anel corona é aproximadamente 10 A partir disso estime o tamanho das gotículas de água na nuvem Considere que as gotículas possam ser modeladas como discos opacos com o mesmo raio das gotas e que o padrão de difração de Fraunhofer de um disco opaco seja o mesmo que o de uma abertura de mesmo diâmetro Esta última afirmação é conhecida como princípio de Babinet 76 Uma corona artificial veja o Problema 75 pode ser produzida colocando uma suspensão de microesferas de poliestireno na água As microesferas de poliestireno são pequenas e uniformes feitas de plástico com índice de refração de 159 Considerando que a água tenha um índice de refração de 133 qual é o diâmetro angular de tal corona artificial se as partículas de 500 μm de diâmetro são iluminadas por luz de um laser de hélionéon com comprimento de onda de 6328 nm no ar 77 O efeito corona veja o Problema 75 pode ser causado por grãos de pólen tipicamente de videiro ou pinheiro Tais grãos têm formato irregular mas podemos considerar que tenham um diâmetro médio de aproximadamente 25 μm Qual é o diâmetro angular em graus da corona para a luz azul Qual é o diâmetro angular em graus da corona para a luz vermelha 78 Luz de um laser de HeNe 6328 nm incide em um cabelo humano em uma tentativa de medir seu diâmetro através do exame do padrão de difração O cabelo é montado em uma armação a 75 m de uma parede e a largura medida para o máximo central de difração é 146 cm Qual é o diâmetro do cabelo O padrão de difração de um cabelo com diâmetro d é o mesmo que o de uma fenda simples com largura a d Veja o princípio de Babinet discutido no Problema 75 79 Uma fenda horizontal longa e estreita está 100 μm acima de um espelho plano que está no plano horizontal O padrão de interferência produzido pela sua imagem é observado em um anteparo a 100 m da fenda O comprimento de onda da luz é 600 nm a Determine a distância do espelho até o primeiro máximo b Quantas franjas escuras por centímetro são vistas no anteparo Um radiotelescópio está situado na beira de um lago O telescópio está observando a luz de uma radiogaláxia que está surgindo no horizonte Se a altura da antena está a 20 m acima da superfície do lago em que ângulo acima do horizonte a radiogaláxia estará quando o telescópio está centrado no primeiro máximo de intensidade das ondas de rádio Considere que o comprimento de onda das ondas de rádio é 20 cm DICA A interferência é causada pela luz refletida no lago e lembre que esta reflexão resultará em uma mudança de fase de 180 O diâmetro do radiotelescópio em Arrecibo Porto Rico é 300 m Qual é a menor separação angular entre dois objetos que este telescópio pode detectar quando está ajustado para detectar microondas de 32 cm de comprimento de onda Uma fina camada de um material transparente com índice de refração de 130 é usada com camada antirefletora em uma superfície de vidro com índice de refração de 150 Qual deveria ser a mínima espessura do material para que ele não reflita luz com comprimento de onda de 600 nm 83 Um interferômetro FabryPerot Figura 3347 consiste em dois espelhos paralelos semitransparentes que estão de frente um para o outro separados por uma pequena distância a Um espelho semitransparente é tal que transmite 50 por cento e reflete 50 por cento da intensidade incidente Mostre que quando luz incide no interferômetro em um ângulo de incidência θ a luz transmitida terá um máximo de intensidade quando 2a m cos θ