Exercicos Final

Lista 2 1 10 pontos Calcule a derivada 𝑓2 sendo 𝑓𝑥 5𝑥 2 10 pontos Calcule a derivada 𝑓2 sendo 𝑓𝑥 ln1 𝑥𝑥 3 10 pontos Dada a equação 𝑥 𝑦2 𝑥 𝑦2 𝑥4 𝑦4 calcule 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 10 pontos Ache os valores extremos globais da função 𝑓𝑥 𝑥3 5𝑥 4 em 3 1 Use calculadora para os valores na função se quiser Lista 3 1 20 pontos O ponto 3 2 está numa curva e em qualquer ponto 𝑥 𝑦 sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2𝑥 3 Ache uma equação da curva 2 20 pontos Resolva 𝑥 110𝑑𝑥 1 0 3 20 pontos Resolva cos3𝑥 12𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 4 20 pontos Resolva sec23𝑡 𝑡 𝑑𝑡 5 20 pontos Ache a área limitada pelas curvas 𝑦 𝑥2 𝑦 8 𝑥2 Liste 3 1 Seja Fx a equação da curva Sabemos que a inclinação do reta tangente é igual à derivada da curva Desse modo ao integrarmos a equação da reta tangente obtemos Fx Fx 2x3 dx Fx x² 3x C Como 32 pertence à curva temos que 2 3² 33 c 2 9 9 c 2 c Portanto a equação da curva é Fx x² 3x 2 2 ₀¹ x1¹⁰ dx seja u x 1 então du dx ₀¹ u¹⁰ du u¹¹11₀¹ x1¹¹11 ₀¹ 51¹¹11 01¹¹11 111 111 cos3x32sen3x dx u 3 2 sen 3x du 23 cos 3x dx du 6 cos 3x dx 16 du cos 3x dx 16 1u du 16 u12 du 16 u12 12 c 16 u12 12 c 16 2 u c 13 3 2 sen 3x c 4 sec²3tt dt u 3t du 3 12t dt 23 sec² u du 13 tg u c 23 tg 3t c 5 Primeiramente vamos encontrar os pontos de interseção dos dois curvas x² 8 x² 2x² 8 x² 4 x 2 A área entre os curvas é dado pelo integral do diferença entre os funções de cada curva Área ₂² 8 x² x² dx Agora vamos calcular essa integral definida Área ₂² 8 x² x² dx ₂² 8 2x² dx 8x 23 x³ ₂² 82 2 2³3 82 22³3 16 163 36 163 32 323 96 323 Área 643 ua Lista 2 1 Calcule a derivada f2 sendo fx 5x Consultando uma tabela de derivadas temos que ddx ax ax ln a Logo ddx 5x 5x ln 5 De modo que f2 52 ln 5 f2 25 ln 5 2 Calcule a derivada f2 sendo fx ln 1 xx Consultando uma tabela de derivadas temos que ddx lnx 1x ou seja dxx x fx ln x Logo fx 1 xx 1 xx Agora vamos derivar 1 xx em relação a x Seja y xx Então ln y ln xx x ln x Derivando ambos os lados em relação a x temos 1y dydx ln x x 1x 1y dydx ln x 1 dydx y ln x 1 dydx xx ln x 1 Como 1 xx xx temos que fx xx ln x 1 1 xx De modo que f2 22 ln 2 1 1 22 4 ln 2 1 5 3 Dada a equação x y2 x y2 x4 y4 calcule dydx Note que x y2 x y2 x2 2xy y2 x2 2xy y2 4xy Assim ficamos com a equação 4xy x4 y4 Vamos derivar ambos os lados implicitamente em relação a x 4x dydx 4y 4x3 4y3 dydx y x dydx y y x3 y3 dydx x dydx y x3 y3 dydx x dydx y3 dydx x3 y dydx x y3 x3 y dydx x3 y x y3 4 Ache os valores extremos globais da função fx x3 5x 4 em 3 1 Primeiramente vamos derivar a função e igualar a zero para encontrarmos os pontos críticos fx 3x2 5 Daí fx 0 3x2 5 0 x2 53 x sqrt53 x 129 Como nosso intervalo é 3 1 consideraremos apenas x 129 Agora vamos avaliar a função no ponto crítico e no extremo do intervalo para determinar os valores extremos globais f3 33 53 4 27 15 4 16 f1 13 51 4 1 5 4 0 f129 1293 5129 4 222 Comparando esses valores temos que o mínimo global é 16 em x 3 e o máximo global é 0 em x 1