Formulación Hamiltoniana 4

Rotaciones en el plano\n\nConsidere una rotación de los ejes coordenados x1 y x2 por un ángulo θ.\n\nEn el marco O, el punto P tiene coordenadas (x1, x2) y en el marco O' tiene coordenadas (x1', x2'). ¿Cómo se relacionan ambas coordenadas?\n\nDe la física, vemos que\n\nx1' = c + c' sin θ\n\n, c' = x2 - c sin θ\n\n= c + (x2 - c sin θ) sin θ = c (1 - sin²θ) + x2 sin θ\n\n=(c cos θ) cos θ + x2 sin θ\n\nx1' = x1 cos θ + x2 sin θ\n\nAhora, también de la figura\n\nx2' = c' cos θ = (x2 - c sin θ) cos = x2 cos θ - (c cos θ) sin θ\n\n=>\nx2' = x2 cos θ - x1 sin θ Por lo tanto, las coordenadas del punto P están relacionadas como sigue:\n\n(x1') = ( cosθ sinθ )( x1 )\n ( -sinθ cosθ )( x2 )\n(1)\n\nAhora considere la situación en que es el vector de posición el que se rota y no los ejes coordenados, como se muestra en la figura:\n\nDe la figura:\n\nx1' = r cos(θ + φ)\n\n= r cosθ cosφ - r sinθ sinφ\n\n= (r cosφ) cosθ - (r sinφ) sinθ\n\nx1 = x1 cos θ - x2 sin θ\n\nNota la diferencia entre (1) y (2) Ahora enfoquemos el problema desde el punto de vista de la rotación de una base.\n\nSean las bases ortonormales {e1, e2} y {e1', e2'}, cuyos conjuntos de coordenadas tangentes son (x1, x2) y (x1', x2'), respectivamente:\n\nei∙ej = δij = e'i∙e'j\n\nLos vectores de la base {e1, e2} pueden ser representados en la base {e'i, e'j}:\n\ne'i = Oij ej\n\nLos componentes de e'i en la base {e1, e2}.\n\nTomando el producto escalar con ej a ambos lados, tenemos:\n\ne'i ∙ ej = Oik e'k ∙ ej = O2k δkj\n\ncos θij = O2j Entonces,\n\nO11 = e1, e1 = cosθ11 = cosθ\n\nO12 = e1' e2 = cos(π/2 - θ) = sin(π/2) sinθ = sinθ\n\nO21 = e2' e1 = cosθ21 = cos(π + θ) = -sin(π) sinθ = -sinθ\n\nO22 = e2' e2 = cosθ22 = cosθ\n\nPor lo tanto,\n\ne1' = O11 e1 + O12 e2 = cosθ e1 + sinθ e2\n\ne2' = O21 e1 + O22 e2 = -sinθ e1 + cosθ e2\n\n\\\n\ne' = \\( \\begin{pmatrix}\ncosθ & sinθ \\\\n-sinθ & cosθ \\end{pmatrix} \\) \\( \\begin{pmatrix}\ne1 \\\\ e2 \\end{pmatrix} \\)\n\n\\\nComo se ... relacionan las coordenadas del punto. Veamos ahora qué pasa con el vector de posición.\n\nEl vector \\( \\vec{x} \\) puede ser representado en las bases \\{ e_i \\} y \\{e_j \\} como sigue:\n\n\\( \\vec{x} = x_i' e_i' = x_i e_i \\) \\rightarrow El vector es el mismo, lo que cambian son sus componentes.\n\nAhora, sabemos que\n\ne_i' = O_{ij} e_j \\Rightarrow e_i = O_{ij}^{-1} e_j' .\n\nEntonces,\n\nx_i' e_i' = x_i O_{ij}^{-1} e_j' .\n\nx_j' e_j' = x_i (O_{ij}' e_j') \\Rightarrow x_j' = O_{ij}^{-1} x_i.\n\nEntonces, las coordenadas de \\( \\vec{x} \\) se deben transformar con la inversa de O(θ). Pero, ¿cuál es la inversa de O(θ)? Uno espera que O(-θ) produzca el efecto contrario de O(θ). Vemos que,\n\nO(-θ) = \\( \\begin{pmatrix} \\cos(-θ) & \\sin(-θ) \\\\ -\\sin(-θ) & \\cos(-θ) \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\cosθ & -\\sinθ \\\\ \\sinθ & \\cosθ \\end{pmatrix} \\)\n\n= O^T(θ),\n\nasí que\n\nO(θ) O(-θ) = \\( \\begin{pmatrix} \\cosθ & \\sinθ \\\\ -\\sinθ & \\cosθ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\cosθ & -\\sinθ \\\\ \\sinθ & \\cosθ \\end{pmatrix} \\)\n\n= \\( \\begin{pmatrix} \\cos^2θ + \\sin^2θ & 0 \\\\ 0 & \\sin^2θ + \\cos^2θ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} = I \\)\n\nPor lo tanto, la inversa de O(θ) es:\n\nO^{-1}(θ) = O(-θ) = O^T(θ).\n\nAsí:\n\nx' = \\( \\begin{pmatrix} x1' \\\\ x2' \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\cosθ & -\\sinθ \\\\ \\sinθ & \\cosθ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x1 \\\\ x2 \\end{pmatrix} \\Rightarrow \\text{(como (2)).} x'2 = x2 + θ x1, L3} + b2/21, θ x1, x2, L2, L3 + ...\n\nP'dx = r0\n\n{ x2, L3} = { x2, x1, x2 - x2, L3} = + x1,\n\n{ x1, L3} = { x1, L3} = - x2,\n\n{ x2, L3}, L3} = { x2, L3} = -{x2, L3} = - x1,\n\n{ x2, L3}, L3}, L3} = -{ x1, L3} = + x2\n\nAsí que\n\nx'1 = x2 + θ x1 + b2/21, x2 - b3/31, x1 + θ4 x2 + ...\n\n= x1 (θ - b3/31 + ...) + x2[1 + b2/21 + b4/41 + ...]\n\n= x1 sin θ + x2 cos θ\n\nPor lo tanto,\n\n( x'1 \n x'2 ) = ( cos θ -sin θ ) ( x1 )\n ( sin θ cos θ )( x2 )\n\no abreviadamente\n\nx' = Oij xj