Funções Logarítmicas - Módulo 2: Fundamentos de Matemática

MÓDULO 2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 2 Caroa alunoa Bemvindoa ao curso de Fundamentos da Matemática Funções Loga rítmicas que visa aprimorar os conhecimentos sobre logaritmo funções equações e inequações logarítmicas aplicações das funções logarítmi cas progressões aritméticas e progressões geométricas Nesta etapa de aprendizado você será estimulado a partindo do conheci mento basilar de logaritmo resolver facilmente problemas envolvendo fun ções equações e inequações logarítmicas verificando ao final aplicações importantes além de entender os conceitos e as relações existentes entre progressão aritmética e progressão geométrica Bom estudo Ao final deste curso esperase que você seja capaz de Compreender o conceito de logaritmo observando as condições de existência aplicáveis às funções logarítmicas Compreender os principais aspectos que envolvem os exercícios de equações e inequações logarítmicas aplicando as condições de existência e verificação dos intervalos em que as respostas podem estar Compreender as aplicações mais utilizadas das funções logarítmicas por meio de exemplos que simulam situações reais Compreender os conceitos de Progressão Aritmética PA e Progressão Geométrica PG verificando como encontrar o Termo Geral de uma PA e de uma PG bem como a soma dos termos interpolação entre outras regras raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 3 1 BREVE HISTÓRICO SOBRE OS LOGARÍTMOS O desenvolvimento da navegação e da astronomia no final do século XVI era limitado uma vez que exigia longos e trabalhosos cálculos matemáticos Como forma de facilitar esses cálculos dois personagens históricos revo lucionaram ao propor formas muito mais rápidas e práticas de se atingir o resultado dos cálculos o escocês Lorde John Napier e o professor de ge ometria inglês Henry Briggs A John Napier é atribuída a criação de uma das ferramentas mais úteis da Matemática que são os logaritmos enquanto o professor Briggs foi o responsável por simplificar aperfeiçoar e difundir a criação de Naiper De forma bem simplificada Naiper após vinte anos de trabalho criou em 1614 uma forma de transformar multiplicações em somas divisões em subtrações e potências em multiplicações O termo logaritmo vem do grego onde logos significa razão e arithmos corresponde a número O nome deriva da relação observada entre uma pro gressão aritmética e uma progressão geométrica em que a multiplicação era descoberta sem que fosse feita efetivamente a conta mas utilizando a relação entre as progressões para achar o valor de forma muito mais simples Embora a criação tenha sido de Naiper a adaptação para valores mais simples de serem utilizados por meio dos logaritmos decimais como co nhecemos nos dias atuais é atribuída a Briggs As aplicações dos logaritmos são tamanhas que não se restringem apenas a facilitar os cálculos mas as definições são utilizadas em diversas áre as e aplicações como escala Richter na Matemática Financeira estudo de decaimento radioativo e muitas outras aplicações cujas principais serão analisadas neste ebook raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 4 2 DEFINIÇÕES Admitindo a e b como números reais e positivos com a 1 temos OBSERVAÇÕES A base deve ser positiva e diferente de 1 O logaritmando deve ser maior que 0 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 5 2 1 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Admitindo a b e c como números reais e positivos com a 1 temos EXEMPLO EXEMPLO raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 6 EXEMPLO MUDANÇA DE BASE Em determinadas situações encontramos logaritmos que apresentam bases distintas que precisam ser convertidas para uma base conveniente para que possamos aplicar as propriedades operatórias Admitindo a e b e c como números reais e positivos com a e c 1 temos raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 7 EXEMPLO QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre o assunto logaritmo acesse PEREIRA MARIANA COSTA LOGARÍTMOS UMA ABORDAGEM INTER DISCIPLINAR Campos dos Goytacazes 2016 Disponível em httpsuenfbrposgraduacaomatematicawpcontentuploads sites1420170925042016MarianaCostaPereirapdf raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 1 Prove que 2 Prove que raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 9 3 Sabendo que log20301 e log 30477 calcule 4 Calcule log27 z sabendo que log3 z w raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 10 5 Determine o valor de log50 100 sabendo que log10 5 a 6 Se determine o valor de raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 11 7 Vunesp Se log3 a x então log9 a² é igual a 8 Fuvest Se x log4 7 e y log1649 então x y é igual a a 2x² b x² c x 2 d 2x e x a log4 7 b log 7 c 1 d 2 e 0 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 12 9 Sabendo que log 2a e que log 3 b calcule 10 Calcule o valor de raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 13 3 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Seja um número real a 0 a 1 chamamos de função logarítmica de base a a função f R R tal que fx logax a 0 fx log2x EXEMPLO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 14 a 0 fx log12x 4 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Relembrando OBSERVAÇÕES A base deve ser positiva e diferente de 1 O logaritmando deve ser maior do que 0 Devese sempre verificar as condições de existência quando trabalhamos com equações e inequações logarítmicas raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 15 Resolva a equação logarítmica 1 Resolva a equação Resolução Como as bases são iguais vamos igualar os logaritmandos 2x 5 7 2x 7 5 x 122 x 6 EXERCÍCIO RESOLVIDO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 16 2 Resolva a equação 3 Resolva a equação raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 17 4 Resolva a equação 5 Resolva a equação raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 18 6 Resolva a equação 7 Resolva a equação raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 19 5 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Relembrando OBSERVAÇÕES A base deve ser positiva e diferente de 1 O logaritmando deve ser maior do que 0 Devese sempre verificar as condições de existência quando trabalhamos com equações e inequações logarítmicas Resolva a inequação logarítmica Resolução Como as bases são iguais vamos fazer a operação com os logaritmandos x 1 7 x 7 1 x 6 Verificando as condições de existência x 1 0 x 1 Para satisfazer as duas condições EXERCÍCIO RESOLVIDO raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 20 QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre o assunto logaritmo acesse VASCONCELOS KLEBER WASHINGTON CABRAL DE LOGARÍTMOS E SUAS APLICAÇÕES 2011 Disponível em httpdspacebcuepbedubrjspuibitstream1234567894791 PDF2020Kleber20Washington20Cabral20de20Vasconce lospdf 1 Resolva a inequação logarítmica log10 x² 2 log10 2x 1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 21 2 Resolva a inequação log492x log493 log7x 3 FUVEST O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 2x 5 log2 3x 1 1 é o intervalo a 52 b 74 c 52 0 d 13 74 e 0 13 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 22 4 Resolva a inequação log3x2 3log3x 2 0 5 Resolva a inequação log3x2 3log3x 2 0 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 23 6 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Várias são as aplicações das funções logarítmicas dentre elas vamos trabalhar neste material com a Escala Richter aplicações em matemática financeira e na amortização com juros compostos Importante salientar que este material não esgota as muitas aplicações do assunto tratado QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre as aplicações de funções logarítmicas acesse PEREIRA Mariana CostaLogaritmos uma abordagem interdiscipli nar Campos dos Goytacazes 2016 Disponível em httpsuenfbrposgraduacaomatematicawpcontentuploads sites1420170925042016MarianaCostaPereirapdf raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 24 61 APLICAÇÃO COM ESCALA RICHTER EXERCÍCIO RESOLVIDO FUVEST A intensidade l de um terremoto medida na escala Richter é um número que varia de l 0 até l 89 para o maior terremoto conheci do l é dado pela fórmula I 23logEE0 onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt hora e E07103kWh a Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter b Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto por quanto fica multiplicada a energia liberada RESOLUÇÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 25 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 26 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ESCALA RICHTER Em março de 2011 um terremoto de 90 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição Em janeiro daquele ano um terre moto de 70 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero na Argentina A magnitude de um terremoto medida pela escala Richter é R logAA0 em que A é a amplitude do movimento vertical do solo informado em um sismógrafo A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é A 128 B 20 C 1097 D 100 E 109 107 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 27 62 APLICAÇÃO COM MATEMÁTICA FINANCEIRA EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Uma administradora de cartão de crédito cobra juros de 9 am sobre o saldo devedor Um usuário desse cartão tem um saldo devedor de R 50500 Em quanto tempo essa dívida chegará a R 60000 se não for paga Considere log 2 03 log 3 048 log 101 0004 log 109 0038 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 28 1 ENEM2018 Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada concederseá uma redução de juros de acordo com o período de antecipação Neste caso pagase o valor presente que é o valor naquele momento de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura Um valor presente P submetido a juros comvpostos com taxa i por um período de tempo n produz um valor futuro V determinado pela fórmula V P1in Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais de R 82000 a uma taxa de juros de 132 ao mês junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela desde que o desconto seja superior a 25 do valor da parcela Utilize 02877 como aproximação para ln43 e 00131 como aproximação para ln 10132 A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a 56ª 55ª 52ª 51ª 45ª 63 APLICAÇÃO COM MATEMÁTICA FINANCEIRA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO JUROS COMPOSTOS AMORTIZAÇÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 29 2Um investidor aplicou a quantia de R 50000 em determinada aplicação que retribui com juros mensais de 35 no regime de juros compostos Para que o montante chegue ao valor de R350000 quanto tempo terá decorrido use log 103500149 e log 708451 3Um investidor comprou por 1000 dólares um lote de ações de uma empresa e o revendeu após t meses por 3000 dólares Sabendo que a valorização mensal foi de 8 qual o valor de t use log 203 e log 3048 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 30 7 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Observe a seguinte sequência 2 5 8 11 14 17 Uma progressão aritmética PA é uma sequência em que cada termo a partir do segundo é formado pelo anterior somado a uma razão r constante 71 CLASSIFICAÇÕES DAS PA PA crescente r maior que zero PA constante r igual a zero PA decrescente rmenor que zero EXEMPLOS DE PA 2 4 6 8 10 crescente de razão 2 1 2 5 8 11 decrescente de razão 3 5 5 5 5 5 5 constante 12 1 32 2 52 crescente de razão 12 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 31 72 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Seja a1 a2 a3 an uma PA de razão r temos an a1 n1r Por extensão podemos ter a seguinte fórmula an ak nKr 73 TERMOS EQUIDISTANTES Numa PA finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Podemos comprovar que a soma dos extremos 218 é igual à soma de dois termos equidistantes a eles 218 416 614 10 12 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 32 74 TERMO CENTRAL Em uma PA tomandose três termos o termo central é igual à média entre os seus vizinhos 1 4 7 10 13 16 19 22 Podemos comprovar que 4 172 7 4102 10 7132 13 10162 16 13192 19 16222 75 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Significa inserir números entre dois números de forma que a sequência forme uma PA 2 18 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 33 Para descobrir os termos que estão faltando basta utilizar a fórmula do termo geral da seguinte forma a9 a1 n1r 18 2 8r 16 8r r 2 Achando o valor da razão fica fácil descobrir os demais termos faltantes 2 4 6 8 10 12 14 16 18 76 SOMA DOS TERMOS Dada uma progressão aritmética finita 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 temos que a soma dos termos da PA é igual a raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 34 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROGRESSÃO ARITMÉTICA 1 Considere que a b 3 c é uma progressão aritmética de números reais e que a soma de seus elementos seja igual a 8 O produto dos elementos dessa progressão é igual a a 30 b 10 c 15 d 20 2 Bia está pensando em criar um lindo pomar A ideia de Bia consiste em dispor suas árvores plantadas em forma de triângulo havendo uma árvore na primeira fila três árvores na segunda fila cinco árvores na terceira fila e assim sucessivamente Imaginando que o projeto do pomar de Bia tem quarenta filas quantas árvores haverá no pomar raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 35 3 UDESC Sejam x y z números reais tais que a sequência x 1 y 14 z forma nesta ordem uma progressão aritméticaEntão o valor da soma x y z é a 38 b 218 c 158 d 2 e 198 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 36 8 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Observe a seguinte sequência 2 4 8 16 32 64 Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo a partir do segundo é formado pelo anterior multiplicado a uma razão q constante 81 CLASSIFICAÇÕES DAS PG PG crescente a10 e q1 ou a10 e 0q1 PG decrescente a10 e 0q 1 ou a10 e q1 PG constante q1 PG alternada q0 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 37 Exemplos de Progressão Geométrica 2 4 6 8 10 crescente de razão 2 1 3 9 27 81 decrescente de razão 3 1 12 14 18 decrescente de razão 12 7 7 7 7 7 constante de razão 1 5 10 20 40 80 alternada de razão 2 82 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Seja a1 a2 a3 an uma PG de razão q temos Por extensão podemos ter a seguinte fórmula raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 38 84 TERMOS EQUIDISTANTES Numa PG finita o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos 2 4 8 16 32 64 Podemos comprovar que o produto dos extremos 2 x 18 é igual ao produto de dois termos equidistantes a eles 2 x 64 4 x 32 8 x 16 85 TERMO CENTRAL Em uma PG tomandose três termos o termo central é igual à media geométrica entre os seus vizinhos 1 3 9 27 81 243 Podemos verificar que 32 1 x 9 92 3 x 27 E assim por diante raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 39 85 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Significa inserir números entre dois números de forma que a sequência forme uma PG 1 243 Para descobrir os termos que estão faltando basta utilizar a fórmula do termo geral da seguinte forma a6 a1 qn1 243 1q⁵ 3⁵ q⁵ q 3 Achando o valor da razão fica fácil descobrir os demais termos faltantes 1 3 9 27 81 243 86 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA Dada uma progressão geométrica finita 2 4 8 16 32 64 temos raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 40 87 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA Dada uma progressão geométrica finita 1 13 19 127 181 temos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1 A sequência 2x 5 x 1 x2 é uma progressão geométrica de termos positivos O décimo terceiro termo dessa sequência é 2 Sabendo que o terceiro número de uma progressão geométrica é 15 e que o quinto número é 135 qual das alternativas representa o segundo termo dessa progressão a 3 b 5 c 10 d 15 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 41 3 Qual o valor do primeiro termo de uma progressão geométrica em que a315 e a659 4 Dada a progressão geométrica 1 3 9 27 se a sua soma é 3280 então ela apresenta a 9 termos b 8 termos c 7 termos d 6 termos e 5 termos raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 42 9 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste ebook você foi apresentado aos assuntos Logaritmo e funções logarítmicas em que foram abordados além dos conceitos introdutórios e a definição de logaritmo as principais propriedades dos logaritmos e as condições de existência de uma função logarítmica Equações logarítmicas e inequações logarítmicas com diversos exemplos elucidativos para que fossem observadas as muitas maneiras de cobrança desse assunto sempre com a verificação das condições de existência e com a verificação no caso de inequações dos intervalos que pudessem satisfazer a proposta do exercício Aplicações das funções logarítmicas que foram sintetizadas em três aplicações bem importantes como em fenômenos naturais em sua aplicação na Escala Richter além da consagrada utilização na matemática financeira e na questão da amortização de juros compostos Progressão aritmética e progressão geométrica com as definições das progressões conceito de razão fórmula do termo geral peculiaridades de uma PA e de uma PG de três termos termos equidistantes soma dos termos e interpolação dos termos de ambas as progressões Toda a parte conceitual foi complementada com diversos exercícios de fixação além da indicação de material complementar raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 43 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS KENNETH H Rosen Matemática Discreta e suas Aplicações 2009 np Grupo A Educação PECORARI Mariana Logaritmos e aplicações 2013 96 p Dissertação mestrado Universidade Estadual Paulista Instituto de Geociências e Ciências Exatas 2013 Disponível em httphdl handlenet1144992409 PEREIRA Mariana Costa Logaritmos uma abordagem interdisciplinar Mariana Costa Pereira Campos dos Goytacazes 2016 Disponível em httpsuenfbrposgraduacaomatematicawpcontent uploadssites1420170925042016MarianaCostaPereirapdf VASCONCELOS Kleber Washington Cabral de Logaritmos e Suas Aplicações Universidade Estadual da Paraíba 2011 Disponível em httpdspacebcuepbedubrjspuibitstream1234567894791 PDF2020Kleber20Washington20Cabral20de20 Vasconcelospdf raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 44 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 1 Aplicação direta da propriedade verificar vídeoaula 2 Aplicação direta da propriedade verificar vídeoaula 3 0396 valor aproximado 4 w3 5 2a1 6 k3 7 E 8 0 9a12b 1035 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 45 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 1 x 1 2 x 3 3 x 10 4 S32 5 x 19 6 S24 7 Sv339 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 1 Sx E R ou x 12 2 x E Rx 0 ou x13 3 D 4 Sx E R0x3 oux9 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 46 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO APLICAÇÕES DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ESCALA RICHTER D MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 meses JUROS COMPOSTOS AMORTIZAÇÃO 1 C 2 567 meses aproximadamente 3 12 meses EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROGRESSÃO ARITMÉTICA 1 C 2 1600 3 158 raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 47 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1 310 2 B 3 q 13 4 8 termos raphael coelho brum braggio 34034403896 v UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 48 legalecombr O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896