Integração Cálculo 1 - Áreas e Somas Finitas

05 Integração Cálculo 1 1 2013 Pearson Todos os direitos reservados Prof Anderson Rouver 05 Integração Integração 1 Area e estimativa com somas finitas 2 Notação sigma e limites de somas finitas 3 A integral definida 4 Teorema fundamental do cálculo 5 Integrais indefinidas e regra da substituição 6 Substituição e área entre curvas 2 2 Notação sigma e limites de somas finitas Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas A integral definida é uma ferramenta essencial em cálculo A base para a formulação de integrais definidas é a construção de somas finitas apropriadas Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área A área da região R não pode ser determinada por meio de uma fórmula simples Embora ainda não tenhamos um método para determinar a área exata de R podemos aproximála de uma maneira simples Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área a usando dois retângulos que contêm R obtemos uma estimativa superior da área de R b Quatro retângulos fornecem uma estimativa superior mais precisa Ambas as estimativas ultrapassam o valor real da área pelo montante sombreado azul mais claro Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área A área total dos dois retângulos aproxima a área A da região R 𝐴𝐴 1 1 2 3 4 1 2 7 8 0875 Dizemos que 0875 é uma soma superior Os quatro retângulos fornecem a aproximação 𝐴𝐴 1 1 4 15 16 1 4 3 4 1 4 7 16 1 4 25 32 078125 Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área Suponha em vez disso que usemos quatro retângulos contidos na região R para estimar a área Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área Somando esses retângulos com alturas iguais ao valor mínimo de ƒx para x em cada subintervalo da base temos uma aproximação de soma inferior para a área 𝐴𝐴 15 16 1 4 3 4 1 4 7 16 1 4 0 1 4 17 32 053125 O verdadeiro valor de A situase em algum ponto entre as somas superior e inferior 053125 𝐴𝐴 078125 É possível ainda obter outra estimativa usando retângulos nos quais as alturas sejam valores de ƒ em pontos médios de suas bases 𝐴𝐴 63 64 1 4 55 64 1 4 39 64 1 4 15 64 1 4 172 64 1 4 0671875 Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área a Soma inferior que usa 16 retângulos de largura igual Δ𝑥𝑥 116 b Soma superior com 16 retângulos Prof Anderson Rouver 05 Integração Área e estimativa com somas finitas Área Prof Anderson Rouver 05 Integração Area e estimativa com somas finitas Valor médio de uma função contínua não negativa Para obter a média de um conjunto de n números x1 x2 xn devemos somálos e dividir o resultado por n Mas qual é a média de uma função contínua ƒ em um intervalo 𝑎𝑎 𝑏𝑏 a O valor médio de ƒx c em a b é a área do retângulo dividida por b a b O valor médio de gx em a b é a área abaixo de sua curva dividida por b a Área e estimativa com somas finitas Notação sigma e limites de somas finitas Somas finitas e notação sigma A notação sigma permite expressar uma soma com muitos termos de forma compacta Qualquer letra pode ser usada para indicar o índice mas as letras i j e k são as mais comuns Assim podemos escrever 1² 2² 3² 4² 5² 6² 7² 8² 9² 10² 11² k1 to 11 k² e f1 f2 f3 f100 i1 to 100 fi Prof Anderson Rouver 05 Integração Notação sigma e limites de somas finitas Somas finitas e notação sigma Prof Anderson Rouver 05 Integração Notação sigma e limites de somas finitas Somas de Riemann Começaremos com uma função arbitrária ƒ definida em um intervalo fechado a b Prof Anderson Rouver 05 Integração Notação sigma e limites de somas finitas Somas de Riemann escolhemos n 1 pontos x1 x2 x3 xn1 entre a e b que satisfazem 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛1 𝑏𝑏 Para tornar a notação consistente indicamos a como x0 e b como xn de forma que 𝑎𝑎 𝑥𝑥0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛1 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑏𝑏 O conjunto 𝑃𝑃 𝑥𝑥0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛1 𝑥𝑥𝑛𝑛 é chamado partição de a b Prof Anderson Rouver 05 Integração Notação sigma e limites de somas finitas Somas de Riemann A partição P divide a b em n subintervalos fechados Se todos os n subintervalos tiverem largura igual então a largura x será igual a b an Prof Anderson Rouver 05 Integração Notação sigma e limites de somas finitas Somas de Riemann Os retângulos aproximam a região que fica entre o gráfico da função y ƒx e o eixo x Somas de Riemann Finalmente somamos todos os produtos para obter SP k1n fck Δxk A soma SP é chamada de soma de Riemann para f no intervalo ab Fórmula da soma de Riemann Sn k1n fak ban ban 3 A integral definida Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Definição da integral definida A integral definida Definição da integral definida O símbolo para o número J na definição da integral definida é ab fx dx Os outros componentes do símbolo da integral também têm nomes Limite superior de integração A função é o integrando Sinal de integral x é a variável de integração Limite inferior de integração Integral de f de a até b Quando você encontra o valor da integral calculou a integral Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Definição da integral definida Quando existe o limite nós o escrevemos como a integral definida também escrevemos Se decidirmos usar t ou u em vez de x basta que escrevamos a integral como Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Funções integráveis e não integráveis Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Propriedades das integrais definidas Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Propriedades das integrais definidas Interpretações geométricas das regras 27 na tabela anterior Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Área sob o gráfico de uma função não negativa Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida Valor médio de uma função contínua revista Prof Anderson Rouver 05 Integração A integral definida EXEMPLO Determine o valor médio de 𝑓𝑓𝑥𝑥 4 𝑥𝑥2 em 22 4 Teorema fundamental do cálculo Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema do valor médio para integrais definidas Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema do valor médio para integrais definidas O valor ƒc no Teorema do Valor Médio é em certo sentido a altura média ou média de ƒ em a b Quando ƒ 0 a área do retângulo é a área sob o gráfico de ƒ de a até b Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental parte 1 Se ƒt é uma função integrável em um intervalo finito I então a integral de qualquer número fixo a ϵ I até outro número x ϵ I definirá uma nova função F cujo valor em x será A função Fx definida pela equação acima fornece a área sob o gráfico de ƒ de a até x quando ƒ é não negativa e x a Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental parte 1 Na equação anterior Fx é a área à esquerda de x Além disso Fx h é a área à esquerda de x h A razão incremental Fx h Fxh é desse modo aproximadamente igual a ƒx a altura do retângulo mostrado aqui Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental parte 1 EXEMPLO Use o teorema fundamental para determinar dydx se y x a 5 3t sin t dt Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental parte 2 teorema de cálculo EXEMPLO Calculamos várias integrais definidas usando o teorema de cálculo em vez de considerar os limites de somas de Riemann a 0 a π cos x dx b 0 a π 32 x 4x2 dx Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo Integral de uma taxa Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo EXEMPLO Considere novamente a análise de uma pedra pesada atirada para cima a partir do solo por uma explosão de dinamite A velocidade da pedra em qualquer instante t durante o seu movimento foi dada por 𝑣𝑣𝑡𝑡 160 32𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑠𝑠 a Determine o deslocamento da pedra durante o período de tempo 0 𝑡𝑡 8 b Determine a distância total percorrida durante esse período de tempo Prof Anderson Rouver 05 Integração Teorema fundamental do cálculo EXEMPLO A Figura mostra o gráfico de 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥2 4 e sua imagem de espelho 𝑔𝑔𝑥𝑥 4 𝑥𝑥2 refletida no eixo 𝑥𝑥 Para cada função calcule a integral definida no intervalo 22 5 Integrais indefinidas e regra da substituição Prof Anderson Rouver 05 Integração Integrais indefinidas e regra da substituição Substituição uso inverso da regra da cadeia Se u é uma função derivável de x e n é qualquer número diferente de 1 a regra da cadeia nos diz que 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑛𝑛1 𝑛𝑛 1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 Substituição uso inverso da regra da cadeia Sob outro ponto de vista essa mesma equação diz que uⁿ₁n 1 é uma das primitivas da função uⁿdudx Portanto uⁿ dudx dx uⁿ₁n 1 C A integral na equação 1 é igual à integral mais simples uⁿ du uⁿ₁n 1 C Tal como acontece com diferenciais ao calcular integrais temos du dudx dx EXEMPLO Determine 2x 1 dx Prof Anderson Rouver 05 Integração Integrais indefinidas e regra da substituição Substituição uso inverso da regra da cadeia Integrais indefinidas e regra da substituição EXEMPLO Determine x² ex³ dx Integrais indefinidas e regra da substituição EXEMPLO Determine 2z ³z² 1 dz 6 Substituição e área entre curvas Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Fórmula de substituição Substituição e área entre curvas EXEMPLO Calcule from 1 to 1 of 3x2x31 dx Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Áreas entre curvas Região entre as curvas y ƒx e y gx e as retas x a e x b Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Áreas entre curvas Área Ak do késimo retângulo é o produto de sua altura ƒck gck e de sua largura xk Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Áreas entre curvas Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Áreas entre curvas Determine a área da região compreendida acima da curva 𝑑𝑑 2𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑥𝑥 abaixo da curva 𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑥𝑥2 à esquerda por 𝑥𝑥 0 e à direita por 𝑥𝑥 1 Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas Integração em relação a y Para regiões como estas use a fórmula Prof Anderson Rouver 05 Integração Substituição e área entre curvas EXEMPLO Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada acima por 𝑑𝑑 𝑥𝑥 e abaixo pelo eixo 𝑥𝑥 e pela reta 𝑑𝑑 𝑥𝑥 2 Prof Anderson Rouver 05 Integração REFERÊNCIAS Cálculo volume 1 George B Thomas 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 60 2013 Pearson Todos os direitos reservados