Integrais-Calculo de Areas e Volumes-Soma de Riemann

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Apucarana Curso de Engenharia Integrais Introdução O que são integrais Para que servem Posição natural Força deve ser exercida para mover o bloco Calcular Áreas e Volumes Método da Exaustão de Arquimedes n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 10 O que acontece se n vai para infinito Soma de Riemann fx x34 1 Soma Inferior de Riemann n2 Altura mínimo fx x34 1 Área bh b 302 15 h1 f0 034 1 1 A1 151 15 h2 f15 1534 1 184375 A2 15 184375 27656 SA2 15 27656 4265625 ua Soma Inferior de Riemann n2 Função 025x3 1 a0 b3 n2 x1 0 Δix 302 15 xi1 xi Δix Σ i1 a 2 fxi Δix Σ i1 a 2 025 x3 1 xxi 15 427 Mostrar soma esquerda Mostrar soma superior Mostrar soma inferior 03 025 x3 1 dx 427 Altura mínimo fx 025x³ 1 Intervalo a 0 Intervalo b 3 Soma Superior Soma Inferior Área Verdadeira Mostrar Área a ser calculada Show integral Área Verdadeira 80625 unidade² Soma Inferior 42656 unidade² Area ₀³ 025 x³ 1 dx 80625 Soma Superior de Riemann n2 Altura máximo fx x³4 1 A₁ Bh B b an 3 02 15 h₁ f15 15³4 1 184375 A₁ 15 x 184375 2765625 h₂ f3 3³4 1 775 A₂ 15 x 775 11625 Ss₂ A₁ A₂ 2765625 11625 14390625 Soma Superior de Riemann n2 Função 025x³ 1 n 2 a 0 b 3 n 2 x₁ 0 Δᵢx 3 02 15 xᵢ₁ xᵢ Δᵢx ᵢ₁² fxᵢ Δᵢx ᵢ₁² 025 x³ 1 xxi 15 1439 Mostrar soma esquerda Mostrar soma superior ₀³ 025 x³ 1 dx 1439 Mostrar soma inferior Altura máximo fx 025x3 1 Soma Superior Soma Inferior Área Verdadeira Mostrar Área a ser calculada Show integral Intervalo a 0 Intervalo b 3 n 2 Soma Superior 143906 unidade2 Área Verdadeira 80625 unidade2 Area 03 025 x3 1 dx 80625 a b fx 025x3 1 Soma Superior Soma Inferior Área Verdadeira Mostrar Área a ser calculada Show integral Intervalo a 0 Intervalo b 3 n 2 Soma Superior 143906 unidade2 Área Verdadeira 80625 unidade2 Soma Inferior 42656 unidade2 Area 03 025 x3 1 dx 80625 Agora vejamos no Geogebra Integrais Simbologia fx x34 1 A ab fx dx a b Definição de Integral ab fx dx limn Σi1n Δx fxi em que Δx ban e xi a Δx i PRIMITIVA ANTIDERIVADA Dado a função fx temos que a função Fx será a primitiva de fx em um intervalo I se Fx fx para todo x I Ex fx x3 fx 2x fx 2x Fx x2 C fx Teorema Fundamental do cálculo Parte 1 Teorema Fundamental do cálculo Parte 2 Integral Indefinida 3x2 dx Seja a R uma constante Função Derivada y a y 0 y x y 1 y ax y a y xa y axa1 y ax y lna ax y ex y ex y logax y 1 x lna y lnx y 1x y senx y cosx y cosx y senx 0 dx c 1 dx x c a dx ax c dx 3 dx Função y a y x y ax y xᵃ y aˣ y eˣ Derivada y 0 y 1 y a y axᵃ¹ y lna aˣ y eˣ xᵃ dx xᵃ¹ a 1 c x⁵ dx 1 x³ dx x x dx Função y a y x y ax y xᵃ y aˣ y eˣ Derivada y 0 y 1 y a y axᵃ¹ y lna aˣ y eˣ aˣ dx aˣ lna c eˣ dx eˣ c 2ˣ dx eˣ dx Função y a y x y ax y xᵃ y aˣ y eˣ Derivada y 0 y 1 y a y axᵃ¹ y lna aˣ y eˣ a ℝ 1x dx ln x c x¹ dx y ln x y 1x y sen x y cos x y cos x y sen x y tg x y sec² x y sec x y tg x sec x y cossec x y cotg x cossec x y cotg x y cossec² x a ℝ sen x dx cos x c cos x dx sen x c y ln x y 1x y sen x y cos x y cos x y sen x y tg x y sec² x y sec x y tg x sec x y cossec x y cotg x cossec x y cotg x y cossec² x sen x cos x sen x cos x Sentido horário Derivada Sentido anti horário Integral a ℝ sec² x dx tg x c cossec x cotg x dx cossec x c sec x tg x dx sec x c cossec² x dx cotg x c y ln x y 1x y sen x y cos x y cos x y sen x y tg x y sec² x y sec x y tg x sec x y cossec x y cotg x cossec x y cotg x y cossec² x Integral Definida Teorema Fundamental do cálculo Parte 2 Exemplos ₁² x⁴ dx ₀¹ eˣ dx ᵃᵇ fx dx Fb Fa Propriedades da Integral fx gx dx fx dx gx dx fx gx dx fx dx gx dx afx dx a fx dx Exemplos ₀² 3x² 5eˣ dx ₀ᵖᶦ senx dx ₁² 1 x⁵ x² dx 2 Calcule as integrais definidas em cada caso abaixo a 10 5x 1 dx b 19 2x dx c 12 x2 x 3 dx d 23 3x2 2x 3 dx e 01 x3 2x2 1 dx f 23 3 1x2 dx g 14 x 2x dx h 14 t1t dt 1 Calcule as integrais indefinidas analiticamente em cada caso abaixo a 2 dx b dw c π dx d 3 cosx dx e ex cosx dx f ey dy g x2 x3 dx h 3x2 4x3 dx i x 3 dx j 5 x2 x3 dx k 2x dx l 3x dx m 2x dx n 5x ex dx o x2 3x 1x dx