Integrais

11 Calcule 12xy2z3 dV na caixa retangular R xyz R3 1 x 20 y 30 z 2 R 648 1g a ₀¹ ₀ ¹2 y ex³ dx dy região R no Plano xy 0 y 2 y2 x 1 R xy 0 x 1 0 y 2x Para trocar a ordem notamos que para cada x fica entre 0 e 1 y varia de 0 até y 2x ₀¹ ₀ 2x y ex³ dx dy ₀¹ ₀ 2x y ex³ dy dx ₀ 2x y ex³ dy ex³ ₀ 2x y dy ex³ y²202x ex³ 2x²2 2x² ex³ ₀¹ 2x² ex³ dx u x³ du 3x² dx ₂₃¹ eu du 23 eu01 23e1 Integrais Duplas 1 Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração a ₀² y1 ex e13 dx dy R 23 e11 b ₀² x2 x dx dy R 56 c ₀1 0x x2y dy dx R 920 d ₀¹ ₀1x2y dy dx R 310 e ₀³ 20 x² y 2xy dy dx R 0 f ₁ln8 ₀ⁿ exy dx dy R 8 ln 8 16 e 2 Dada a integral dupla I fxy dy dx ₀3 ₀x fxy dy dx 35 ₀9 x² fxy dy dx a Esboce a região D b Expresse a soma das integrais do segundo membro da igualdade como uma única integral na qual a ordem de integração esteja invertida R I ₀3 y3 fxy dx dy c Calcule a integral dupla I para a função fxy ex² y² R 87 e³1 3 Encontre a área da região descrita como sendo a parte do cone z x² y² dentro do cilindro x² y² 2x R 223 4 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares R ex² y² dx dy onde R é o conjunto de todos os xy tais que 1 x² y² 4 x y x e x 0 R 72 e1 5 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado delimitado pelo paraboloide z 9 x² y² e pelo plano z 5 R 28π 6 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares R x² 2y dx dy onde R é o círculo x² y² 4 R 4π 7 Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja A π43π4 cosec θ2 sin θ r dr dθ Esboce a região e encontre sua área R π2 8 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares R x² x² y² dA onde R é a região anular limitada por x² y² a² e x² y² b² 0 a b R π2 b² a² 9 Uma região R é mostrada na figura abaixo Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva R fxy dA como uma integral iterada onde f é uma função qualquer contínua em R R π2π6 36 fr cosθ r sinθ r dr dθ Integrais Triplas 10 Calcule a integral iterada a ₀¹ ₀2 ₀3 x dz dy dx R 3 b ₀¹ ₀x ₀5 y x y z dz dy dx R 72 c ₀1 12e ₀3 y ln z tan x dz dz dy R eln 22 d ₀5 ₀3 ₀³ x dx dy dz R 3 11 Calcule 12xy2 z3 dV na caixa retangular R xyz R3 1 x 2 0 y 3 0 z 2 R 648 12 Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico y² z² 1 pelos planos y x e x 0 Calcule Q z dV R 18 13 Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x² y² 9 e entre os planos z 1 e x z 5 R 36π 14 Reescreva a integral ₀4 ₀4 y2 ₀12 3x 6y dz dy dz na ordem dydzdz R ₀3 ₀12 4x ₀12 3x 4y dydxdz 15 Calcule o volume acima do cone z² x² y² e dentro da esfera x² y² z² z R π8 16 Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas a 22 4 y²4 y² 0x² y² dV R 0 b W dV onde W é o sólido limitado por z 1 x² y² e z 1 x² y² R π c S xy dV onde S x² y² 10 z 1 R 0 d S x² y² dV onde S é a metade do cone circular reto de vértice 00h e base x² y² a² compreendido no lado direito do plano y 0 R ah²60 17 Calcule as integrais utilizando coordenadas esféricas a B z dV onde B é o conjunto z x² y² x² y² z² 1 R π8 b B x² y² z²2 dV onde B é a bola centrada na origem de raio 5 R 312000π7 c E z dV onde E está entre as esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 4 no primeiro octante R 15π16 d W x² dV onde W é limitado pelo plano xy e pelos hemisférios y 9 x² z² e y 16 x² z² R 1562π15 18 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x² y² 25 pelo plano x y z 8 e pelo plano xy R 500 10π 19 Determine o volume do sólido limitado por x² y² z² a² x² y² z² b² e x² x² y² tal que z 0 e 0 a b R π3 2 2b³ a³ 20 Se S é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w fxyz então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definidos por Ix S y² z² fxyz dz dy dz Iy S x² z² fxyz dz dy dz e Iz S x² y² fxyz dz dy dz Determine o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura h e raio R se a densidade em um ponto xyz do cilindro é fxyz x² y² R 2π h R5 3 21 Fazse um orifício circular em uma esfera o eixo do orifício coincidindo com o eixo da esfera O volume do sólido Ω resultante vem dado por VolΩ 2 ₀2π ₀3 ₀4 r² r dr dz dθ Por observação da integral determine o raio do orifício e o raio da esfera Calcule VolΩ R r 1 R 2 e VolΩ 4π3 b dx dy vamos fazer em função de x ₁² x ₁ʸ² dy ₁² y² y dy y³3 y²2 ₂¹ 2³3 2²2 1³3 1²2 83 42 13 12 16 12 2 3 6 56 c x 2y dy dx ₀¹ ₀ˣ² x 2y dy dx ₀¹ xy y²₀ˣ² dx ₀¹ x x² x²² x0 0² dx ₀¹ x³ x⁴ dy x⁴4 x⁵5₀¹ 14 15 920 D x² y 2xy dy dx π xy 0 x 3 2 y 0 Para cada um retângulo não precisa mudar a ordem de integração ₀³ ²⁰ x² y 2xy dy dx x² ²⁰ y dy 2x ²⁰ y dy 0 2² 2 2 ²⁰ x² y 2xy dy x² 2 2x 2 2x² 4x ₀³ 2x² 4x dx 2x³3 2x²₀³ 2273 29 0 18 18 0 e ₁ⁿy ₀𝓵ⁿʸ exy dx dy ₁ⁿy ey ₀𝓵ⁿʸ ex dx ey ex₀𝓵ⁿʸ ey eln y 1 ey y 1 ₁ⁿy ey y 1 dy ₁ⁿy y ey ey dy u y du ey dy y ey dy y ey ey ey y ey 2 ey y ey 2 ey₁ⁿy ln 8 8 2 e ln 8 1 e¹ 2 e¹ 8 ln 8 16 e 2 a D D1 U D2 D1 032 0y fxy dx dy 0 y x 0 x 32 D2 323 03 x2 fxy dy dx 0 y 3 x2 32 x 3 D D1 U D2 b 0 y 32 y x 3 y2 𝛺 032 y32 fxy dy dx 323 03 x2 fxy dy dx 032 03 y2 fxy dx dy c coordenadas polares x rcos𝜽 y rsin𝜽 r2 y2 r2 r r 0 𝜽 π4 0 r 3 𝛺 03 0π4 er2 r dr d𝜽 Teorema de Fubini 03 0π4 er2 d𝜽 dr 03 er2 dr 0π4 er2 d𝜽 𝜇 r2 d𝜇 2r dr eμ2 dμ2 π4 eμ2 203 π4 e32 e02 π8 e3 1 3 cone z x2 y2 dentro do cilindro y2 x2 2x S 1 zx2 zy2 dA coordenadas polares x rcos𝜽 y rsin𝜽 z r y2 x2 2x r2 2rcos𝜽 r 2cos𝜽 0 r 2cos𝜽 π2 𝜽 π2 δr𝜽 rcos𝜽 rsin𝜽 r δr cos𝜽 sin𝜽 1 δ𝜽 rsin𝜽 rcos𝜽 0 δr x δ𝜽 rcos𝜽2 rsin𝜽2 r22 r2 S π2π2 02cos𝜽 r2 dr d𝜽 2 π2π2 r2 202cos𝜽 d𝜽 2 π2π2 2cos2 𝜽 d𝜽 π2π2 cos2 𝜽 d𝜽 π2 S 2 2 π2 S π2 4 ex2 y2 en xy que 1 x2 y2 4 x y x x 0 coordenadas polares x ncosθ y nsinθ x2 y2 n2cos2θ n2sin2θ e en2 en2 1 n 2 0 θ π4 0π4 12 en2 ndoθ 0π4 12 en212 dθ 0π4 12 e4 12 e1 dθ 12 e4 e 0π4 dθ 12 e4 e θ0π4 12 e4 e π4 0 π8 e4 1 5 z q x2 y2 z s V zsurf zinf dA nrθ dA n dn dθ 0 n 2 0 θ 2π D1 z q n2 z s V 02π 02 q n2 s n dn dθ V 02π 02 4 n2 n dn dθ 02 4 n2 n dn 02 4n n3 dn 2n2 n4402 24 164 4 V 02π 4 dθ v 4 02π dθ V 4 θ02π V 4 2π 0 V 8π 6 x2 2y dx dy x2 y2 4 coordenadas polares x ncosθ y nsinθ dx dy n dn dθ 0 n 2 0 θ 2π x2 2y n2 cos2 θ 2n sin θ 02π 02 n2 cos2 θ 2n sin θ n dn dθ 02π 02 n3 cos2 θ 2n2 sin θ dn dθ 02 n3 dn 244 4 02 2n2 dn 2 233 163 02π 4 cos2 θ 163 sin θ dθ 02π 4 cos2 θ dθ 4 02π 1 cos2θ2 dθ 2 θ sin2θ2 02π 4π 02π 163 sin θ dθ 163 cos θ02π 0 π 4π 7 y z 3π4 n 2n sin θ θ π4 n cos θ 1 1 1 1 2π π43π4 cossecθ 2n sinθ n dn dθ π43π4 12 n2 cos secθ dθ 12 π43π4 4 sin2θ csc sec2θ dθ 1 sen²x 1 cos²x cos²x 12 cos2θ2 sen²θ 1 12 cos2θ2 12 cos2θ2 12 π43π4 412 cos2θ2 cos²θ dθ 12 2θ sin2θ cos²θ from π4 to 34 π π2 4 fxy x²x² y² x ncosθ y nsenθ fnθ ncosθ² ncosθ² nsenθ² fnθ n²cos²θn²cos²θ n²sen²θ cos²θ sen²θ 1 fnθ n²cos²θn² fnθ cos²θ r² y² a² r²x² y² b² 0 a b 02πa ab cos²θ n dn dθ 02πa ab ncos²θ dndθ tredeal ab ncos²θ dn b²2 cos²θ a²2 cos²θ ab ncos²θ dn cos²θ b²2 a²2 02π cos²θ b²2 a²2 dθ 12 θ sen2θ2 b²2 a²2 02π cos²θ b2 a2 dθ 14 θ sen22π2 b² a² 14 2π sen22π2 b² a² 141 cos2 b² a² 14 2π b² a² sqrtπ2 b² a² 9 x ncosθ y nsenθ 0 θ π4 0 n nsenπ4 fncosθ nsenθ n d θ 0 0 π4 7 π 11 0 ncos0 cosθ π4 0 fncosθ nsenθ n dθ dθ b α 01 0y 0x xr dz dy dx 1 3 x dz x 03 dz 3x 0 0 0 3x dy 3y 02 dy 6x 01 6x dx 6 01 k dx 6 x²2 01 3 b 01 0x 0xy xyz dz dy dx 01 0x xyz dz 01 xy dz 01 3 dz xy xy xy²2 32 x1² j 01 02 32 xy dy dx tredeal Parte 2 π4 θ π 0 n 1 2nsenθ cosθ 0 π fncosθ nsenθ n d d θ 0 π4 π4 0 0 b c α 01 03 03 r dz dy dx 0 0 0 3 3 3 7 xz dz x 0z dz 3x 0 0 3x dy 3y 02 dy 6x 01 6x dx 6 01 k dx 6 x²2 01 3 b 01 0x 0xy xyz dz dy dx 01 0x xyz dz 01 xy dz 01 3 dz xyxy xy²2 32 x1² j 01 02 32 xy dy dx tredeal x y2 dy dx x y2 dy l2 dt t33x2x 8x33 x33 7x33 32 7x33 dx 72 x3 dy 73 x4401 72 14 78 c 4ln 3fg x dx dg dy fg x dg ln cos d0pi3 lncos pi3 lncos 0 ln12 ln1 ln 2 ln 3 dg 3 ln 3 3e2e 2e ln2e 2e e ln e e 2e ln 2 1 2e ee 2 e n 2 4 dy 12 y2 10 0 12 1 12 f 12 2 e ln 2 ln 3 e ln 22 d r dz dy dx 3x dy 3x dz 3x 3 x dy 3x 02 dy 3x 2 6x 6x dx 6 12 x20pi2 6 12 pi22 3 pi4 11 12 x y2 z3 dv Ω xyz R3 1 x 2 0 y 3 0 z 2 12 12 x dx 03 y2 dy 02 z3 dz 12 x dx x22 12 2 12 32 03 y2 dy y33 03 273 9 02 z3 dz z44 02 164 4 12 32 9 4 648 12 y2 z2 1 y x x 0 z dv 0 x y z dx dy dz 21 0sqrt1 z2 3 dx dy dz 3 dx 3 x0y 3 y 3 y dy dz 01 3 y dy 3 y220sqrt1 z2 3 2 1 z2 01 32 1 z2 dz 12 01 3 3 z2 dz 12 3 z z301 12 3 1 1 13 x² y² 9 planos z 1 x z 5 z 5 x coordenadas cilindricas x r cos θ y r sen θ z z 0 r 3 0 θ 2π dV v dz dr dθ 0 0 1 s r cos θ ndz v s r cos θ 1 v 4 r cos θ 1 0 0 0 V v 4 r cos θ dr dθ 0 0 0 0 V 4r ndθ r² cos θ d r dθ 0 0 0 0 1º 4r dr 2π 2r³ 2π 2 9 36π 0 3 0 0 2º cos θ dθ 0 0 2π 14 E x y z 0 x 4 0 y 4 x2 0 z 12 3x 6y4 0 y 4 x2 3 solucionalog 0 z 12 3x 6y4 0 y 4 x2 4 12 3x 6y y0 3 12 3x4 credeal Da desigualdad z 12 3x4 4y 12 3x 3x 12 4y x 12 4y3 0 x 4 0 z 3 0 x 12 4z3 Para un par xy 4z 12 3x 6y 6y 12 3x 4y 4 12 3x 4y6 como y 0 el y 4 x2 12 3x 4y6 12 3x6 4 x2 0 y 12 3x 4y6 3 12 4y 12 3x 4y dy dx dz 0 0 0 15 V₁ dV dV ρ dρ dφ dz ρ x² y² 0 z 12 0 φ 2π V₁ ρ dρ dφ dz 0 0 0 credeal z x² y² z ρ 0 ρ 3 pdρ dφ dz 0 0 0 3 12 ρ² dρ 12 z² 0 0 0 2π 12 z² dφ dz 0 2π dφ 12 3² dφ 12 z² 2π 0 π 3² V₁ π r² dz 0 12 V₁ 13 π 3³ 13 π 12 π24 V₂ 12 43 π ³ V₂ π3 Vt V₁ V₂ Vt π24 π3 3π24 3 π8 16 a dV coordenadas cilindricas x r cos θ y r sen θ z z credeal Resolução no plano xy é o disco r 2 θ 0 2π 02π 02 0r r ndz dr dθ 02π 02 r ndz r 2 r 02 r 2 r dr 02 2r r2 dr r2 r3302 4 83 43 02π 43 dθ 43 2π 8π3 b W dV w z 1x2 y2 z1 x2 y2 x r cosθ y r senθ dV r dz dr dθ 1r2 0 e r 1 0 para 0 r 1 r 1 V 02π 01 r11r2 r dz dr dθ V 02π 01 r 1r2 r1 dr dθ 2π 01 r 1r2 r1 dr I1 I2 I1 01 r 1r2 dr I2 01 r2 r dr I1 u 1 r2 du 2r dr I1 12 01 u12 du 12 01 u12 du 12 23 13 I2 r3 3 r2 201 13 12 16 V 2π I1 I2 2π 13 16 2π 12 π c s xy dV s x2 y2 1 0 z 1 coordenadas cilíndricas x r cosθ y r senθ z 3 0 r 1 0 θ 2π 0 z 1 dV r dr dθ dz s r2 cosθ senθ r dz dr dθ 02π 01 01 r3 cosθ senθ dz dr dθ 01 r3 dr 02π cosθ senθ dθ 14 0 pela simetria 0 d s 3 z2 r2 dV x r cosθ y r senθ dV r dr dθ dz r ah h z 0 z h 0 r ah h z 02π 0h 0ah hz 3 r2 dr dz dθ 02π 0h r2 dr 13 ah h z3 02π dθ a3 3 h3 0h 3 h z3 dz 02π a3 3 h3 h4 4 a3 h2 60 π a3 h2 60 17 a B z dx dy dz z x2 y2 coordenadas esféricas x p sen φ cos θ y p sen φ sen θ z p cos φ Jacobiano dxdydz p2 senφ dp dφ dθ 0 p 1 0 θ 2π 0 φ π4 02π 0π4 01 p cos φ p2 sen φ dp dφ dθ 0π4 0π 01 eαβ cos mθ dθ ρ3 dρ 0π dθ 2π 01 ρ3 dρ 14 0π4 sin2θ dθ u 2θ du 2dθ θ 0 u 0 θ π4 u π2 14 0π2 u lnu du 14 cos π2 cos0 14 c 1 14 Π 2π 14 14 π8 b x2 y2 z22 dV x ρ sinφ cosθ y ρ sinφ sinθ z ρ cosφ dV ρ2 sinφ dρ dφ dθ ρ2 x2 y2 z2 0 ρ 5 0 θ 2π 0 φ π dV ρ sinφ dρ dφ dθ 0π 02π 05 ρ22 ρ2 sinφ dρ dφ dθ 0π sinφ dφ 02π dθ 05 ρ6 dρ cosφ0π θ02π ρ7 705 cos π cos0 2π 0 57 0 7 312000 π 7 14024917 c 3 dV x ρ sinφ cosθ y ρ sinφ sinθ z ρ cosφ dV ρ2 sinφ dρ dφ dθ ρ2 x2 y2 z2 1 ρ 2 0 θ π2 0 φ π2 0π2 0π2 12 ρ3 cosφ sinθ dρ dθ dφ 0π2 0π2 12 cos d sinφ dφ dθ ρ3 dρ u sinφ du cos dφ 01 u du u2 2 01 12 0π2 dθ θ0π2 π2 12 ρ3 dρ ρ4 412 154 12 π2 154 15 π16 d x2 dV y 9x2 z2 y 6ρ2 z2 x ρ sinφ cosθ y ρ sinφ sinθ z ρ cosφ dV ρ sinφ dρ dφ dθ 3 ρ 4 0 θ π 0 ɸ π ₀ᴨ ₀ᴨ ₃⁴ ρ² sin² ɸ cos² ɸ ρ² sin ɸ dρ dθ dɸ ₀ᴨ cos² θ dθ ₀ᴨ sin³ ɸ dɸ ₃⁴ ρ⁴ dρ ₀ᴨ cos² θ dθ ₀ᴨ cos2θ 12 dθ 12 12 sin2θ θ ₀ᴨ π2 ₀ᴨ sin³ ɸ dɸ ₀ᴨ sin² ɸ sin θ dθ ₀ᴨ 1cos² ɸ sin ɸ dɸ ₁¹ 13z²dz 3 13 z³₁¹ 43 ₃⁴ ρ⁴ dρ ρ⁵5 ₃⁴ 7815 π2 43 7815 1562π15 19 D xy x² y² 25 z 8 x y 8 x y 8 x² y² 8 5 0 8 x y z 0 V 8 x y dΔ 0 r 5 0 θ 2π V ₀²ᴨ ₀⁵ 8r r² cos θ sin θ dr dθ V ₀²ᴨ ₀⁵ 8r dr dθ 8 ₀²ᴨ r²2₀⁵ dθ 8 ₀²ᴨ 252 dθ 2x 0 ₀²ᴨ 25π V 25π ₀²ᴨ dθ 2π ₐᵇ ρ² dρ ρ³3 ab b³ a³ 3 ₀ᴨ₄ sin ɸ dɸ cos ɸ ₀ᴨ₄ 1 cos π4 1 22 2 22 V 2π b³ a³ 3 2 2 2 π3 2 2 b³ a³ 20 fxyz x² y² ₛ x² y²¹² fxyz dr dɸ dz coordinate cylindrical x rcos θ y rsin θ z z 0 r π 0 θ 2π 0 z h ₀ᵌ ₀²ᴨ ₀ᴨ r⁴ dɸ dθ dz ₀ᵌ π⁵5 π⁵5 ₀ᵌ dz ₀²ᴨ dθ ₀ᴨ r 4 dr ₀ᵌ 2πh π⁵5 ₀ᵌ 2π h π⁵5 2π 3 432 1 0 0 1 v 2 n c dθ cric da eshera é 2 e e cilindro 1 2π 3 432 v 2 n chd3 do 0 0 1 2 π 3 432 V n²2 1 c c d3 dθ v 3 32 d3 do 0 0 v 2π 3 0 3 323 dθ v 2 3 2 π 0 dθ v 2 3 θ₀²π v 4 π 3