Integral Cálculo 1

Lista de Exercícios Integrais 01 Determine a primitiva para cada função Verifique suas respostas derivando a fx 6x b fx x4 2x 3 c fx 12x3 d fx sqrtx 1sqrtx e fx 13x23 f fx πsenπx g fx 23sec22π3 x h fx secπx2 tgπx2 02 Calcule as integrais Verifique suas respostas diferenciando a x1 dx b ex 4x dx c sqrtx cbrtx dx d 2sqrt1y2 1y14 dy e y sqrtt sqrttt2 dt f 7senθ3 dθ g 1 tg2 θ dθ h cosθtgθ secθ dθ i cosecθcosecθ senθ dθ 03 Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique sua resposta a xsenx dx x22 senx C b xsenx dx xcosx C c xsenx dx xcosx senx C 4 Calcule as integrais indefinidas a x3 dx b 2x 3x2 dx c x23 2x 1 dx d 3sqrtx2 dx e 1x3 dx f x2 x 1sqrtx dx g x 13x 2 dx h y2 sqrty dy i x22 3ex dx j 1 2t3t3 dt 5 Calcule as integrais indefinidas a 2senx 3cos x dx b 1 cossect cotgt dt c sec2 θ senθ dθ d tg2 y 1 dy e senxcos2 x dx f dycossec y 6 Suponha fx uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função Fx tal que y Fx satisfaça a equação dydx fx As soluções desta equação são as antiderivadas de fx A equação dydx fx é chamada de equação diferencial Resolva a equação diferencial abaixo a dydx x 1sqrtx y1 2 b dydt sec2 t sent yπ4 1 7 Determine a curva y fx no plano xy que passa pelo ponto 9 4 e cujo coeficiente angular em cada ponto é 3 sqrtx 8 Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial a 64 metros por segundo de uma altura inicial de 80 metros a Encontre a função posição escrevendo a altura s em função do tempo t b Quando a bola atinge o chão 9 Na Lua a aceleração da gravidade é 16 ms2 Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois Quão fundo ela caiu Qual era a velocidade no instante do impacto 10 A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da solução da equação v dv GM 1y2 dy onde v é a velocidade do objeto lançado da Terra y é a distância ao centro da Terra G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra Mostre que v e y estão relacionados pela equação v2 v02 2GM1y 1R onde v0 é a velocidade inicial do objeto e R é o raio da Terra Sugestão use o fato que se y R então v v0 11 O fabricante de um automóvel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25 quilômetros por hora para 80 quilômetros por hora Supondo aceleração constante calcule a A aceleração em metros por segundo ao quadrado b A distância que o carro percorre durante 13 segundos 12 Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas a xsen2x2 dx u 2x2 b 287x 25 dx u 7x 2 c θ2 dxsqrt1 r3 u 1 r3 d sqrtx sen2x32 1 dx u x32 1 e cosec22θ cotg2θ dθ i use u cotg2θ ii use u cosec2θ 13 Calcule as integrais fazendo a substituição adequada a e2x dx b x2x23 dx c cos8x dx d x2 e2x3 dx e x2 sec2x3 dx f dxex g evysqrty dy h sen23x cos3x dx 14 Calcule as integrais a sqrt3 2s ds b θ4 sqrt1 θ2 dθ c 1sqrtx1sqrtx2 dx d r2 r318 15 dr e 4dtt1 ln2 t f sen2t1cos22t1 dt 15 Se você não souber qual substituição deve fazer tente reduzir a integral passo a passo usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais Experimente fazer as substituições a seguir e depois tente sozinho a 18tg2x sec2x2 tg3x dx i u tgx seguida por v u3 e depois por w 2 v ii u tg3x seguida por v 2 u iii u 2 tg3x b 2r 1 cossqrt32r 12 6sqrt32r 12 6 dr c sen sqrtθθ cos3 sqrtθ dθ 16 Que valores de a e b maximizam o valor de ab x x2 dx 17 Calcule as integrais a 01 x2 sqrtx dx b π43π4 cosecθ cotgθ dθ c 01 xex2 dx 18 Determine as derivadas calculando a integral e diferenciando o resultado e depois diferenciando a integral diretamente a ddx 0sqrtx cost dt b ddx 1s e n x 3t2 dt 19 Determine dydx a y 0x sqrt1 t2 dt b y 0sqrtx sent2 dt c y 1x13 et3 1 dt 20 Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral a 01 1 2x3 dx b 0π sen21 θ2 dθ c 0π sen2π4 cosπ4 dx 21 Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário a 14 x dx b 02 1 x2 dx c 07 2 dx d 12 2x 3 dx e 02 sqrt4 x2 dx f 01 x 2 sqrt1 x2 dx 22 Ache a área sob a curva y fx no intervalo dado a fx x3 23 b fx x 19 c fx ex 13 23 Determine a área das regiões sombreadas a b c d 24 Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo a from 3 to 0 x2 4x 7 dx b from 1 to 3 1x2 dx c from 4 to 9 2xx dx d from π2 to π2 senθ dθ e from π4 to π4 cos x dx f from ln 2 to 3 5ex dx g from 1 to 4 3t 5t t32 dt h from π to x x 2sen2 x dx 25 Use a fórmula da substituição para calcular as integrais a from π4 to 0 tgx sec2 x dx b from 0 to π 3 cos2 x sen x dx c from 0 to 7 tt2 113 dt d from 0 to 3 4xx21 dx e from 3 to 3 4xx21 dx f from ln π6 to π6 2ev cosev dv 26 Esboce o gráfico da função no intervalo dado Depois integre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o gráfico e o eixo x a y x2 6x 8 03 b y 2x x2 03 27 Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas a y x2 2 e y 2 b y x2 e y x2 4x c y x4 4x2 4 e y x2 d y 2senx e y sen 2x 0 x π 28 Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y x e x 2 a curva y 1x2 e o eixo x 29 Determine a área da região entre a curva y 3 x2 e a reta y 1 30 Ache a área total entre a curva y x2 3x 10 e o eixo x no intervalo 38 Faça um esboço da região 31 Calcule a integral definida a from 0 to 1 2x 14 dx b from 0 to 8 x1 x dx c from 0 to π2 4 senx2 dx d from 3π4 to π4 sen x cos x dx e from 0 to 1 dx3x 1 f from 0 to 1 y24 3y dy g from 0 to e dxx e 32 Esboce a região entre as curvas no intervalo dado e calcule a sua área a y x2 y x x 14 x 1 b y cos 2x y 0 x π4 x π2 c x sen y x 0 y π4 y 3π4 d y 2 x 1 y 15 x 7 e y x y 4x y x 2 f y sen x y cos 2x x π6 y π6 33 A superfície de uma parte de uma máquina é a região entre os gráficos das funções y1 x e y2 0 08x2 k conforme a figura abaixo a Determine o valor de k se a parábola é tangente ao gráfico de y1 b Determine a área da superfície desta parte da máquina 34 Calcule a integral usando a integração por partes a x cos 5x dx b ln2x 1 dx c arctg 4t dt d sen1 x dx e e2θ sen 3θ dθ f from 0 to π t sen t dt g from 0 to 12 cos1 x dx 35 Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade vt t2 e1 Até onde irá a partícula no tempo t 0 a t 5 36 O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma from πw to πw t senkωt dt onde k é um inteiro e w é uma constante não nula Calcule a integral 37 Calcule a integral a cos3 2x dx b sen2 2t cos3 2t dt c sen x cos 2x dx d from 0 to π6 sen 2x cos 4x dx e sec 2x dx f tg2 x sec2 x dx g from 0 to π6 tg2 2x dx 38 A integral x x2 4 dx pode ser calculada ou por substituição trigonométrica ou pela substituição u x2 4 Calculea das duas maneiras e mostre que os resultados são equivalentes 39 Use frações parciais para achar a integral a 1x2 1 dx b 3x2 x 2 dx c 5 x 2x2 2x 1 dx d x2 12x 12 x3 4x dx e 2x3 4x2 15x 5 x2 2x 8 dx 40 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas Esboce a região a y 1x x 1 x 2 y 0 em torno do eixo x b x 2y x 0 y 9 em torno do eixo y c y x3 y x x 0 em torno do eixo x d y x y x em torno de y 1 e y x2 x y2 em torno de x 1 41 Cada integral representa o volume de um sólido Descreva o sólido a π ₀π2 cos²x dx b π ₀¹ y⁴ y⁸ dy ① a fx 6x Fx 6 x dx 6 x²2 c 3x² c fx dFdx 3 ddx x² ddx c 32x 0 6x ① b fx x⁴ 2x 3 Fx x⁴ dx 2 x dx 3 dx Fx x³3 2 x²2 3x C x³3 x² 3x C fx dFdx 13 ddx x³ ddx x² 3 ddx x ddx c fx 13 3 x⁴ 2x 31 0 fx x⁴ 2x 3 ① c Fx 12 x³ dx 12 x²2 c 14 x² C fx dFdx 14 ddx x² ddx c 14 2 x³ 0 fx 12 x³ 12 x³ ① d Fx x dx 1x dx Fx x¹² dx x¹² dx x³232 x¹212 C Fx 23 x³2 2x¹2 C fx dFdx 23 ddx x³2 2 ddx x¹2 ddx c fx 23 32 x¹2 2 12 x¹2 0 x¹2 x¹2 0 fx x 1x ① e Fx 13 x²3 dx 13 x¹313 C x¹3 C fx ddx x¹3 ddx c 13 x²3 0 fx 13 x²3 Fx π senπx dx π 1π senu du Substituição u πx dx 1π du senu du cosu C cosπx C Fx cosπx C fx ddx cosπx ddx c senπx ddx πx 0 fx senπx π π senπx Fx 23 sec²x3 dx 23 3 sec²u du Substituição u x3 dx 3 du 2 sec²u du 2 tgu C 2 tgx3 C Fx 2 tgx3 C fx dFdx 2 ddx tgx3 ddx c fx 2 sec²x3 ddx x3 0 2 sec²x3 13 fx 23 sec²x3 x1 dx x dx dx x²2 x C ddx x²2 x c 12 ddx x² ddx x ddx c 12 2x 1 0 x 1 2 e tt t t² dt tt t² dt t t² dt t t¹² t² dt t¹² t² dt t¹² dt t³² dt t¹² 12 t¹² 12 C 2t 2 t C ddt 2t 2t c 2 ddt t¹² 2 ddt t¹² ddt c 2 12 t¹² 2 12 t³² 0 t¹² t³² t² t² t¹² t³² t t¹² t¹² t² tt t t² 12 2 f 7 senθ3 dθ 7 senθ3 dθ 7 3 senu du Substituição u θ3 dθ 3 du 21 cosu C 21 cosθ3 C ddθ 21 cosθ3 C 21 ddθ cosθ3 ddθ c 21 senθ3 ddθ θ3 0 21 senθ3 13 7 senθ3 13 2 b eˣ 4ˣ dx eˣ dx 4ˣ dx eˣ Usando aˣ dx aˣ lna 4ˣ dx 4ˣ lna 4ˣ ln4 4ˣ ln2² 4ˣ dx 2²ˣ 2 ln2 2ˣ¹ ln2 eˣ 4ˣ dx eˣ 2ˣ¹ ln2 C ddx eˣ 2ˣ¹ ln2 c ddx eˣ 1 ln2 ddx 2ˣ¹ ddx c eˣ ddx x 1 ln2 ddx e2x1 ln2 0 onde usamos aᵇ eb lna ddx eˣ 2ˣ¹ ln2 c eˣ e2x1 ln2 ln2 ddx ln22x1 eˣ e2x1 ln2 ln2 2 ln2 eˣ 2 2ˣ¹ eˣ 2ˣ¹ 1 eˣ 4ˣ 13 2 c x ³x dx x¹² dx x¹³ dx x³² 32 x⁴³ 43 c 23 x³² 34 x⁴³ c ddx 23 x³² 34 x⁴³ c 23 ddx x³² 34 ddx x⁴³ ddx c 23 32 x¹² 34 43 x¹³ 0 x¹² x¹³ x ³x 2 d 2 1y² dy y¹⁴ 2 1y²¹² dy y¹⁴ dy arcseny y³⁴ 34 2 1y² 1 y¹⁴ dy 2 arcseny 43 y³⁴ c ddy 2 arcseny 43 x³⁴ c 2 ddy arcseny 43 ddy x³⁴ ddy c 2 1 1y² 43 34 y¹⁴ 0 2 1y² 1 y¹⁴ 2 g 1 tg2θ dθ sec2θdθ tgθ c ddθ tgθ c ddθ tgθ ddθ c sec2θ 0 1 tg2θ 2 h cosθ tgθ secθ dθ cosθ tgθ dθ cosθ secθdθ cosθ tgθ cosθ senθcosθ senθ cosθ secθ cosθ 1cosθ 1 cosθ tgθ secθ dθ senθ dθ dθ cosθ θ c ddθ cosθ θ c ddθ cosθ ddθ θ ddθ c senθ 1 0 senθ 1 cosθcosθ senθ 1 cosθcosθ senθcosθ cosθ 1cosθ cosθ tgθ cosθ secθ cosθ tgθ secθ 2 i cosecθ cosecθ senθ dθ cosecθ cosecθ senθ 1senθ 1senθ senθ 1 1 sen2θ 1cos2θ sec2θ cosecθ cosecθ senθ dθ sec2θ dθ tgθ C ddθ tgθ c ddθ tgθ ddθ c sec2θ 0 sec2θ 1cos2θ cosecθ cosecθ senθ 3 x senx dx é da forma u dσ A integração deve ser feita por partes u dσ uσ σ du u x du dx dσ senx dx σ dσ cosx x senx dx x cosx cosx dx x cosx senx c x senx dx x cosx senx C A opção correta é a letra C 4 f x2 x 1 x dx x2 x dx x x dx 1 x dx x32 dx x12 dx x12 dx x52 52 x32 32 x12 12 C 25 x52 23 x32 x 2 C 25 x2 x 23 x x 2 x C x 2 x2 5 2 x 3 2 C 4 g x 1 3x 2 dx 3 x2 x 2 dx 3 x2 dx x dx 2 dx 3 x3 3 x2 2 2x C x3 x2 2 2x C 4 h y2 y dy y2 y12 dy y52 dy y72 72 C 27 y72 C 4 i 2 x 3 ex dx 2 1 x dx 3 ex dx 2 lnx 3 ex C 4 a x 3 dx x dx 3 dx x22 3x c 4 b 2x 3x2 dx 2 x dx 3 x2 dx 2 x22 3 x33 c x2 x3 c 4 c x32 2x 1 dx x32 dx 2 x dx dx x52 52 2 x22 x c 25 x52 x2 x C 4 d ³x2 dx x23 dx x53 53 c 35 x53 c 4 e 1x3 dx x3 dx x2 2 c 12 x2 c 12 x2 c 4 j 1 2 t3 t3 dt 1 t3 2 dt t3 dt 2 dt t2 2 2t C 1 2 t2 2 t C 5 a 2 senx 3 cosx dx 2 senx dx 3 cosx dx 2 cosx 3 senx C 2 cosx 3 senx C 5 b 1 cosect cotgt dt dt cosect cotgt dt t cosec t C t cosect C 5 c sec2θ senθ dθ sec2θ dθ senθ dθ tgθ cosθ C 5 d tg2y 1 dy sec2y dy tgy C 5 e senx cos2x dx u cosx du senx dx du u2 du u2 u2 du u1 1 C 1 u C senx cos2x dx 1 cosx C secx C 5 f dy cosecy seny dy cosy C 6 a dydx x1x γ1 2 dy x1x dx dy x1x dx xx dx 1x dx γ x12 dx x12 dx x3232 x1212 C γ 23 x32 2 x12 C vamos usar γ1 2 2 23 132 2 112 C 23 2 C C 2 2 23 23 γx 23 x32 2 x12 23 γx 23 xx 2x 23 2xx3 6x3 23 γx x3 2x 6 23 Fx x3 2x 6 23 6 b dydt sec²t sent γπ4 1 dy sec²t dt sent dt dy sec²t dt sent dt γ tgt cost C usando γπ4 1 1 tgπ4 cosπ4 C 1 22 C C 1 1 22 22 12 γt tgt cost 12 Ft tgt cost 12 7 γ fx coeficiente angular dydx ³x x13 γ dy x13 dx x4343 C x43 34 c γ 34 x43 C usando x1y 94 4 34 943 C 14 C C 4 14 10 γx 34 x43 10 8 S S0 Voy t 12 g t² a S 80 64 t 12 g t² 8 b queremos saber t quando S 0 0 80 64 t 12 g t² g t²2 64 t 80 0 t² 128g t 160g 0 g aceleração da gravidade Se g 98 ms² t² 12898 t 16098 0 t 12898 12898² 411609821 t 142 s usamos apenas a raiz positiva 9 S S0 v0y t 12 g t2 S S0 ΔS v0y t 12 g t2 v0y 0 ΔS 12 16 ms2 202 ΔS 320 m v2 v02 2g Δs v2g ΔS 216 ms2320 m 32 ms 10 v dv GM y2 dy v22 GM y11 GM y1 GMy c Se yR v v0y v022 GMR c c v022 GMR v22 GMy c GMy v022 GMR v22 v022 GM 1y 1R v2 v02 2 GM 1y 1R 11 a v v0 at a v v0 t a 80 kmh 25 kmh 13s 55 kmh 13s 5513 1000 m3600s a 5513 10003600 ms2 11752 ms2 a 118 ms2 11 b v2 v02 2a Δs v 80 kmh 2222 ms v0 25 kmh 694 ms Δs v2 v02 2a 22222 6942 2 11752 18958 m Δs 18958 m 17 a x sen2x2 dx u 2x2 du 4 x dx x dx du4 sen2x2 x dx senu du4 14 senu du 14 cosu c 14 cos 2x2 c 12 b 28 7x25 dx u 7x2 du7dx dx du7 28 17 u5 du 9 u4 4 c u4 c 7x24 c 28 7x25 dx 7x24 c 12 c 9r2 dr1r3 u 1r3 du 3r2 dr 9r2 dr 3 du 3 du u 3 u12 du 3 u12 12 c 6 u12 c 9r2 1r3 dr 6 1r312 c 6 1r3 c 12 d x sen2 x32 1 dx u x32 1 du 32 x12 dx 3x2 dx x dx 23 du sen2 x32 1 x dx sen2u 2du3 23 sen2 u du 23 12 du cos2u du 13 u 12 sen2u c x sen2 x32 1 dx 13 x32 1 12 sen 2 x32 1 c 16 2x32 2 sen 2 x32 1 c 12 c cosec22θ cotg 2θ dθ i u cotg 2θ du 2 cosec22θ dθ cosec220 dθ du2 cosec22θ cotg2θdθ 12 udu 12 u22 c 14 u2 c 14 cotg22θ c ii u cosec 2θ du cotg 20 cosec 2θ2 dθ cotg2θ cosec20dθ du 2 cosec2θ cosec20 cotg2θ dθ 12 udu 12 u22 c cosec22θ cotg2θdθ 14 u2c 14 cosec22θ c 13 a e2x dx u2x du2 dx dx du2 e2x dx 12 eu du 12 eu c 12 e2x c 13 b x 2x23 dx u 2x2 du 2 x dx x dx du2 2x23 x dx 12 u3 du 12 u44 c u48 c 2x248 c 13 c cos8x dx u8x du8 dx dx du8 cos8x dx 18 cosu du 18 sinu c 18 sin8x c 13 d x2 e2x3 dx u 2x3 du 6 x2 dx x2 dx du6 x2 e2x3 dx 16 eu du 16 eu c 16 e2x3 c 13 e x2 sec2x3 dx u x3 du3 x2 dx x2 dx du3 x2 sec2x3 dx 13 sec2 u du 13 tgu c 13 tgx3 c 13 f dxex ex dx ux du dx dx du dxex eu du eu c ex c 1ex c 13 g ey y dy u y y12 du 12 y12 dy 12 dyy dyy 2 du ey dyy 2 eu du 2 eu c 2 ey c 13 h sen23x cos3x dx u sen3x du cos3x dx 3 du3 cos3x dx u23 du 13 u2 du 13 u33 c u39 c sen23x cos3x dx sen33x3 c 14 a 32s ds u 32s du 2 ds ds du2 12 u du 12 u32 du 12 u32 32 c 13 u32 c 32s ds 13 32s32 c 14 b θ4 1θ2 dθ θ 1θ214 dθ u 1θ2 du 2θ dθ θ dθ du2 12 u14 du 12 u54 54 c 25 1θ254 c 14 sen2t1 cos²2t1 dt u cos2t1 du sen2t1 2 dt sen2t1 dt du2 12 du u² 12 u² du 12 u¹1 C 12 1u C sen2t1 cos²2t1 dt 1 2 cos2t1 C 12 sec2t1 C 15 ai 18 tg²x sec²x dx 2 tg³x u tgx du sec²x dx 18 u² 2 u³ du 18 u² 2 u³ du v u³ dv 3 u² du u² du dv3 18 13 dv 2 v 363 dv 2 v ω 2 v dw dv 6 dw w 6 lnω C 6 ln2 tg³x C ω 2 v 2 u³ 2 tg³x 18 tg²x sec²x dx 2 tg³x 6 ln2 tg³x C 15 aii 18 tg²x sec²x dx 2 tg³x u tg³x du 3 tg²x sec²x dx tg²x sec²x dx du3 183 du 2 u v 2 u dv du 6 dv v 6 lnv C 6 ln2 u C 18 tg²x sec²x dx 2 tg³x 6 ln2 tg³x C 15 aiii u 2 tg³x du 3 tg²x sec²x dx tg²x sec²x dx du3 183 du u 6 lnu C 6 ln2 tg³x C 15 b u 32r1² 6 32r1² 612 dudr 32r1² 612 2 ddr 32r1² 6 dudr 32r1² 612 2 62r1 ddr 2r1 dudr 12 2 6 2r1 32r1² 6 2r1 dr 32r1² 6 du6 16 cosu du 16 senu C 2r1 cos32r1²6 32r1²6 dr 16 sen32r1²6 C 15 u cossqrttheta costheta12 dud theta sentheta12 dd thetatheta12 sentheta12 12 1theta12 sensqrttheta d theta sqrttheta 2 du Integral sensqrttheta d theta sqrttheta cos3sqrttheta Integral 1sqrtcos3sqrttheta sensqrttheta d theta sqrttheta Integral 1sqrtmu3 2 du 2 Integral mu32 du 2 mu1212 C 4 mu12 C 4sqrtmu C Integral sensqrttheta d theta sqrttheta cos3sqrttheta 4sqrtcossqrttheta C 16 Integralab x x2 dx x x2 x1x 0 x1x 0 x0 ou x1 0 x 1 a0 b1 maximizan a integral 17 a Integral01 x2 sqrtx dx Integral01 x2 dx Integral01 x12 dx x33 x323210 13 033 23 132 032 13 231 17 b Integralpi4 3pi4 cosectheta cotgtheta d theta Integralpi43pi4 costheta sin2theta d theta Integralu1u2 duu2 cosectheta cotgtheta 1sintheta costhetasintheta costhetasin2theta usentheta du costheta d theta Integralu1u2 duu2 Integralu1u2 u2 du u1 1 u1 u2 1u u1u2 1sentheta u1u2 cosectheta pi4 3pi4 cosec3pi4 cosecpi4 sqrt2 sqrt2 Integralpi43pi4 cosectheta cotgtheta d theta 0 17 c Integral01 x ex2 dx u x2 du 2x dx x dx du2 12 Integralu1u2 eu du eu2 u1u2 ex22 01 e12 e022 e 12 Integral01 x ex2 dx e12 18 a ddx Integral0sqrtx cost dt ddx sent sqrtx0 ddx sensqrtx sen0 ddx sensqrtx cossqrtx ddx x12 cosx12 12 x12 cossqrtx 2 sqrtx 18 a ddx Integralasqrtx cost dt cossqrtx ddx sqrtx cossqrtx 12 sqrtx cossqrtx 2 sqrtx 18b ddx from 1 to x of senx 3t2 dt ddx 3 t3 3 evaluated from 1 to senx ddx t3 evaluated from 1 to senx ddx sen3x 13 ddx sen3x ddx 1 3 sen2x ddx senx 0 3 sen2x cosx 18b ddx from 1 to x of senx 3t2 dt 3 sen2x ddx senx 3 sen2x cosx 19a y from 0 to x of 1 t2 dt 1 t2 dt substituição t tgx t2 1 1 cos2x sec2x dt dx cos2x x arctgt 1 t2 dt sec2x dx cos2x sec4x dx Vamos usar a fórmula secnx dx secn2x tgxn1 n2n1 secn2x dx com n3 sec3x dx secx tgx2 12 secx dx secx tgx2 lntgx secx2 com x arctgt from 0 to x of 1 t2 dt t t2 12 lnt2 1 t2 evaluated from 0 to x y lnx2 1 x2 xx2 12 dydx 12 ddx xx2 1 12 ddx lnx x2 1 12 1x2 1 x 12 x2 112 ddx x2 1 12 1 x x2 1 ddx x x2 1 12 x2 1 x 12 x2 112 2x 12 1 x x2 1 1 12 x2 112 ddx x2 1 12 x2 1x2 1 2x2 2x2 1 12 1 x x2 1 1 2x 2x2 1 12 2x2 1x2 1 1x2 1 2x2 2x2 1 x2 1 dydx x2 1 γ x0 sent² dt u 2π t t π2 u dt π2 du sent² dt π2 senπ u²2 du Integral de Fresnel Su x0 sent² dt π2 S2π tx0 π S2xπ 2 γ π2 S2xπ dydx π2 ddx S2xπ π2 ddx senx1 dx dydx π2 ddx senx1 dx dydx π2 dsenx1 π2 cosx1 dydx π2 cosx γ 1x13 ex³1 dt ex³1 dt et³ e dt e et³ dt essa é uma integral não elementar que envolve a função gama I Podemos usar exa dx x Γ1a xa a axa com x4 t3 et³ dt t Γ13 t³ ³t³ Assim γ 1x13 et³1 dt e t Γ13 t3 ³t³ 1x13 γ e3 Γ13 x Γ13 1 dγdx e3 ddx Γ13 x ddx Γ13 1 sabemos que ddx Γsx xs1 ex Então dγdx e3 x131 e1x 1131 e1 dγdx ex13 ex e23 3x Fx 1 2x3 dx u 1 2x du 2 dx dx du2 Fu 12 u3 du 12 u4 4 18 1 2x4 Fx ab fx dx Fb Fa 01 1 2x3 dx 18 1 214 18 1 204 18 14 18 14 18 18 0 01 1 2x3 dx 0 0π sen²1 θ2 dθ u 1 θ2 2 du dθ sen²1 θ2 dθ 2 sen²u du 22 1 cos2u du du cos2u du u 12 sen2u sen²1 θ2 dθ 1 θ2 12 sen21 θ2 0π sen²1 θ2 dθ 1 θ2 12 sen2 θ0π 1 π2 12 sen2 π 1 0 12 sen2 ab fθ dθ Fb Fa π sen2 π sen2 2 20 c 0 to π sin2x4 cosx4 dx u sinx4 dudx cosx4 ddxx4 14 cosx4 cosx4 dx 4 du 4 u2 du 4 u33 43 sin3x4 Fx 0 to π sin2x4 cosx4 dx a to b fx dx Fb Fa 43 sin3x40π 43 sin3π4 43 sin30 0 to π sin2x4 cosx4 dx 43 223 0 23 21 a γ x 1 x 4 1 to 4 x dx x22 1 to 4 42 12 2 16 1 2 152 21 b 0 to 2 1 x2 dx 0 to 2 dx 12 0 to 2 x dx x02 12 x2202 x02 x2402 22 02 1 22 02 4 2 1 1 y1 y x2 21 e 0 to 2 4 x2 dx x 2 sinu u arcosx2 dx 2 cosu du 4 cos2u 4 x2 4 cos2u 2 cosu du 2 cosu 2 cosu du 4 cos2u du 42 cos2u du du 2 12 sin2u 2u sin2u 2u 0 to 2 4 x2 dx 2 arcosx2 x 4 x22 02 0 to 2 4 x2 dx π 0 π y 4x2 21 f 0 1 x 21x² dx x 21x² dx x dx 2 1x² dx 1x² dx cos²u du 12 cos 2u du du u arccosx u senu dx cos u du 1x² cos²u cosu 1x² dx 14 sen2u 12 u x 1x² arccosx 0 1 x 21x² dx x²2 x 1x² arccosx 0 1 12 π2 π 12 22 a fx x³ 2 3 A 2 3 x³ dx x⁴4 2 3 3⁴4 2⁴4 654 22 b fx x 1 9 A 1 9 x dx 1 9 x¹² dx x³² 32 1 9 23 x³² 1 9 A 523 22 c fx ex 1 3 A 1 3 ex dx ex 1 3 e³ e¹ e³ e A ee² 1 23 a A 0 π 1cosx 2 dy dx A 0 π 2 1 cosx dx 0 π 1 cosx dx A 0 π dx 0 π cos x dx x 0 π senx 0 π A π 0 senπ sen0 π 23 b A π4 0 2 xe²x dx 0 1 2 1 x² dx A 2x tgx π4 0 0 1 1 x² dx π2 1 x x³3 0 1 A π2 1 43 π2 14 2π 14 22 c A 2 2 x² x⁴ 2x² dx A 2 2 x² x⁴ 2x² dx 2 2 x⁴ 3x² dx A x⁵5 2 2 3x³3 2 2 x⁵5 2 2 x³ 2 2 A 2⁵ 2⁵5 2³ 2³ 32 325 8 8 A 645 16 165 22 d A 2 3 x2 4 x2 2x dx 1 2 x2 2x x2 4 dx A 2 3 x2 4 x2 2x dx 1 2 x2 2x x2 4 dx A 2 3 2x2 2x 4 dx 1 2 2x2 2x 4 dx A 2 x33 2 x22 4x 3 2 2 x33 2 x22 4x 1 2 A 2 x33 x2 4 x 3 2 2 x33 x2 4 x 1 2 A 113 9 383 49 24 a Fx x2 4x 7 dx x2 dx 4 x dx 7 dx Fx x33 4 x22 7 x F0 0 F3 48 0 3 x2 4x 7 dx F0 F3 0 48 48 24 b Fx 1x2 dx x2 dx x11 1x F1 1 F3 13 3 1 1x2 dx F3 F1 13 1 23 50 24 c 2 9 4 x x dx 2 9 4 x x12 dx 2 9 4 x32 dx Fx 2 x32 dx 2 x5252 2 52 x52 F4 1285 F9 9725 9 4 2 x x dx F9 F4 9725 1285 8445 24 d Fθ sinθ dθ cosθ Fπ2 cosπ2 0 F π2 cos π2 0 π2 π2 sinθ dθ Fπ2 F π2 0 0 0 24 e Fx cosx dx sinx Fπ4 sin π4 22 F π4 22 π4 π4 cosx dx Fπ4 F π4 22 22 2 24 f Fx 5 ex dx 5 ex dx 5 ex F3 5 e3 Fln 2 5 eln2 5 2 10 3 ln 2 5 ex dx F3 Fln 2 10 5 e3 5 e3 2 24 g Ft 3t 5 t t32 dt Ft 3 t12 dt 5 t12 dt t32 dt Ft 3 t1212 5 t3232 t1212 6 t 10 t323 2t F4 413 F1 143 4 1 3t 5 t t32 dt F4 F1 41143 553 24 h Fx x dx 2 1sin2x dx x22 2 cosec2x dx Fx x22 2 cotgx Fπ2 π28 Fπ6 π272 2 3 π2 π6 x 2sin2x dx Fπ2 Fπ6 π29 2 3 25 a π4 to 0 tgx sec²x dx u tgx du sec²x dx u du u²2 π4 to 0 tgx sec²x dx tg²x2 π4 to 0 0²2 π4²2 12 25 b 0 to π 3 cos²x senx dx u cosx du senx dx 3 u² du 3 u² du 3 u³3 u³ 0 to π 3 cos²x senx dx cos³x0 to π cos³π cos³0 1 1 2 25 c 0 to 17 tt²113 dt 12 u13 du 12 u43 43 38 u43 u t² 1 du 2t dt du2 t dt 0 to 17 tt² 113 dt 38 t² 143 458 25 d 0 to 3 4x x² 1 dx 2 duu 2 u12 2 u12 12 4 u12 u x² 1 du 2x dx 4x dx 2 du 0 to 3 4x x²1 dx 4 x² 10 to 3 8 4 4 25 e A integral é igual a de 25 d Só mudam os limites 3 to 3 4x x²1 dx 4 x²13 to 3 8 8 0 25 f lnπ6 to lnπ2 2 eᵘ coseᵘ dᵘ 2 cosu du 2 senu u eᵛ du eᵛ dᵛ lnπ6 to lnπ2 2 eᵘ coseᵘ dᵘ 2 seneᵘ lnπ6 to lnπ2 2 senelnπ2 2 senelnπ6 2 senπ2 2 senπ6 2 1 2 12 2 1 1 26 a y x² 6x 8 03 A 0 to 3 x² 6x 8 dx 0 to 3 x² dx 6 0 to 3 x dx 8 0 to 3 dx A x³30 to 3 6 x²20 to 3 8 x0 to 3 9 27 24 6 26 b y 2x x² 03 A 0 to 3 2x x² dx 2 0 to 3 x dx 0 to 3 x² dx A 2 x²20 to 3 x³30 to 3 x²0 to 3 x³30 to 3 9 273 0 A 0 27 a y x² 2 2 x² 4 x 2 A 2 to 2 2 x² 2 dx 2 to 2 x² 4 dx A 2 to 2 x² dx 4 2 to 2 dx x³32 to 2 4 x2 to 2 323 27 b y x² x² 4x 2x² 4x x² 2x x 0 ou x 2 A 0 to 2 x² 4x x² 2 0 to 2 x² dx 4 0 to 2 x dx A 2 x³30 to 2 4 x²20 to 2 163 8 83 27 c y x⁴ 4x² 4 x² x⁴ 5x² 4 0 x² y x⁴ y² y² 5y 4 0 y 5 25 4142 5 32 y₁ 4 y₂ 1 x₁ y₁ 2 x₂ y₂ 1 A ₂¹ x² x⁴ 4x² 4 dx ₁¹ x⁴ 4x² 4 x² dx ₁² x² x⁴ 4x² 4 dx y x⁴ 4x² 4 A y x² x⁴ 5x² 4 dx ₁¹ x⁴ 5x² 4 dx ₁² x⁴ 5x² 4 dx x⁵5 5x³3 4x ₂₁ x⁵5 5x³3 4x ₁¹ x⁵5 5x³3 4x ₁² 2215 7615 2215 12015 8 30 y x² 3x 10 0 x 3 9 41102 3 72 x₁ 5 x₂ 2 A ₃₂ x² 3x 10 dx ₂⁵ x² 3x 10 dx ₅⁸ x² 3x 10 dx A x³3 3x²2 10x ₃₂ x³3 3x²2 10x ₂⁵ x³3 3x²2 10x ₅⁸ A 236 3436 812 23 343 3816 776 1 a fx 6x Fx 6 x dx 6 x2 2 c 3x2 c fx dF dx 3 d dx x2 d dx c 3 2x 0 6x 1 b fx x4 2x 3 Fx x4 dx 2 x dx 3 dx Fx x3 3 2 x2 2 3x c x3 3 x2 3x c fx dF dx 13 d dx x3 d dx x2 3 d dx x d dx c fx 13 3 x4 2x 31 0 fx x4 2x 3 1 c Fx 12 x3 dx 12 x2 2 c 14 x2 C fx dF dx 14 d dx x2 d dx c 14 2 x3 0 fx 12 x3 1 2x3 1 d Fx x dx 1 x dx Fx x12 dx x12 dx x32 32 x12 12 c Fx 23 x32 2 x12 c fx dF dx 23 d dx x32 2 d dx x12 d dx c fx 23 32 x12 2 12 x12 0 x12 x12 0 fx x 1 x 1 e Fx 13 x23 dx 13 x13 13 c x13 c fx d dx x13 d dx c 13 x23 0 fx 13 x23 1 f Fx π sen πx dx π 1π senu du sen u du cos u c cos πx c Substituição u πx dx 1 π du Fx cos πx c fx d dx cos πx d dx c sen πx d dx πx 0 fx sen πx π π sen πx 1 g Fx 23 sec2 x3 dx 23 3 sec2 u du Substituição u x 3 dx 3 du 2 sec2 u du 2 tg u c 2 tg x 3 c Fx 2 tg x 3 c fx dF dx 2 d dx tg x 3 d dx c fx 2 sec2 x 3 d dx x 3 0 2 sec2 x 3 13 fx 23 sec2 x 3