Integral Indefinida e Métodos de Integração - Aula com Exercícios Resolvidos

Aula 8 Integral Indefinida e Metodos de Integracao Nesta aula estudaremos a integral indefinida que pode a grosso modo ser entendida como o processo inverso da derivada Alguns exercıcios de aplicacao serao estudados alem dos seguintes metodos de integracao metodo da substituicao e integracao por partes 81 Integral Indefinida Definicao 81 A funcao Fx e chamada primitiva ou antiderivada da funcao fx em um intervalo I se para todo x 2 I temos F 0x fx Exemplo 82 Nos exercıcios abaixo mostre o que se pede 1 Verifique que Fx x3 3 C onde C e uma constante real qualquer e primitiva de fx x2 Resolucao Temos que F 0x x2 fx independente do valor de C 2 Mostre que Fx 1 2 sin2xC onde C e uma constante real qualquer e primitiva de fx cos2x Resolucao Temos que F 0x 1 2 2 cos2x cos2x fx 3 Mostre que Fx 2px C onde C e uma constante real qualquer e primitiva de fx x12 Resolucao Temos que F 0x 2 1 2 x12 x12 fx 104 Integral Indefinida e Metodos de Integracao 4 Proposicao 83 Seja Fx uma primitiva de fx Entao se C e uma constante qualquer a funcao Gx Fx C e primitiva de fx Proposicao 84 Se f 0x e nula para todos os pontos do intervalo aberto I entao f e uma funcao constante em I Demonstracao Sejam x y dois pontos quaisquer em I com x y Como f e derivavel em I temos que f e contınua em x y e derivavel em x y entao pelo Teorema do Valor Medio existe c 2 x y tal que f 0c fy fx y x Como f 0c 0 temos que fy fx 0 o que implica que fy fx para quaisquer x y 2 I Definicao 85 Seja Fx uma primitiva de fx A expressao Fx C e chamada integral indefinida de fx e denotada por ˆ fx dx Fx C Observacao 86 O sımbolo introduzido por Leibniz e chamado sinal de integracao e fxdx e chamado de integrando O sımbolo dx que aparece no integrando serve para indicar a variavel de integracao Exemplo 87 Calcule as integrais indefinidas 1 x2 dx 2 x4 dx 3 z dz 4 5 dr 5 cos x dx 6 sin x dx 7 ex dx 8 x23 dx 9 1 px dx 10 1 x dx Solucao 1 x2 dx x3 3 C 2 x4 dx x5 5 C 3 z2 dz z2 2 C 4 5 dr 5r C 5 cos x dx sin x C 6 sin x dx cos x C 7 ex dx ex C 8 x23 dx 3 5x53 C 9 1 px dx 2px C 10 1 x dx ln x C 81 Integral Indefinida 105 4 Proposicao 88 Sejam f g I R e K uma constante Entao 1 K fx dx K fx dx 2 fx gx dx fx dx gx dx Exemplo 89 Calcular as integrais indefinidas 1 3x2 5 px dx 2 x43x124 3px dx 3 2 cos x 1 px dx Solucao 1 3x2 5 px dx 3x2 dx 5 dx x12 dx x3 5x 2 3x32 C 2 ˆ x4 3x12 4 3px dx ˆ x4 x13 dx 3 ˆ x12 x13 dx ˆ 4 x13 dx ˆ x4 x13 dx 3 ˆ x12x13 dx ˆ 4x13 dx ˆ x113 dx 3 ˆ x56 dx 4 ˆ x13 dx 3 14x143 18x16 6x23 C 3 2 cos x 1 px dx 2 cos x dx x12 dx 2 sin x 2px C 4 Exercıcio 810 Calcule a integral indefinida ˆ 2ex sin x cos2 x 2 x7 dx Dica Mostre que a primitiva da funcao fx tg x sec x e a funcao Fx sec x Solucao ˆ 2ex sin x cos2 x 2 x7 dx ˆ exdx ˆ sin x cos2 xdx ˆ 2 x7 dx ex sec x 1 3x6 C Exercıcio 811 Determinar fx tal que fxdx x2 1 2 cos2x C Resposta fx 2x sin2x 106 Integral Indefinida e Metodos de Integracao Exercıcio 812 Se o custo marginal para a producao de q unidades for a seguinte funcao C0q 2e02q e se o custo fixo ou seja o custo existente mesmo que nao haja producao for 90 encontre a funcao custo total Solucao A funcao custo total e a integral do custo marginal ou seja CTq ˆ 2e02q dq CTq 2 0 2e02q C 10e02q C Se CT0 90 temos 10 C 90 entao C 80 e a funcao custo total sera CTq 10e02q 80 Exercıcio 813 Se a propensao marginal a poupar for a seguinte funcao da renda S0y 0 3 0 1y12 e se as poupancas agregadas forem nulas quando a renda for 81 encontre a funcao que expressa a poupanca Resolucao A funcao poupanca e obtida integrando a propensao marginal a poupar Sy ˆ 0 3 0 1y12 dy 0 3y 0 2y12 C Como S81 0 temos que C 22 5 Logo a funcao que expressa a poupanca e Sy 0 3y 0 2y12 22 5 Exercıcio 814 Seja Kt uma funcao que denota o estoque de capital ao longo do tempo t Denotamos por K0t dK dt a taxa de formacao de capital a qual e idˆentica a taxa de investimento lıquido no instante t Se a taxa de investimento lıquido e descrita por 12t13 e no instante inicial o estoque de capital e 25 encontre a funcao que expressa o estoque de capital 82 Metodos de Integracao 107 Solucao A funcao que expressa o estoque de capital e obtida integrando a taxa de investimento ou seja Kt ˆ K0t dt ˆ 12t13 dt 9t43 C Como K0 25 temos que C 25 e entao Kt 9t43 25 82 Metodos de Integracao 821 Metodo da Substituicao Sejam duas funcoes f e F tais que F 0x fx Seja a funcao g tal que podemos considerar a funcao composta F g Pela regra da cadeia temos d dxFgx F 0gx g0x fgx g0x ou seja Fgx e primitiva de fgx g0x e escrevemos ˆ fgx g0x dx Fgx C Fazendo u gx temos du g0x dx e substituindo na integral acima temos ˆ fgx g0x dx ˆ fu du Na pratica devemos definir uma funcao u gx conveniente de tal forma que a integral obtida seja mais simples Exemplo 815 Calcule as integrais indefinidas pelo metodo da substituicao 1 2x 1x2 dx 2 sin2 x cos x dx 3 sin2x 7 dx 4 tg x dx 5 1 3x58 dx 6 x sec2 3x dx Dica Fx tgx e primitiva de fx sec2 x 7 p t2 2t4 dt 8 e1x2 x2 dx 9 ln x2 x dx 108 Integral Indefinida e Metodos de Integracao 10 cot x dx 11 e6x dx Solucao 1 2x 1x2dx Chame u 1 x2 e teremos du 2x dx Logo ˆ 2x 1 x2 dx ˆ 1 u du ln u C ln1 x2 C 2 sin2 x cos x dx Chame u sin x entao du cos x dx Logo ˆ u2du u3 3 C sin3 x 3 C 3 sin2x 7 dx Chame u 2x 7 entao du 2 dx Logo ˆ sin2x 7 dx 1 2 ˆ sinu du 1 2 cosu C 1 2 cos2x 7 C 4 tg x dx sin x cos x dx Chame u cos x entao du sin x dx Logo ˆ tg xdx ˆ sin x cos xdx ˆ 1 u du ˆ 1 u ln u C ln cos x C 5 1 3x58 dx Chame u 3x 5 entao du 3 dx e dx 1 3 du Logo ˆ 1 3x 58 dx ˆ 1 u8 1 3 du 1 3 ˆ u8 du 1 3 u7 7 C 1 213x 57 C 6 x sec2 x dx xdx sec23x dx Para resolvermos a ultima da integral da igualdade acima chamamos u 3x entao du 3dx Logo ˆ x sec2 xdx ˆ xdx ˆ sec23xdx ˆ xdx 1 3 ˆ sec2udu Usando a dica do exercıcio obtemos ˆ x sec2 x dx x2 2 1 3 tgu C x2 2 1 3 tg3x C 82 Metodos de Integracao 109 7 p t2 2t4 dt p t21 2t2 dt t p 1 2t2dt Chame u 1 2t2 entao du 4t dt Logo ˆ p t2 2t4 dt ˆ t p 1 2t2 dt 1 4 ˆ pu du 1 4 ˆ u12 du 1 4u32 C 1 4 p 1 2t23 C 8 e1x2 x2 dx Chame u 1 x entao du 1 x2 dx Logo ˆ e1x 2 x2 dx ˆ eu 2 du eu 2u C e1x 2 x C 9 ln x2 x dx Chame u ln x entao du 1 x dx Logo ˆ ln x2 x dx ˆ u2 du u3 3 C ln x3 3 C 10 cot x dx cos x sin xdx Chame u sin u entao du cos x dx Logo ˆ cot x dx ˆ cos x sin x dx ˆ 1 u du ln u C ln sin x C 11 e6x dx Chame u 6x entao du 6 dx Logo ˆ e6x dx 1 6 ˆ eu du 1 6 eu C e6x 6 C 4 822 Integracao por Partes Sejam f e g duas funcoes derivaveis Pela regra da derivada do produto teremos fx gx0 f 0xgx fxg0x fxg0x fx gx0 f 0xgx 110 Integral Indefinida e Metodos de Integracao Integrando ambos os lados da igualdade teremos ˆ fxg0xdx ˆ fx gx0dx ˆ f 0xgxdx ˆ fxg0xdx fx gx ˆ f 0xgxdx 81 Na pratica fazemos u fx e v gx e teremos du f 0xdx e dv g0xdx Substituindo na equacao 81 teremos a formula ˆ udv u v ˆ vdu Exemplo 816 Calcule as integrais indefinidas pelo metodo da integracao por partes 1 xex dx 2 x2 sin x dx 3 xe2x dx 4 lnx dx 5 x sin5x dx 6 x2x 112 dx Solucao 1 xex dx Chame u x entao du dx e chame dv ex dx entao v ex dx ex Logo ˆ xex dx xex ˆ ex dx xex ex C 2 x2 sin x dx Chame u x2 entao du 2x dx e chame dv sin x dx entao v sin x dx cos x Logo ˆ x2 sin x dx x2 cos x ˆ 2x cos x dx Para resolvermos a ultima integral da igualdade acima usamos novamente o metodo da integracao por partes Chame u 2x entao du 2 dx e chame dv cos x entao v cos x dx sin x Logo ˆ x2 sin x dx x2 cos x ˆ 2x cos x dx x2 cos x 2x sin x 2 ˆ sin x dx x2 cos x 2x sin x 2 cos x C 83 Exercıcios 111 3 xe2x dx Chame u x entao du dx e chame dv e2x dx entao metodo da substituicao v e2x dx e2x 2 Logo ˆ xex dx xe2x 2 1 2 ˆ e2x dx 1 2 xe2x 1 4 e2x C 4 lnx dx Chame u ln x entao du 1 x dx e chame dv dx entao v dx x Logo ˆ lnx dx x ln x ˆ x 1 x dx x ln x ˆ dx x ln x x C 5 x sin5x dx Chame u x entao du dx e chame dv sin 5x dx entao metodo da substituicao v sin 5x dx cos 5x 5 Logo ˆ x sin5x dx xcos 5x 5 1 5 ˆ cos 5x dx x cos 5x 5 sin 5x 25 C 6 x2x 112 dx Chame u x entao du dx e chame dv 2x 112 dx entao metodo da substituicao v 2x 112 dx 2x132 3 Logo ˆ x2x 112 dx x2x 132 3 1 3 ˆ 2x 132 dx x2x 132 3 1 3 2x 152 5 C x2x 132 3 2x 152 15 C 4 83 Exercıcios Os exercıcios desta secao foram tirados de 2 1 Calcular as integrais e em seguida derivar as respostas para verificar os resultados a ˆ dx x3 b ˆ 9t2 1 p t3 dt 112 Integral Indefinida e Metodos de Integracao c ˆ ax4 bx3 3c dx d ˆ 1 px xpx 3 dx e ˆ 2x2 32 dx f ˆ ax4 bx3 3c dx g ˆ x5 2x2 1 x4 dx h ˆ x3px dx i ˆ p 2y 1 p2y dx j ˆ et 2 p t 1 t dt k ˆ ex ex dx 2 Calcular as integrais seguintes usando o metodo da substituicao a ˆ 2x2 2x x102x 1 dx b ˆ x 5p x2 1 dx c ˆ p x2 2x4 dx d ˆ x3 217x2 dx e ˆ 5x p 4 3x2 dx f ˆ et et 4 dx g ˆ e2t 213e2t dx h ˆ e1x 2 x2 dx i ˆ lnx2 x dx j ˆ 3 x2 4x 1 dx k ˆ 1 y2 4y 4 dy l ˆ xe3x2 dx m ˆ cos x 3 sin x dx n ˆ px 3 x 1 dx o ˆ 8x2p 6x3 5 dx p ˆ x4ex5 dx q ˆ t cos t2 dt r ˆ 3p sin cos d 3 Resolver as seguintes integrais usando a tecnica da integracao por partes a ˆ x sin 5x dx b ˆ ln1 x dx c ˆ tet dt d ˆ x 1 cos 2x dx e ˆ x ln3x dx f ˆ cos3 x dx g ˆ ex cos x 2 dx h ˆ px lnx dx i ˆ x2 cos ax dx j ˆ eax sin bx dx 83 Exercıcios 113 k ˆ x3p 1 x2 dx l ˆ lnax b p ax b dx m ˆ ln32x dx n ˆ x3 sin 4x dx o ˆ x 1ex dx p ˆ x2 ln x dx q ˆ x2ex dx r ˆ xn ln x dx n 2 N s ˆ e3x cos 4x dx 114 Integral Indefinida e Metodos de Integracao Aula 9 Integral Definida Em 2 as autoras escrevem que desde os tempos mais antigos muitos matematicos se preocupam com problemas de determinar a area de uma figura plana Nesta aula vamos estudar a integral definida que nasceu segundo as autoras com a formalizacao matematica dos problemas de areas e tambem de problemas fısicos 91 Problema de Area Para regioes com os lados retos como o retˆangulo a area e definida como o produto do comprimento pela largura No triˆangulo a area e definida como o produto de metade da base pela altura Para encontrarmos a area de polıgonos basta o dividirmos em triˆangulos e somar as suas areas veja Figura 91 Figura 91 7 p355 Porem quando temos uma regiao S conforme Figura 92 que esta abaixo de uma funcao contınua y fx definida de a a b a qual e nao negativa ou seja fx 0 para encontrarmos a area de S particionamos o intervalo a b em n subintervalos e construımos n retˆangulos com base x e altura fxi veja Figura 93 116 Integral Definida Figura 92 7 p355 A soma das areas de cada retˆangulo de base x e altura fxi e dada por Sn n X i1 fxix fx1x fx2x fxnx e e chamada de Soma de Riemann Figura 93 7 p360 Podemos observar veja a Figura 94 que quanto mais particionada a regiao a b ou seja quanto maior o numero de retˆangulos construıdos n 1 mais proxima a Soma de Riemann se aproxima da area da regiao S Portanto a definicao de area e a seguinte Definicao 91 A area A de uma regiao S que esta abaixo do grafico de uma funcao contınua f nao negativa e A lim n1 h n X i1 fxix i Observacao 92 E possıvel provarmos que o limite da definicao acima sempre existe e e um numero naonegativo A definicao acima ainda e verdadeira se tomarmos a altura dos retˆangulos fxi1 ou seja o ponto a esquerda na particao ou ainda fx i onde x i 2 xi1 xi 91 Problema de Area 117 Figura 94 7 p360 Definicao 93 Se f e uma funcao definida no intervalo a b e nos dividirmos o inter valo em n subintervalos de comprimentos iguais e tomarmos x i um elemento em cada subintervalo definimos a integral definida de f de a a b ˆ b a fxdx lim n1 h n X i1 fx i x i provado que o limite existe Se o limite existe dizemos que f e integravel de a a b Observacao 94 Os valores a e b no sinal de integracao sao chamados limites de inte gracao Temos a o limite inferior e b o limite superior Para uma funcao naonegativa e integravel a definicao de area coincide com a definicao de integral definida Observacao 95 Por definicao se a b entao b a fxdx a b fxdx Alem disso se fa esta definida a a fxdx 0 Teorema 96 Se f e contınua no intervalo a b entao f e integravel em a b Observacao 97 A funcao fx 1 x nao e integravel no intervalo 0 1 Proposicao 98 Se f e contınua no intervalo a b entao b a fxdx 6 b a fxdx O proximo teorema conhecido por Teorema Fundamental do Calculo relaciona de rivada e integracao Teorema 99 Se f e uma funcao contınua em a b e se F e uma primitiva de f neste intervalo entao ˆ b a fxdx Fb Fa Exemplo 910 Calcular as integrais definidas abaixo 1 3 1 xdx A primitiva de fx x e Fx x2 2 Logo ˆ 3 1 xdx hx2 2 i3 1 9 2 1 2 8 2 4 2 ₀ π2 cos x dx A primitiva de fx cos x é Fx sin x Logo ₀ π2 sin x dx sin x₀π2 sinπ2 sin0 1 3 ₀ 1 x³ 4x² 1 dx A primitiva de fx x³ 4x² 1 é Fx x⁴4 43x³ x Logo ₀ 1 x³ 4x² 1 x⁴4 43x³ x₀ 1 14 43 1 0 112 4 Encontre a área limitada pela curva y 4 x² e o eixox A curva y 4 x² é uma parábola com raízes 2 e 2 e vértice no ponto 0 4 veja Figura 95 No intervalo 2 2 temos que y 4 x² 0 logo a área procurada é obtida calculando a integral definida Área ₂² 4 x² dx 4x x³3 ₂² 8 83 8 83 323 Figura 95 2 p380 5 Encontre a área da região limitada pela função fx sin x e o eixox de 0 a π2 No intervalo de 0 π a função fx sin x 0 já no intervalo π 2π a função fx sin x 0 veja a Figura 96 Logo a área desta região é a soma das áreas das regiões S₁ e S₂ Como a região S₂ é negativa para calcularmos a sua área basta tomarmos o valor absoluto da integral ou seja Área ₀ π sin x dx π 2π sin x dx cos x₀ π cos xπ 2π 4 91 Problema de Area 119 Figura 96 2 p383 4 A area da regiao limitada pelas curvas y fx e y gx e as retas x a e x b onde f e g sao contınuas e fx gx para todo x 2 a b e ˆ b a fx gxdx Exemplo 911 Encontre a area da regiao limitada pelas parabolas y x2 e e y 2xx2 Primeiramente vamos encontrar os pontos de interseccao entre as parabolas ou seja os pontos tais que x2 2x x2 que equivale a 2x 2x2 0 Entao 2x1 x 0 o que implica que x 0 ou x 1 Assim 0 0 e 1 1 sao os pontos de interseccao veja a Figura 97 A area e dada por Area ˆ 1 0 2x x2 x2dx ˆ 1 0 2x 2x2dx h x2 2 3x3i1 0 h 1 2 3 i 0 1 3 4 Figura 97 7 p416 120 Integral Definida Exemplo 912 Encontre a area aproximada da regiao limitada pelas curvas y x p x21 e y x4 x cujo grafico esta na Figura 98 e os pontos de interseccao ocorrem em x 0 e x 1 18 Solucao A area sera obtida resolvendo a integral definida Area ˆ 118 0 x p x2 1 x4 xdx ˆ 118 0 x p x2 1dx ˆ 118 0 x4 xdx Para resolvermos a primeira integral usamos o metodo da mudanca de variavel substi tuindo u x2 1 temos du 2xdx entao ˆ x p x2 1dx 1 2 ˆ 1 u12du 1 2 ˆ u12du pu p x2 1 Logo ˆ 118 0 x p x2 1dx hp x2 1 i118 0 p 1 182 1 p 1 0 55 Alem disso ˆ 118 0 x4 xdx hx5 5 x2 2 i118 0 h1 185 5 1 182 2 i 0 0 24 Portanto Area ˆ 118 0 x p x2 1x4xdx ˆ 118 0 x p x2 1dx ˆ 118 0 x4xdx 0 550 24 0 79 4 Figura 98 7 p417 Exercıcio 913 Encontre a area da regiao limitada pelas curvas y x2 e y x 2 Solucao Primeiramente fazemos o grafico da regiao encontrando os pontos de inter seccao entre as duas curvas veja Figura 99 A seguir observamos que a area procurada e obtida calculando a integral definida Area ˆ 2 1 x 2 x2dx 9 2 92 Exercıcios 121 Figura 99 2 p386 Exercıcio 914 Encontre a area limitada pelas funcoes fx sin x e gx cos x de 0 a 2 Solucao Primeiramente fazemos o grafico da regiao encontrando os pontos de inter seccao entre as duas curvas veja Figura 910 A seguir observamos que a area procurada e obtida calculando a integral definida Area ˆ 4 0 cos x sin xdx ˆ 2 4 sin x cos xdx 2 p 2 2 Figura 910 7 p418 92 Exercıcios Os exercıcios desta secao foram tirados de 2 e 7 1 Mostre que a ˆ sin2x cos5x dx 0 b ˆ sin5x cos2x dx 0 122 Integral Definida c ˆ cos2x cos5x dx 0 Sugestao Usar as formulas para m n inteiros quaisquer sinmx sinnx 1 2cosm nx cosm nx sinmx cosnx 1 2sinm nx sinm nx cosmx cosnx 1 2cosm nx cosm nx 2 Calcule as integrais definidas a ˆ 1 0 x x2 1 dx b ˆ 2 1 xex21 dx c ˆ 1 0 y e2y dy d ˆ 2 1 ln x x3 dx e ˆ 2 1 x1 x3 dx f ˆ 2 1 1 x6 dx g ˆ 0 3 x2 4x 7 dx h ˆ 5 1 p 2x 1 dx i ˆ 3 0 x p 1 x dx j ˆ 2 0 cos x 1 sin x5 dx k ˆ 4 0 2x 112 dx l ˆ 2 1 x ln x dx m ˆ 2 1 5x3 7x2 5x 2 x2 dx n ˆ 2 3 t 1 t dt 3 Encontrar a area da regiao limitada pelas curvas dadas a y 5 x2 e y x 3 Resp 92 b y 1 6x2 e y 6 Resp 48 c y 1 x2 e y 3 Resp 323 d y ln x y 0 e x 4 Resp 8 ln 2 3 e y x3 x e y 0 Resp 12 f y ex x 0 x 1 e y 0 Resp e 1 4 Encontre a area das regioes vistas nas figuras Respostas Figura 911 ln 2 Figura 912 161 2 ln 2 92 Exercıcios 123 Figura 911 2 p279 Figura 912 2 p279 Figura 913 7 p420 Aula 10 Aplicacoes da Integral Neste capıtulo faremos algumas aplicacoes da integral excedente do consumidor e do produtor valor presente e valor futuro de um fluxo de renda e o ındice de Gini 101 Excedente do Consumidor Em geral os consumidores adquirem mercadorias porque elas lhe proporcionam sa tisfacao Quanto melhor sera a satisfacao das pessoas em conjunto por poderem adquirir um produto do mercado Esta pergunta e respondida calculando o Excedente do Consu midor Este valor e a diferenca entre o preco que um consumidor estaria disposto a pagar e o que ele realmente paga por uma mercadoria ou seja e o ganho monetario obtido na aquisicao de um produto por um preco menor do que concordaria em pagar Para calcular o excedente e necessario conhecer a curva demanda em relacao ao preco Seja p fx a funcao que expressa o preco unitario quando x unidades sao demandadas veja Figura 101 Denotamos por p0 o preco de mercado e x0 a quantidade demandada referente a este preco Observe que p0 nao e o preco maximo que os consumidores estariam dispostos a pagar por este produto Para precos acima de p0 ainda existe a demanda mesmo que menor que x0 Assim o Excedente do Consumidor que denotaremos por EC e a area compreendida entre a curva p fx e a reta p p0 Este valor pode ser obtido a partir do seguinte calculo EC ˆ x0 0 fx p0 dx que e equivalente a EC ˆ x0 0 fx dx p0 x0 126 Aplicacoes da Integral Figura 101 9 p395 onde p0 x0 e a area do retˆangulo de base x0 e altura p0 Como medida de conforto para o consumidor quanto maior o valor de EC mais satisfeito estara o consumidor Exemplo 101 Para as bicicletas da marca A a funcao que expressa o preco em relacao a quantidade demandada e dada por p fx 0 00152x2 0 095x 196 26 Suponha que o preco fixado pelo mercado seja 150 reais Calcule o excedente do consu midor para as bicicletas desta marca Resolucao Para obtermos a quantidade demandada para o preco de mercado fixado em 150 reais resolvemos a seguinte equacao 0 00152x2 0 095x 196 26 150 que e equivalente a 0 00152x2 0 095x 46 26 0 A seguir encontramos as raızes da equacao x 211 66 e x 148 33 Como x denota a quantidade demandada o valor negativo e desprezado A Figura 102 ilustra este problema e a regiao hachurada corresponde ao excedente do consumidor Para obtermos o seu valor fazemos EC ˆ 21166 0 0 00152x2 0 095x 196 26 dx 211 66 150 7115 09 reais 4 102 Excedente do Produtor De forma analoga ao excedente do consumidor podemos estudar o excedente do produtor Para o seu calculo e necessario conhecer a curva demanda em relacao ao preco 102 Excedente do Produtor 127 Figura 102 Excedente do Consumidor Seja p fx a funcao que expressa o preco unitario quando x unidades sao ofertadas veja Figura 103 Denotamos por p0 o preco de mercado e x0 a quantidade ofertada referente a este preco A diferenca entre o que o produtor recebe quando vende a mercadoria pelo preco de mercado e o que receberia caso vendesse por um preco inferior ao de mercado e dita excedente do produtor Este valor e a area entre a reta p p0 e a curva p fx veja a Figura 103 Figura 103 9 p396 Este valor pode ser obtido a partir do seguinte calculo EC ˆ x0 0 p0 fxdx que e equivalente a EC p0 x0 ˆ x0 0 fxdx onde p0 x0 e a area do retˆangulo de base x0 e altura p0 128 Aplicacoes da Integral Como medida de conforto para o produtor quanto maior o valor de EC mais satis feito estara o produtor Podemos usar as definicoes acima e definir o excedente total da economia de um mercado pela soma dos excedentes do consumidor e do produtor onde o preco de mercado e o preco de equilıbrio veja a Figura 104 Ou seja e a area compreendida entre as curvas de demanda e de oferta Figura 104 9 p397 Exemplo 102 Para as bicicletas da marca A a funcao que expressa o preco em relacao a quantidade demandada e p fx 0 00152x2 0 095x 196 26 e a funcao que expressa o preco em relacao a quantidade ofertada e p gx 0 000964x2 0 04464x 53 59 Determinar 1 O preco de equilıbrio de mercado e a quantidade ofertada e demandada para este preco Resp A quantidade e x 250 e o preco de equilıbrio p 125 2 O esboco do grafico das curvas f e g no mesmo plano cartesiano 3 O excedente total da economia onde o preco de mercado e o preco de equilıbrio Resp 2430374 unidades monetarias 4 O excedente do produtor Resp 1143666 unidades monetarias 4 103 Valor Presente de um Fluxo de Renda 129 103 Valor Presente de um Fluxo de Renda Podemos medir o valor de um fluxo de renda de duas maneiras valor futuro V F e valor presente V P Antes de passarmos para as definicoes faremos a seguinte ob servacao Observacao 103 Um investidor deposita o valor A em uma conta que paga juros a uma taxa de r 100 ao ano composto n vezes ao ano O montante denotado por M apos 1 ano e dado pela formula M A 1 r n n E o montante apos t anos pela formula M A 1 r n nt Se nesta situacao tivermos que o banco paga juros a uma taxa de r 100 ao ano composto continuamente ou seja n 1 qual o montante apos t anos Para respondermos esta pergunta devemos calcular o limite M lim n1 A 1 r n nt A lim n1 1 r n nt Aert De fato fazendo a mudanca de variavel 1 x r n temos que n rx e se n 1 entao x 1 Logo lim n1 1 r n nt lim x1 1 1 x xrt h lim n1 1 1 x xirt ert Reciprocamente para gerar M unidades monetarias daqui t nos deverıamos investir A Mert unidades monetarias numa conta agora Dizemos que Mert e o valor presente de M unidades monetarias daqui a t anos Tambem podemos medir o valor presente para fluxos de renda Suponha que Pt representa o fluxo de renda ao longo do tempo t em anos desde t a ate t b Para calcularmos o valor presente deste fluxo se a taxa de juros e r devemos particionar o intervalo de tempo a b em subintervalos ti1 ti Em cada subintervalo sera obtida uma renda de aproximadamente Ptiti ti1 onde ti ti1 representa a fracao do ano O valor presente do rendimento neste perıodo sera ertiPtiti ti1 Para obtermos o 130 Aplicacoes da Integral valor presente V P do fluxo total somamos todos os valores presentes dos subintervalos ou seja V P X i ertiPtiti ti1 pelo Teorema Fundamental do Calculo podemos usar a seguinte integral para calcular este valor V P ˆ b a Ptertdt Exemplo 104 Qual e o valor presente acumulado de em fluxo contınuo de receitas que dura 2 anos no valor de R 300000 por ano ao qual existe uma taxa de 6 ao ano composto continuamente Resposta Obtemos este valor resolvendo a integral V P ˆ 2 0 3000e006tdt 3000 ˆ 2 0 e006tdt 3000 h e006t 0 06 i2 0 50000 h e006ti2 0 50000e012 1 5637 73 4 Exemplo 105 Vamos supor que a reforma de uma grande loja pode ser desenvolvida a partir de dois diferentes planos de obra Plano A desembolso de R 23000000 Plano B desembolso de R 15000000 No estudo realizado estimouse que o plano A vai proporcionar um fluxo de renda lıquida de R 62000000 e no plano B de R 52000000 por ano no decorrer dos proximos dois anos Se a taxa de juros pelos proximos dois anos for de 10 ao ano composto continuamente qual dos dois planos gerara maior renda lıquida ao final dos dois anos Resposta Para obtermos a encontramos o melhor plano vamos calcular o valor presente acumulado de cada plano ou seja vamos resolver as seguintes integrais V PA ˆ 2 0 620000e01t 1120770 56 e V PB ˆ 2 0 520000e01t 940001 11 Para darmos a resposta ao problema sera necessario subtrair o desembolso inicial Assim para o plano A temos o valor de R 89077056 e para o plano B o valor de R 79000111 Portanto sob esta analise a melhor opcao e o plano A pois podera gerar uma renda lıquida maior no perıodo de dois anos 4 104 Valor Futuro de um Fluxo de Renda 131 Exemplo 106 Uma empresa espera que sua receita nos proximos 10 anos seja Pt 108t Se existe uma taxa de juros de 10 ao ano composto continuamente qual o valor presente da receita Resposta Para obtermos o valor presente calculamos a integral V P ˆ 10 0 108te01tdt 108 ˆ 10 0 te01tdt Vamos resolver pelo metodo da integracao por partes a ultima integral Fazendo u t e dv e01t temos du dt e v 10e01t Entao ˆ te01tdt 10te01t 10 ˆ e01tdt 10te01t 102e01t 10e01tt 10 Assim V P ˆ 10 0 108te01tdt 108h 10e01tt 10 i10 0 109h e01tt 10 i10 0 2 62 109 4 104 Valor Futuro de um Fluxo de Renda Para entendermos o significado suponha que uma rede de supermercados gera um fluxo de renda por um certo perıodo de tempo por exemplo 5 anos A medida que a renda e realizada ela e investida e rende juros a uma taxa fixa O fluxo de renda futura acumulado durante os 5 anos e a quantidade de dinheiro que a rede de supermercados possui ao final deste perıodo Assim temos a seguinte definicao Definicao 107 O valor futuro acumulado V F ou total apos T anos de um fluxo de renda de Rt unidades monetarias por ano rendendo juros compostos continuamente a taxa de r por ano e dado pela integral definida V F erT ˆ T 0 Rtertdt Podemos fazer uma analise semelhante a feita anteriormente para chegarmos na formula acima Os detalhes podem ser visto em 2 Exemplo 108 Se se deposita anualmente R 150000 numa conta que rende 2 ao ano capitalizados continuamente qual o valor futuro do fluxo de renda apos 10 anos 132 Aplicacoes da Integral Resposta Para obtermos o valor futuro fazemos a seguinte integral V F e00210 ˆ 10 0 1500e002tdt e021500 ˆ 10 0 e002tdt 1830 98 ˆ 10 0 e002tdt 1830 98 h 50e002ti10 0 16549 26 4 105 Indice de Gini O ındice de Gini e um valor usado na maioria das vezes para medir a desigualdade de distribuicao de renda de um paıs O nome deste indicador foi dado em homenagem ao estatıstico Conrrado Gini que criou este calculo em 1912 Oındice de Gini varia numa escala de 0 quando nao ha desigualdade na distribuicao de renda a 1 com desigualdade maxima Assim quanto menor for o valor do ındice de Gini mais igualitario o paıs esta em relacao a distribuicao de renda Graficamente oındice de Gini e representado a partir da Curva de Lorenz assim de nominada em homenagem ao economista americano Max Otto Lorenz 1905 que mostra a proporcao acumulada da renda em relacao a proporcao acumulada da populacao Ou seja a curva de Lorenz e o grafico de uma funcao Lp que associa cada p 2 0 1 a uma fracao da renda obtidos pelos 100p mais pobres de um grupo ou populacao Esta funcao e crescente convexa com o seu grafico abaixo da reta identidade no intervalo 0 1 a qual chamamos de reta de igualdade perfeita Em outras palavras se a populacao esta alinhada por ordem crescente das partes de sua renda entao a cada p 2 0 1 o numero Lp que denota a Curva de Lorenz e a fracao da totalidade deste bem pertencente a fracao p mais pobre da populacao veja a Figura 105 Podemos chamar a area entre a reta de igualdade perfeita e a curva de Lorenz de area de concentracao Por definicao o ındice de Gini que vamos denotar por IG e a razao entre o valor da area de concentracao e a area total do triˆangulo retˆangulo formado pela reta de igualdade perfeita no intervalo 0 1 Assim o ındice de Gini e obtido fazendo IG 1 0 p Lp dp 12 2 ˆ 1 0 p Lp dp Observacao 109 Faca uma pesquisa para encontrar o valor do ındice de Gini do Brasil e suas regioes e compare com o ındice de Gini de outros paıses 106 Exercıcios 133 Figura 105 Curva de Lorenz e Reta de Igualdade Exemplo 1010 A distribuicao de renda para um certo paıs esta representada pela seguinte curva de Lorenz Lx 5 12x2 7 12x Responda 1 Qual a porcentagem da renda total esta com 50 das famılias mais pobres E com 80 das famılias Resp L0 5 39 e L0 8 74 2 Qual o ındice de Gini deste paıs Resp IG 2 1 0 x 5 12x2 7 12x dx 0 14 4 106 Exercıcios Os exercıcios desta secao foram retirados de 1 2 5 e 7 1 Se a demanda de um certo produto e dada pela expressao 100p 1600 x2 e a oferta pela expressao 400p x2 2400 onde p e o preco em relacao as quantidades Ache o excedente total da economia se prevalecer o equilıbrio de mercado 2 Uma empresa espera que sua receita nos proximos 10 anos seja Pt 108t Se existe uma taxa de inflacao de 10 ao ano qual o valor atual da receita 134 Aplicacoes da Integral 3 Uma empresa espera que sua receita decresca continuamente segundo Pt 1000 2t Determine o valor atual se estes recursos sao aplicados a uma taxa anual de 8 continuamente Resp 129340 um 4 O valor futuro de um fluxo de renda e denotado por V F esT ˆ T 0 Ptestdt onde Pt representa o fluxo contınuo de renda de uma empresa em umano t e o tempo transcorrido em anos e s a taxa de juros anual capitalizados continuamente e T o tempo da anuidade em anos a Se se deposita 1500 numa conta anualmente que rende 2 de juros ao ano capitalizados continuamente Qual o valor futuro do fluxo de renda apos 10 anos Resp 166052 um b Um certo produto gera para uma empresa uma renda contınua de 250000 reais por ano Tal renda e corrigida a uma taxa anual de 10 capitalizados continuamente Qual e o valor futuro do fluxo de renda apos 20 anos Resp 1597275025 um 5 Se K Kt representa o montante o montante de capital de uma empresa no instante t e I It representa a taxa de investimento lıquido por perıodo de tempo entao Kt ˆ Itdt Sendo It 5t25 dado em milhoes de reais e K0 100 determine o fluxo do montante existente 6 O Excedente do Consumidor representa o benefıcio que o consumidor obtem quando paga um preco inferior ao que realmente estaria disposto a pagar Utilizando o ex cedente do consumidor como medida de como medida de conforto do consumidor se o excedente e grande maior e o conforto do consumidor O Excedente da Producao representa o benefıcio que o produtor obtem por vender o seu produto a um preco superior ao preco fixo de mercado Usando o excedente da producao como medida de conforto do produtor se o excedente e grande maior e o conforto do produtor O excedente total da economia e a soma dos dois anteriores a Determine o excedente do consumidor de um produto que custa 20 reais e tem como funcao de demanda fx 402x se prevalecer o equilıbrio de mercado Resp 100 reais 106 Exercıcios 135 b Determine o excedente da producao se o produto custa 30 reais e tem como funcao de oferta fx 4x 10 prevalecendo o equilıbrio de mercado Resp 50 reais c Se a demanda de um certo produto e 100p 1600 x2 e a oferta 400p x2 2400 ache o excedente total da economia se prevalecer o equilıbrio de mercado Resp 188854 reais 7 Um orgao do governo verifica que as curvas de Lorenz para a distribuicao de renda dos dentistas e medicos em um certo estado sao dadas pelas funcoes L1x x17 e L2x 0 8x2 0 2x respectivamente Para que profissao a distribuicao de renda e mais homogˆenea Resp G1 0 2593 e G2 0 2667 logo para os dentistas a distribuicao da renda e mais homogˆenea 8 Um estudo sugere que as curvas de Lorentz para as distribuicoes de renda dos engenheiros de computadores e os corredores de acoes sao das pelas funcoes L1x x18 e L2x 0 75x2 0 25x Para qual das profissoes a distribuicao de renda e mais homogˆenea Aula 11 Integral impropria Nesta aula estamos interessados em dar significado a integrais do tipo ˆ 1 a fx dx ˆ a 1 fx dx e ˆ 1 1 fx dx Definicao 111 Seja f integravel em a b para todo b a Definimos ˆ 1 a fx dx lim b1 ˆ b a fx dx desde que o limite exista e seja finito Tal limite denominase integral impropria de f Observacao 112 Se 1 a fx dx for 1 ou 1 escreveremos 1 a fx dx 1 ou 1 a fx dx 1 Se ocorrer um destes casos ou se o limite nao existir diremos que a integral impropria e divergente Se o limite for finito diremos que a integral impropria e convergente Exemplo 113 Calcule as integrais 1 ˆ 1 1 1 x2 dx 2 ˆ 1 1 1 x dx Resolucao 1 ˆ 1 1 1 x2dx lim b1 ˆ b 1 x2dx lim b1 h 1 x ib 1 lim b1 h 1 b 1 i 1 Logo a integral impropria e convergente 2 ˆ 1 1 1 xdx lim b1 ˆ b 1 1 xdx lim b1 h ln x ib 1 lim b1 h ln b ln 1 i 1 Logo a integral impropria e divergente 138 Integral impropria 4 Exemplo 114 Vamos supor que engenheiros estimaram que um determinado poco pro duzira gas natural a uma taxa de ft 700e02t milhares de metros cubicos mensais onde t e o tempo desde o inıcio da producao Estimar a quantidade total de gas natural que podera ser extraıda desse poco ou seja obtenha o valor de ˆ 1 0 700 e02t dt Solucao ˆ 1 0 700 e02t dt 700 lim b1 ˆ b 0 e02t dt 700 lim b1 he02t 0 2 ib 0 700 lim b1 he02b 0 2 1 0 2 i 3500 Assim poderemos extrair no total 3500 milhares de metros cubicos de gas natural 4 Definicao 115 Se f e contınua para todo x 6 b definimos ˆ b 1 fx dx lim a1 ˆ b a fx dx se este limite existir Se f e contınua para todo x definimos ˆ 1 1 fx dx lim a1 ˆ 0 a fx dx lim b1 ˆ b 0 fx dx se este limite existir Exemplo 116 Faca os calculos e responda se as integrais abaixo sao convergentes ou divergentes 1 ˆ 2 1 1 4 x2 dx 2 ˆ 1 1 e2x dx Resolucao 1 ˆ 2 1 1 4 x2 dx lim a1 ˆ 2 a 1 4 x2 dx lim a1 h 1 4 x i2 a lim a1 h1 2 1 4 a i 1 2 Logo a integral e convergente 2 ˆ 1 1 e2x dx lim a1 ˆ 0 a e2x dx lim b1 ˆ b 0 e2x dx lim a1 he2x 2 i0 a lim a1 he2x 2 ib 0 1 Logo a integral e divergente 111 Aplicacoes a teoria de probabilidade 139 4 Observacao 117 Suponhamos que fx 0 no intervalo a 1 e integravel em a b para todo b a Seja A o conjunto de todos os pontos x y tais que 0 6 y 6 fx e x a Definimos a area de A por area ˆ 1 a fx dx 111 Aplicacoes a teoria de probabilidade Definicao 118 Uma funcao f positiva e integravel e chamada funcao densidade de probabilidade se ˆ 1 1 fx dx 1 Assim denotamos e definimos a probabilidade de um numero x estar compreendido entre a e b por Pa 6 x 6 b ˆ b a fx dx Exemplo 119 Mostre que de fato as funcoes abaixo sao funcoes densidade de proba bilidade 1 Funcao densidade de probabilidade da distribuicao uniforme fx 8 1 ba se a 6 x 6 b 0 caso contrario 111 2 Funcao densidade de probabilidade da distribuicao exponencial fx 8 ex se x 0 0 caso contrario 112 Solucao 1 ˆ 1 1 fx dx ˆ b a 1 b a dx 1 b a ˆ b a 1 dx 1 b a h x ib a 1 b a b a 1 2 ˆ 1 1 fx dx ˆ 1 0 ex dx lim b1 ˆ b 0 ex dx lim b1 hex ib 0 lim b1 h exib 0 lim b1 1 eb 1 1 140 Integral impropria 4 Exemplo 1110 Um atacadista vende entre 100 e 200 toneladas de graos com distri buicao uniforme de probabilidade Sabese que o ponto de equilıbrio das vendas e 130 toneladas Determine a probabilidade de que o comerciante tenha prejuızo Solucao Na funcao de distribuicao uniforme de probabilidade fazemos a 100 e b 200 em 111 Segundo o enunciado deste exercıcio teremos prejuızo se vendermos abaixo do equilıbrio que sao 130 toneladas Assim o que devemos calcular e Px 6 130 ˆ 130 100 1 100 dx 1 100 h x i130 100 30 100 0 30 30 4 Exemplo 1111 O tempo de espera de atendimento num banco e uma variavel aleatoria com distribuicao de probabilidade exponencial onde o parˆametro 0 1 Sabendo que o tempo medio de espera e 10 minutos qual a probabilidade do tempo de espera ser superior a media Solucao Na funcao de distribuicao exponencial de probabilidade fazemos 0 1 em 112 e calculamos Px 10 ˆ 1 10 0 1 e01x dx 0 1 lim b1 ˆ b 10 e01x dx lim b1 h e01xib 10 1 e 0 3678 36 78 4 Esperanca e variˆancia para variaveis contınuas O valor esperado ou esperanca de uma variavel aleatoria X que assume o valor ai com probabilidade pi para i 1 n e definido como sendo a media ponderada EX n X i1 aipi Podese mostrar que EX ˆ 1 1 x fx dx onde f e a funcao de densidade de probabilidade Alem disso definimos a variˆancia de uma variavel aleatoria X como V X EX2 EX2 O desvio padrao e σ p V X ele mede a dispersao dos pontos ao redor da media 112 Exercıcios 141 Exemplo 1112 Se a venda de cimento em toneladas de uma fabrica segue a seguinte funcao de densidade de probabilidade fx 8 3 21 x2 se 0 6 x 6 1 0 caso contrario Determine o valor esperado das vendas e o desvio padrao Solucao Primeiramente vamos calcular o valor esperado das vendas EX ˆ 1 1 xfx dx ˆ 1 0 x3 21x2 dx 3 2 ˆ 1 0 xx3 dx 3 2 hx2 2 x4 4 i1 0 3 8 0 375 Agora vamos calcular a variˆancia V X EX2 EX2 ˆ 1 1 x2 fx dx 0 3752 Agora vamos resolver EX2 ˆ 1 1 x2 fx dx ˆ 1 0 x2 3 21 x2 dx 3 2 ˆ 1 0 x2 x4 dx 3 2 hx3 3 x5 5 i1 0 1 5 0 20 Logo a variˆancia sera V X 0 20 0 3752 0 059375 e o desvio padrao σ p 0 059375 0 24 Assim o valor esperado das vendas e de 0375 toneladas com um desvio padrao de 024 toneladas 4 112 Exercıcios Os exercıcios desta secao foram retirados de 3 7 e 9 1 Seja a funcao fx 8 0 se x 0 ax se 0 6 x 6 12 a1 x se 12 6 x 6 1 0 se x 1 142 Integral impropria a Determine a constante a tal que f seja a funcao de densidade de probabilidade Resp a 4 b Calcule Px 6 12 e P12 6 x 6 34 Resp Px 6 12 12 e P12 6 x 6 34 38 c Faca o grafico de f 2 Um ponto e escolhido aleatoriamente no intervalo 0 10 Determine a probabili dade de que o ponto escolhido esteja entre 8 e 86 se a funcao de densidade de probabilidade e dada pela distribuicao uniforme Resp 6 3 Se uma funcao tem distribuicao uniforme de probabilidade mostre que EX ba 2 e V x ba2 12 4 Um atacadista vende entre 100 e 200 toneladas de graos com distribuicao uni forme de probabilidade Determine a esperanca a variˆancia e o desvio padrao desta operacao Resp Ex 150 toneladas V x 833 3 5 Definimos a funcao de densidade de probabilidade da distribuicao de Pareto por fx 8 β x1 se x β 0 caso contrario com 1 e β 0 Numa populacao a renda e distribuıda segundo a distribuicao de Pareto com 3 e β 1000 Qual a probabilidade de que uma pessoa ganhe mais de 5000 um Resp 08 Qual a probabilidade de que uma pessoa ganhe entre 2000 um e 3000 um Resp 879 Calcule a renda media usando a distribuicao acima Qual a probabilidade que a pessoa ganhe abaixo da media Resp Renda media Ex 1500 e PX 6 1500 70 6 A lei da renda de Pareto afirma que o numero de pessoas com renda entre a e b e igual a N ˆ b a Axkdx onde A 1 e k 0 Sabese que a renda media destas pessoas e x 1 N ˆ b a Ax1kdx Mostre que x 1kb2ka2k 2kb1ka1k Referˆencias Bibliograficas 1 A C Chiang K Wainwright Matematica para Economistas Campus 4a edicao 2006 2 D M Flemming M B Goncalves Calculo A funcoes limite derivacao nocoes de integracao Pearson Education 1992 3 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de calculo vol 2 Grupo GenLTC 2000 4 A Howard B Irl D Steephen P Thomas Calculusearly transcendentals vol 2 Wiley 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