Integral Lista de Calculo 1

Lista de Exercícios Integrais 01 Determine a primitiva para cada função Verifique suas respostas derivando a fx 6x b fx x4 2x 3 c fx 12x³ d fx x 1x e fx 13 x23 f fx π senπx g fx 23 sec²2π3 h fx secπ2 tgπ2 02 Calcule as integrais Verifique suas respostas diferenciando a x 1 dx b ex 4x dx c x ³x dx d 21 y² 1y14 dy e tt tt² dt f 7 senθ3 dθ g 1 tg²θ dθ h cosθtgθ secθ dθ i cosecθcosecθ senθ dθ 03 Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique sua resposta a x sen x dx x²2 sen x C b x sen x dx x cos x C c x sen x dx x cos x sen x C 4 Calcule as integrais indefinidas a x 3 dx b 2x 3x² dx c x23 2x 1 dx d ³x² dx e 1x³ dx f x² x 1x dx g x 13x 2 dx h y² y dy i x²2 3ex dx j 1 2t³t³ dt 5 Calcule as integrais indefinidas a 2 sen x 3 cos x dx b 1 cossect cotgt dt c sec² θ senθ dθ d tg² y 1 dy e sen xcos² x dx f dycossec y 6 Suponha fx uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função Fx tal que y Fx satisfaça a equação dydx fx As soluções desta equação são as antiderivadas de fx A equação dydx fx é chamada de equação diferencial Resolva a equação diferencial abaixo a dydx x 1x y1 2 b dydt sec² t sen t yπ4 1 7 Determine a curva y fx no plano xy que passa pelo ponto 9 4 e cujo coeficiente angular em cada ponto é 3x 8 Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial a 64 metros por segundo de uma altura inicial de 80 metros a Encontre a função posição escrevendo a altura s em função do tempo t b Quando a bola atinge o chão 9 Na Lua a aceleração da gravidade é16ms² Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois Quão fundo ela caiu Qual era a velocidade no instante do impacto 10 A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da solução da equação v dv GM 1y² dy onde v é a velocidade do objeto lançado da Terra y é a distância ao centro da Terra G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra Mostre que v e y estão relacionados pela equação v² v₀² 2GM 1y 1R onde v0 é a velocidade inicial do objeto e R é o raio da Terra Sugestão use o fato que se y R então v v0 11 O fabricante de um automóvel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25 quilômetros por hora para 80 quilômetros por hora Supondo aceleração constante calcule a A aceleração em metros por segundo ao quadrado b A distância que o carro percorre durante 13 segundos 12 Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas a x sen2x² dx u 2x² b 287x 2⁵ dx u 7x 2 c θ² dr1 r³ u 1 r³ d x sen² x³2 1 dx u x³2 1 e cosec² 2θ cotg 2θ dθ i use u cotg 2θ ii use u cosec 2θ 13 Calcule as integrais fazendo a substituição adequada a e2x dx b x 2 x²³ dx c cos8x dx d x² e²ˣ³ dx e x² sec² x³ dx f dxex g eyy dy h sen² 3x cos 3x dx 14 Calcule as integrais a 32s ds b θ41 θ2 dθ c 1x² 12 dx d r²r³18 1⁵ dr e 4dtt1ln²t f sen2t1cos²2t1 dt 15 Se você não souber qual substituição deve fazer tente reduzir a integral passo a passo usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais Experimente fazer as substituições a seguir e depois tente sozinho a18tg²xsec²x2tg³x dx i u tgx seguida por v u³ e depois por w 2 v ii u tg³x seguida por v 2 u iii u 2 tg³x b 2r1cos32r1² 632r1² 6 dr c senθθ cos³θ dθ 16 Que valores de a e b maximizam o valor de ab x x² dx 17 Calcule as integrais a ₀¹ x² x dx b π4³π4 cosecθ cotgθ dθ c ₀¹ x ex² dx 18 Determine as derivadas calculando a integral e diferenciando o resultado e depois diferenciando a integral diretamente a ddx ₀x cos t dt b ddx ₁sen x 3t² dt 19 Determine dydx a y ₀ˣ 1 t² dt b y ₀x sent² dt c y ₁ˣ¹³ et³ 1 dt 20 Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral a ₀¹ 1 2x³ dx b ₀π sen²1 θ2 dθ c ₀π sen²π4 cosπ4 dx 21 Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário a 14 x dx b ₀² 1 x2 dx c ₀² 2 dx d ₁² 2x 3 dx e ₀² 4 x² dx f ₀¹ x 21 x² dx 22 Ache a área sob a curva y fx no intervalo dado a fx x3 2 3 b fx x 1 9 c fx ex 1 3 23 Determine a área das regiões sombreadas a y2 y 1cos x xπ b y2 y sec² x x1 y 1x² c yx² y x⁴ 2x² d y x⁴ 4 y x² 2x d 24 Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo a ₃⁰ x² 4x 7 dx b ₁³ 1x² dx c ₄⁰ 2xx dx d π2π4 senθ dθ e π4π4 cos x dx f ln2³ 5e² dx g ₁⁴ 3t 5t t³₂ dt h π²π x 2sen² x dx 25 Use a fórmula da substituição para calcular as integrais a π4⁰ tg x sec² x dx b ₀π 3cos² x sen x dx c ₀⁷ tt² 1¹³ dt d ₀³ 4xx² 1 dx e ³³ 4xx² 1 dx f lnπ₂π6 2eᵛ coseᵛ dν 26 Esboce o gráfico da função no intervalo dado Depois integre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o gráfico e o eixo x a y x² 6x 8 0 3 b y 2x x² 0 3 27 Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas a y x² 2 e y 2 b y x² e y x² 4x c y x⁴ 4x² 4 e y x² d y 2senx e y sen2x 0 x π 28 Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y x e x 2 a curva y 1x² e o eixo x 29 Determine a área da região entre a curva y 3 x² e a reta y 1 30 Ache a área total entre a curva y x² 3x 10 e o eixo x no intervalo 3 8 Faça um esboço da região 31 Calcule a integral definida a ₀¹ 2x 1⁴ dx b ₀⁸ x1 x dx c ₀π22 4sen x2 dx d 34¹ sen x cos x dx e ₀¹ dx3x 1 f ₀¹ y²4 3y dy g ₀ᵉ dxx e 32 Esboce a região entre as curvas no intervalo dado e calcule a sua área a y x² y x x 14 x 1 b y cos 2x y 0 x π4 x π2 c x sen y x 0 y π4 y 3π4 d y 2 x 1 y 15x 7 e y x y 4x y x 2 f y senx y cos 2x x π6 y π6 33 A superfície de uma parte de uma máquina é a região entre os gráficos das funções y₁ x e y₂ 0 08x² k conforme a figura abaixo a Determine o valor de k se a parábola é tangente ao gráfico de y1 b Determine a área da superfície desta parte da máquina 34 Calcule a integral usando a integração por partes a x cos 5x dx b ln2x 1 dx c arctg 4t dt d sen¹ x dx e e²θ sen 3θ dθ f ₀π t sent dt g ₀¹₂ cos¹ x dx 35 Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade vt t²e¹ Até onde irá a partícula no tempo t 0 a t 5 36 O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma ωₖω t senkωt dt onde k é um inteiro e w é uma constante não nula Calcule a integral 37 Calcule a integral a cos³ 2x dx b sen² 2t cos³ 2t dt c sen x cos 2x dx d ₀π6 sen 2x cos 4x dx e sec 2x dx f tg² x sec² x dx g ₀π6 tg² 2x dx 38 A integral xx² 4 dx pode ser calculada ou por substituição trigonométrica ou pela substituição u x² 4 Calculea das duas maneiras e mostre que os resultados são equivalentes 39 Use frações parciais para achar a integral a 1x² 1 dx b 3x² x 2 dx c 5 x2x² 2x 1 dx d x² 12x 12x³ 4x dx e 2x³ 4x² 15x 5x² 2x 8 dx 40 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas Esboce a região a y 1x x 1 x 2 y 0 em torno do eixo x b x 2y x 0 y 9 em torno do eixo y c y x³ y x x 0 em torno do eixo x d y x y x em torno de y 1 e y x² x y² em torno de x 1 41 Cada integral representa o volume de um sólido Descreva o sólido a π ₀π2 cos²x dx b π ₀¹ y⁴ y⁸ dy