Intervalos de Confiança para Populações Normais e Outros Modelos Estatísticos

6 Intervalo de Confiança Teoremas do Capítulo I Populações Normais Xnμ σ n N01 ICγμ x σ n zγ 2 x σ n zγ 2 Xnμ Sn1 n Tn 1 ICγμ x s n tγ 2 x s n tγ 2 n1Sn1 2 σ2 χ2n 1 ICγσ2 n1s2 q2 n1s2 q1 II Populações Gama ICγα q1 2nx q2 2nx ICγμ ICγ 1 α 2nx q1 2nx q2 III Populações Uniformes ICγθ b bx1 1γ 2 1 n b bx1 1γ 2 1 n IV Populações Exponenciais Truncadas ICγA y 1 ρ ln 2 1γ y 1 ρ ln 2 1γ V Teorema Central do Limite Zn Snζn τn Zn n Xμ σ d n N01 VI Aproximação Normal na População Gama ICγ aproxα 1 1 nzγ 2 x 1 1 n zγ 2 x ICγ aproxα x 1 1 nzγ 2 x 1 1 n zγ 2 VII Aproximação Normal na População Poisson φλ λ2 2x z2 n λ x2 ICγ aproxλ λ λ ICγ aproxλ x z2 2n z 2n z2 4nx x z2 2n z 2n z2 4nx VIII Aproximação Normal na Proporção p p zγ 2 p1 p n Correto eleva os dois lados ao quadrado e resolve a equação do 2º grau Estimado utiliza o estimador do desvio padrão da proporção p1 p n Conservador utiliza o valor máximo de p1 p 1 4 p1 p n 1 4n Questões selecionadas 1 A altura das alunas de Economia em cm é uma a va𝐗𝐍𝛍 𝛔𝟐 Uma amostra simples com 37 observações de X foi obtida e as estimativas amostrais não viesadas da média e variância foram respectivamente 𝐱 𝟏𝟕𝟐 𝐬𝟐 𝟐𝟓 a Construa um intervalo de confiança 95 para a altura média da população das alunas Temos para o IC095μ x s n t002536 172 5 37 20281 172 1667 IC095μ 1703317366 2 O candidato às eleições distritais deseja obter uma boa estimativa da proporção p dos eleitores que votarão nele Ele deseja que a precisão da estimativa seja da ordem de 3 para mais ou para menos com 95 de chances Para ser eleito é necessário mais de 50 dos votos no distrito Antes da eleição uma pesquisa de opinião junto ao Instituto Constata é encomendada a Quantos eleitores o Instituto Constata deverá entrevistar n z0975 2 p p 2 n 196 2003 2 10671 1068 b Com o tamanho da amostra obtido no item anterior a estimativa amostral obtida foi 048 Usando o TCL calcule o Intervalo de Confiança Amostral à 95 para a proporção p Temos n 1068 p 048 z0975 196 Intervalo de Confiança Amostral Estimase a variância da proporção amostral por sua estimativa amostral p1 p n 048052 1068 23371 104 O desviopadrão é 23371 104 0015288 IC095p 045004 050996 045 051 c Com base no intervalo obtido existe indicação estatística para a eleição deste candidato Existe indicação amostral para a eleição do candidato pois 050 IC095p 3 O número de cartões amarelos recebidos pelos jogadores nas partidas do Brasileirão é uma va 𝐏𝐨𝐢𝐬𝐬𝐨𝐧𝐗 com média 𝛌 𝟎 desconhecida Nas últimas 20 partidas do presente torneio o número médio de cartões por partida foi de 𝐱 𝟑 Usando o TCL calcule um Intervalo de Confiança 95 para 𝛌 Temos n 20 λ 3 z0975 196 λ λ λ n z λ λ 2 1 n λz2 φp λ2 2λ 1 n z2λ λ2 0 Levando em conta os valores do enunciado para esta expressão φp λ2 23 1 20 1962 λ 32 φp λ2 61921λ 9 0 S λ 38612 λ 23309 Logo o intervalo de confiança a 95 para o número médio de cartões amarelos por partida é IC095λ 233 386 4 A altura dos alunos de Economia em cm é uma a va 𝐗𝐍𝛍 𝟑𝟔 Uma amostra simples com 81 observações de X foi obtida e a estimativa amostral não viesada da média foi𝐱 𝟏𝟕𝟒 a Construa um intervalo de confiança 95 para a altura média da população dos alunos Temos para o IC095μ x σ n z0975 174 6 81 196 174 13067 17269 IC095μ 17269 17531 5 Dentre os turistas que chegam à cidade de Petrópolis a proporção p dos que visitam o Museu Imperial é um parâmetro desconhecido No plano experimental elaborado para estimálo a Secretaria de Turismo da cidade deseja que o erro absoluto incorrido na estimativa 𝐩 não ultrapasse 2 com 95 de chances a Em uma perspectiva conservadora quantos turistas devem ser aleatoriamente consultados n z0975 2 p p 2 196 2002 2 2401 b Com o tamanho da amostra obtido no item anterior a estimativa amostral obtida foi 072 Usando o TCL calcule o Intervalo de Confiança Exato à 95 para a proporção p n 2401 p 072 z0975 196 p p p1 p n zγ 2 p p2 1 n p1 pz2 φp 1 1 n z2 p2 2p 1 n z2p p2 0 φp 1 1 2401 1962 p2 2072 1 2401 1962p 0722 φp 10016p2 14416p 05184 0 S p 070170 p 073760 IC095 exatop 0701 0737 6 Considere a va 𝐗𝐍𝟎𝛔𝟐 e uma amostra simples com 41 observações de X A estimativa amostral não viesada da variância é 𝐬𝟐 𝟗 a Construa um intervalo de confiança 90 para a variância da população Como a média é conhecida temos 41S2 σ2 χ241 Para Pq1 χ241 q2 090 obtemos por integração 1 2 41 2 Γ41 2 x 41 2 1ex 2 q 0 095 S q 56942 1 2 41 2 Γ41 2 x 41 2 1ex 2 q 0 005 S 27326 Deste modo 2733 419 σ2 5694 648 369 5694 σ2 369 2733 1350 IC090σ2 648 1350 Quem considerou 40S2 σ2 χ240 encontrou q1 2651 e q2 557 A resposta ficaria IC090σ2 646 1358 7 Para testar a eficácia da vacina Vacunavac testes para a presença de anticorpos neutralizantes foram realizados em 100 adultos vacinados dos quais 85 apresentaram resultado positivo a Construa um Intervalo de Confiança exato de nível 95 para a proporção p dos imunizados por esta vacina n 100 p 085 z0975 196 p p p1 p n zγ 2 p p2 1 n p1 pz2 φp 1 1 n z2 p2 2p 1 n z2p p2 0 φp 1 1 100 1962 p2 2085 1 100 1962p 0852 φp 10348p2 17384p 07225 0 S p 076718 p 090693 IC095 exatop 0767 0907 b Em uma perspectiva conservadora com grau de confiança 95 na estimação da proporção dos imunizados você tolera um erro amostral máximo de 3 para mais ou para menos Quantos vacinados deverão então ser testados n zγ 2 2p p 2 196 2003 2 10671 1068 8 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝟐𝟓 uma amostra simples de uma população 𝐗𝛘𝟐𝐯 Sabendo que a média amostral é𝐱 𝟐𝟔 use o TCL para obter um intervalo deconfiança aproximado para os graus de liberdade v 𝐈𝐂𝟗𝟓 𝐚𝐩𝐫𝐨𝐱𝐯 Temos EX v VX 2v n e lim n n Xv 2v ZN01 TCL Então n Xv 2v z095 2 25 26v 2v 196 25 26v2 2v 1962 262 v2 52v 21962 25 v 030733v φv v2 5230733v 676 0 S v 28985 v 23323 IC095v 23 29 9 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝟕𝟏 uma amostra de uma população 𝐗𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝛍 𝛔 com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛔 𝟏 𝟐𝛔 𝐞𝟏 𝛔𝐱𝛍 𝐱 ℝ Lembre que o estimador MV de 𝛍 é a mediana amostral 𝐗𝟑𝟔 e que 𝐕𝐗 𝟐𝛔𝟐 Suponha 𝛔 𝟒 a mediana amostral 𝐱𝟑𝟔 𝟏𝟐 e média amostral 𝐱 𝟏𝟏 Temos o seguinte teorema para a estatística ordenada de ordem r 𝐗𝐫 𝐧𝐗𝐫 𝐅𝐗 𝟏𝐩 𝐟𝐗 𝐅𝐗 𝟏𝐩 𝐩𝟏 𝐩𝟏 𝟐 𝐝 𝐧 𝐍𝟎 𝟏 onde 𝐫 𝐧𝐩 é o menor inteiro maior que np a Use o teorema da convergência normal das estatísticas de ordem enunciado na Questão 3 para calcular um Intervalo de Confiança 95 para 𝛍 M X36 p 1 2 FX 11 2 μ fX FX 11 2 fXμ 1 8 71 M μ 1 2 1 1 2 1 8 z095 2 12 μ 4 71 196 093044 12 093044 μ 12 093044 IC095μ 11070 12930 A 12930 11070 186 b Use o TCL para obter o IC 95 para 𝛍 baseado na média amostral n X μ 2σ2 z095 2 71 11 μ 19642 11 μ 196 71 42 13158 11 13158 μ 11 13158 IC095μ 9684 12316 A 12316 9684 2632 c Compare a amplitude dos intervalos obtidos em a e b Explique a coincidência obtida A média amostral não é uma estatística suficiente para μ na população Laplace por isso a estimação intervalar baseada na distribuição assintótica da média é menos precisa que aquela baseada na distribuição assintótica da Mediana que é a estatística suficiente para μ A amplitude do intervalo em a é 30 menor que a amplitude do intervalo em b 10 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝟓𝟎 amostra de uma população𝐗𝐔𝐧𝐢𝐟𝟎 𝛉 a Se o máximo amostral é 𝐱𝟓𝟎 𝟐𝟎 use a distribuição de 𝐗𝟓𝟎 para obter um intervalo de confiança 095 para 𝛉 Temos FXnx x θ n x 0 θ 1 x θ Sejam a b tais que PXn a 0025 e PXn b 0025 Então a θ n 0025 e b θ n 0975 a 00251 n θ e b 09751 n θ Logo P00251 n θ Xn 09751 n θ 095 xn 09751 n θ xn 00251 n 20 09751 50 θ 20 00251 50 2001 θ 21531 IC095θ 2001 21531 A 21531 2001 1521 b Se a média amostral calculada é 𝐱 𝟏𝟎 use o TCL para obter um Intervalo de Confiança 95 para 𝛉 TCL lim n n Xθ 2 θ2 12 ZN01 n X θ 2 θ2 12 z095 2 50 10 θ 2 θ2 12 196 10 θ 2 2 1962 600 θ2 20 θ2 1962 150 θ2 0 φθ 097439 θ2 40 θ2 400 0 Resolvendo para φθ 0 S θ 17241 θ 2381 IC095θ 17241 2381 A 2381 17241 656 c Explique a diferença nas amplitudes obtidas entre os intervalos calculados nos dois itens anteriores Neste caso o intervalo para θ baseado na estatística suficiente X50 tem amplitude na ordem de 4 vezes menor que aquele baseado na aproximação Normal pela média amostral Lembre que X não é uma estatística suficiente para θ na população uniforme 11 O candidato às eleições distritais deseja obter uma boa estimativa sobre a proporção p dos eleitores do seu distrito que votarão nele Ele deseja que a precisão da estimativa seja da ordem de 1 5 para mais ou para menos com 95 de chances Para ser eleito é necessário mais de 50 dos votos no distrito Antes da eleição uma pesquisa de opinião junto ao Instituto Constata é encomendada a Quantos eleitores o Instituto Constata deverá entrevistar p p p1 p n zγ 2 p p 1 4n zγ 2 2np p zγ 2 n zγ 2 2p p 2 n 196 20015 2 42684 4269 QUESTÕES SELECIONADAS CAPÍTULO VI 1 221 T2 Q1a 2 221 T2 Q2abc 3 221 T2 Q3 4 221 P2 Q1a 5 221 P2 Q3ab 6 211 T2 Q1a 7 211 T2 Q5ab 8 202 T2 Q1 9 202 T2 Q2abc 10 202 T2 Q3abc 11 202 T2 Q6a