Lista Calculo 1

1 res 1 2 res 2 3 res 3 Nos itens abaixo esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede domínio D de f paridade de f equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico intervalos de D em que f é contínua pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima onde é para baixo e os seus pontos de inflexão extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem imagem de f 1 fxx32x 3 fx3x1x22x3 4 fx11x1x2 2 fxx1x23 5 fxx5arctanx 1 D00 nem par nem impar contínua em D assíntota vertical x0 não tem assíntota horizontal não tem reta tangente vertical crescente em 100 decrescente em 1 mínimo relativof13 não tem máximo relativo concavidade para cima em 032 para baixo em 032 ponto de inflexão32f32320 não tem mínimo absoluto pois lim x0 fx não tem máximo absoluto pois lim x0 fx imagem 2 D nem par nem impar contínua em D não tem assíntota vertical não tem assíntota horizontal reta tangente vertical x0 crescente em 025 decrescente em 225 mínimo relativof2532025 máximo relativof00 concavidade para cima em 1500 para baixo em 15 ponto de inflexão156525 não tem mínimo absoluto pois lim x fx não tem máximo absoluto pois lim x fx imagem Esboce os gráficos das funções abaixo 1 fxe1x 2 fxx2lnx 3 fxxex 1 Dfℝ0 lim x fx1 lim x fx1 lim x0 fx0 lim x0 fx Assíntota horizontal y1 Assíntota vertical x0 fxe1xx2 Então fx0 em ℝ0 Logo fx é decrescente em ℝ0 e não tem pontos críticos fxe1x12xx4 Então fx012x0 ou x12 Temos um ponto de inflexão em x12 concavidade para baixo em 2 concavidade para cima em 200 2 Df0 lim x0 fx0 lim x fx fxx2lnx1 Logo fx02lnx10 e temos um ponto crítico em x1e Então f é decrescente em 0e12 crescente em e12 e tem um mínimo absoluto em f1e1e2 fx2lnx3 Ponto de inflexão xe32 concavidade para baixo em 0e32 concavidade para cima em e32 3 Dfℝ lim x fx lim x fx0 Assíntota horizontal y0 fxex1x Ponto crítico em x1 f é crescente em 1 decrescente em 1 com um máximo absoluto f11e fxex2x Ponto de inflexão em x2 concavidade para baixo no intervalo 2 concavidade para cima em 2 Sejam f e g funções com domínio ℝ e cujos gráficos estão representados abaixo Dos gráficos abaixo indique os que representam as funções derivadas f f g e g Gráfico 1 Gráfico 3 Gráfico 5 Gráfico 2 Gráfico 4 Gráfico 6 res 6 7 res 7 8 res 8 9 res 9 10 11 res 11 12 res 12 Portanto a área de R é from 2 to 3 gx fx dx from 2 to 3 6 x x² dx 6x x²2 x³3 from 2 to 3 63 3²2 3³3 62 2²2 2³3 1256 2 A área de R é from 2 to 4 x² 2x dx from 2 to 0 x² 2x dx from 0 to 2 x² 2x dx from 2 to 4 x² 2x dx 443 3 A interseção entre as curvas x2 e xy²1 ocorre quando y² 1 2 0 ou seja y 1 Vemos que a região R está entre os gráficos xgy e xfy onde fy y² 1 e gy 2 note os eixos trocados Como entre y1 e y1 temse gy fy temos que a área de R é from 1 to 1 2 y² 1 dy from 1 to 1 1 y² dy y y³3 from 1 to 1 1 1³3 1 1³3 43 4 Se um ponto xy está na região R então vale x² y x o que quer dizer em particular que x 0 e x² x¹² e portanto x¹² 1 Logo 0 x 1 Dado que para x 01 temos x² x¹² a área de R será from 0 to 1 x¹² x² dx x³2 32 x³3 from 0 to 1 23 13 13 5 Como as funções fx x e gx x² são ambas pares a região R será simétrica com relação ao eixo y Em particular se R e R denotam os conjuntos de pontos de R à direita e à esquerda do eixo y respectivamente R e R têm a mesma área Logo a área de R é duas vezes a área de R Para achar onde os gráficos de f e g se intersectam à direita do eixo y resolvemos fxgx com x 0 Isso equivale a x² x e x 0 que é o mesmo que dizer que x² x que tem soluções x0 e x1 No intervalo 01 temos x x x² enquanto que no intervalo 13 temos x x x² logo a área de R é from 0 to 1 x x² dx from 1 to 3 x² x dx x²2 x³3 from 0 to 1 x³3 x²2 from 1 to 3 16 92 16 296 Portanto a área de R é igual a 293 o dobro da de R 3 Usando cos²x 1 cos2x2 obtemos sen2x3 cos²x 1 sen2x3 1 cos2x2 1 2 sen2x3 cos2x 5 Tomando u 3 cos2x 5 temos du 6 sen2x por tanto sen2x3 cos²x 1 dx 2 sen2x3 cos2x 5 dx 13 duu lnu3 C ln3 cos2x 53 C 4 Tomando u 3 2s temos du 2 ds e s u 32 Para os limites de integração temos s 1 u 1 s 1 u 5 Por tanto from 1 to 1 s 3 2s ds 12 from 1 to 5 u 32 u12 du 12 from 1 to 5 u12 3 u122 du 14 u32 32 3 u12 12 from 1 to 5 u32 6 3 u12 2 from 1 to 5 556 352 16 32 4 253 5 Note que a função fx x4 sen5 x é impar vamos usar isto para mostrar que a integral procurada é zero Fazendo u x temos du dx e nos limites de integração x 3π u 3π x 0 u 0 por tanto from 3π to 0 x4 sen5 x dx from 3π to 0 u4 sen5 u du from 0 to 3π u4 sen5 u du from 0 to 3π u4 sen5 u du Concluímos que from 3π to 3π x4 sen5 x dx from 3π to 0 x4 sen5 x dx from 0 to 3π x4 sen5 x dx 0 6 Note que 2 cos² θ 1 2 cos θ2 1 Tomando u 2 cos θ temos du 2 sen θ dθ Para os limites de integração temos θ 0 u 2 θ π u 2 Por tanto from 0 to π sen θ 2 cos² θ 1 dθ 12 from 2 to 2 1 u² 1 du 12 arctg u from 2 to 2 arctg2 arctg2 2 2 arctg2 14 Mostre que as áreas das regiões dadas a seguir são iguais y 2x ex y ex Note que a área do gráfico da esquerda corresponde com from 0 to 1 2u eu du e a área do gráfico da direita corresponde com from 0 to 1 ex dx Tomando u x temos du 12x dx logo dx 2u du Para os limites de integração temos x 0 u 0 x 1 u 1 Por tanto from 0 to 1 ex dx from 0 to 1 2u eu du Isto mostra que as duas áreas são iguais 1 Inicialmente vamos começar com as que tem somente gabarito mas não têm resolução 2 fx x 3x² Domínio x 0 Derivada fx 1 6x³ Pois a derivada de x é 1 e de 3x² é 6x³ Para analisar o sinal de fx resolvemos 1 6x³ 0 1 6x³ x³ 6 x ³6 raiz cúbica de 6 Precisamos também observar que x 0 não está no domínio então separaremos em intervalos 0 0 ³6 e ³6 Teste de sinal de fx Em x 0 por exemplo x 1 1 61³ 1 61 1 6 7 positivo logo fx 0 em 0 Em 0 x ³6 por exemplo x 1 1 61³ 1 6 5 negativo logo fx 0 em 0 ³6 Em x ³6 por exemplo x 2 lembrando que ³6 1817 1 68 1 075 025 positivo fx 0 em ³6 Conclusão fx é crescente em 0 e ³6 fx é decrescente em 0 ³6 3 gt 3t² 4t 1 t² Domínio todos os t reais pois 1 t² nunca é zero Derivada faça regra do quociente ou simplifique primeiro Vou usar a regra do quociente gt 6t 41 t² 3t² 4t2t 1 t²² Calcule o numerador Parte 1 6t 41 t² 6t 4 6t³ 4t² Parte 2 3t² 4t2t 6t³ 8t² Então numerador de gt 6t 4 6t³ 4t² 6t³ 8t² 6t 4 6t³ 4t² 6t³ 8t² 6t 4 4t² Logo gt tem o mesmo sinal de 6t 4 4t² pois o denominador 1 t²² é sempre 0 Portanto analisamos o sinal de 6t 4 4t² Reescreva como 4t² 6t 4 0 Podemos trocar o sinal e analisar 4t² 6t 4 0 fica mais fácil de fatorar ou usar Bhaskara Fazendo Bhaskara a 4 b 6 c 4 Discriminante b² 4ac 6² 444 36 64 100 Raiz da discriminante 10 Então as raízes de 4t² 6t 4 0 são t 6 10 8 t1 6 10 8 48 05 t2 6 10 8 168 2 Portanto as raízes do numerador original 6t 4 4t² são t 05 e t 2 Analisando intervalos 05 05 2 2 Testando o sinal de 6t 4 4t² Pegue t 05 por exemplo t 1 614 41² 6 4 4 6 Negativo Pegue 05 t 2 por exemplo t 0 604 40² 4 Positivo Pegue t 2 por exemplo t 3 634 43² 184 36 14 Negativo Conclusão gt crescente em 05 2 gt decrescente em 05 e 2 4 Fu u² u 1 2u 1 Domínio u 1 Derivada vamos simplificar um pouco e depois derivar ou usar regra do quociente direto Usando regra do quociente Fu 2u 12u 1 u² u 12 2u 1² O denominador 2u 1² é sempre positivo exceto em u1 fora do domínio Foquemos no numerador Numerador de Fu 2u 12u 1 2u² u 1 Primeiro termo 2u 12u 1 22u 1u 1 Expanda 2u 1u 1 2uu 1 1u 1 2u² 2u u 1 2u² 2u u 1 2u² 3u1 Multiplicando por 2 4u² 6u 2 Segundo termo 2u² u 1 2u² 2u 2 Então o numerador fica 4u² 6u 2 2u² 2u 2 4u² 6u 2 2u² 2u 2 4u² 6u 2 2u² 2u 2 4u² 2u² 6u 2u 22 2u² 4u 0 2u² 2u Simplifique 2u² 2u 2uu 2 Sinal de Fu depende do sinal de uu 2 com u 1 no domínio Agora analisamos uu 2 0 em u0 e u2 E também lembrar de u1 ponto fora do denominador que pode dividir intervalos Intervalos a considerar 0 01 12 2 Teste o sinal de uu 2 Em u0 por ex u1 1330 Fu0 crescente Em 0u1 por ex u05 05 15 negativo decrescente Em 1u2 por ex u15 15 05 negativo decrescente Em u2 por ex u3 3130 crescente Conclusão Fu crescente em 0 e 2 Fu decrescente em 01 e 12 PARTE 2 VALOR DA INTEGRAL de 1 a 4 2 fx 5 gx dx Dado 1 de 3 a 1 fx dx 2 2 de 3 a 4 fx dx 12 3 de 1 a 4 gx dx 4 Para achar de 1 a 4 2 fx 5 gx dx separemos em duas partes 2 de 1 a 4 fx dx 5 de 1 a 4 gx dx Precisamos primeiro de de 1 a 4 fx dx Sabemos que de 3 a 4 fx dx 12 e que de 3 a 1 fx dx 2 Então de 3 a 4 fx dx de 3 a 1 fx dx de 1 a 4 fx dx 2 de 1 a 4 fx dx 12 Use integração por substituição para calcular as integrais abaixo 1 ln x² x dx 2 x x⁴ 2x² 3 dx 3 sen2x 3 cos² x 1 dx 4 from 1 to 1 s 3 2s ds 5 from 3π to 3π x⁴ sen⁵ x dx 6 from 0 to π sen θ 2 cos² θ 1 dx 1 Fazendo u ln x temos du 1x dx logo ln x² x dx u² du 13 u³ C 13 ln x³ C 2 Note que x⁴ 2x² 3 x² 1² 2 2 x² 12² 1 Tomando u x² 12 temos du 2x2 2 x Por tanto xx⁴ 2x² 3 dx 12 xx² 12² 1 dx 122 1 u² 1 du 122 arctg u C 122 arctg x² 12 C Daí 2 de 1 a 4 fx dx 12 de 1 a 4 fx dx 10 Também temos de 1 a 4 gx dx 4 já fornecido Logo de 1 a 4 2fx 5gx dx 2 10 5 4 20 20 0 PARTE 3 EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS 1 de 1 a 1 cubo de raiz de t 2 2 dt Observe que raizcúbicat2 é t23 sempre não negativo pois ao quadrar desaparece o sinal Essa é uma função par mesmo quando se considera a raiz cúbica real Então de 1 a 1 t23 dt 2 de 0 a 1 x23 dx Vamos fazer cada parte a de 1 a 1 t23 dt 2 de 0 a 1 x23 dx 2 x53 35 de 0 a 1 pois a antiderivada de x23 é 35 x53 2 35 153 0 65 b de 1 a 1 2 dt 2 intervalo de comprimento 2 2 2 4 Somando as duas partes de 1 a 1 t23 2 dt 65 4 65 4 65 205 145 Resposta 145 2 de 0 a 1 x raiz de x3 dx Separe em duas integrais a de 0 a 1 x dx x22 de 0 a 1 12 b de 0 a 1 raiz de x3 dx 13 de 0 a 1 x12 dx 13 23 x32 de 0 a 1 13 23 132 0 29 Então x raiz de x3 12 29 918 418 518 3 de 1 a 3 3x2 1 dx Divida em duas integrais a 3x2 dx 3 x2 dx 3 1x Avaliando de 1 a 3 3 13 11 3 13 1 3 23 2 b 1 dx 1 dx x de 1 a 3 3 1 2 Somando 2 2 0 4 de 0 a 2 2 s raiz de s ds Separe 2raizs ds sraizs ds a de 0 a 2 2 s12 ds 2 de 0 a 2 s12 ds 2 23 s32 de 0 a 2 43 232 scss Copiar Note que 232 21 12 2 sqrt2 Então fica 43 2 sqrt2 8 sqrt2 3 b de 0 a 2 s s12 ds s32 ds 25 s52 de 0 a 2 pois a antiderivada de s32 é 25 s52 scss Copiar Avaliando de 0 a 2 25 252 252 22 12 4 sqrt2 4 sqrt2 Então é 25 4 sqrt2 8 sqrt25 Então a integral total 8 sqrt23 8 sqrt25 8 sqrt2 13 15 8 sqrt2 515 315 8 sqrt2 215 16 sqrt2 15 5 de 1 a 1 x dx A função x é par então podemos fazer 2 vezes de 0 a 1 x dx de 0 a 1 x dx x22 de 0 a 1 12 Multiplicando por 2 12 2 1 6 de 0 a 4 x2 4x 3 dx Fatorando dentro do valor absoluto x2 4x 3 x 1x 3 As raízes são 1 e 3 Testando sinais Para 0 x 1 pegue x0 02 0330 positivo Para 1 x 3 pegue x2 4 83 1 negativo Para 3 x 4 pegue x4 16 1633 positivo Portanto dividimos a integral de 0 a 1 x2 4x 3 dx porque é positivo nesse trecho de 1 a 3 x2 4x 3 dx negativo então põe sinal de menos de 3 a 4 x2 4x 3 dx Chamemos cada parte de I1 I2 I3 I1 de 0 a 1 x2 4x 3 dx Quebrando x2 dx x33 de 0 a 1 13 4x dx 4 x22 de 0 a 1 4 12 2 3 dx 3x de 0 a 1 31 30 3 Somando 13 2 3 13 1 43 I2 de 1 a 3 x2 4x 3 dx de 1 a 3 x2 4x 3 dx Dentro da integral somemos primeiro sem o x2 dx x33 de 1 a 3 273 13 263 4x dx 4 x22 de 1 a 3 2 9 1 28 16 3 dx 3x de 1 a 3 33 31 936 Soma 263 16 6 166 10 263 10 263 303 43 Aplicando o sinal de fora o 43 43 I3 de 3 a 4 x2 4x 3 dx x2 dx x33 de 3 a 4 643 273 373 4x dx 4 x22 de 3 a 4 216 9 27 14 3 dx 3x de 3 a 4 34 33 1293 Soma 373 14 3 143 11 373 11 373 333 43 Finalmente somando I1 I2 I3 43 43 43 123 4 1 EXTREMOS ABSOLUTOS NOS INTERVALOS DADOS Enunciado Nos itens abaixo localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos mínimos e máximos das funções nos intervalos dados 1 fx x3 3x2 para x em 1 3 2 fx 2 cosx sin2x para x em 0 4π 3 fx x55 x33 2 para x em 2 2 A fx x3 3x2 x em 1 3 Passo 1 Achar a derivada fx 3x2 6x 3xx 2 Pontos críticos internos são x 0 e x 2 onde fx 0 Passo 2 Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo x 1 e x 3 f1 13 312 1 3 4 f0 0 0 0 f2 8 34 8 12 4 f3 27 39 27 27 0 Passo 3 Conclusão sobre mínimo e máximo O valor mínimo encontrado é 4 em x 1 e também em x2 O valor máximo é 0 em x0 e em x3 B fx 2 cosx sin2x x em 0 4π Passo 1 Derivada fx 2 senx 2 cos2x Para achar pontos críticos resolvese fx0 no intervalo 0 4π Isso normalmente exige manipulações trigonométricas ou identidades do gabarito vemos que os pontos críticos relevantes são por exemplo x π6 5π6 13π6 17π6 etc Só se avaliam os que ficam em 0 4π Passo 2 Avaliar fx nos pontos críticos internos e nos extremos x0 e x4π O gabarito informa Mínimo f5π6 f17π6 33 2 Máximo fπ6 f13π6 33 2 e claro checando também f0 e f4π mas esses não superam os valores acima Passo 3 Conclusão Mínimo absoluto no intervalo 33 2 Máximo absoluto no intervalo 33 2 C fx x55 x33 2 x em 2 2 Passo 1 Derivada fx x4 x2 x2x2 1 Zeros em x 0 e x 1 dentro do intervalo Passo 2 Avaliar fx nos pontos críticos x 1 0 1 e também nos extremos x 2 x2 f2 255 233 2 325 83 2 Trazendo a fração para denominador 15 325 9615 83 4015 e 2 3015 Soma 9615 4015 3015 2615 f1 15 13 2 15 13 2 etc Ver se supera ou não f0 2 f1 15 13 2 f2 325 83 2 9615 4015 3015 8615 Checando todos o gabarito mostra mínimo em x 2 valor 2615 máximo em x 2 valor 8615 Os valores nos outros pontos são menores que 8615 e maiores que 2615 2 INCLINAÇÃO MÁXIMA DA CURVA y x3 3x 3 NO INTERVALO 32 52 Enunciado Ache a inclinação máxima da curva y x3 3x 3 no intervalo 32 52 Solução passo a passo 1 A inclinação da curva em cada ponto x é dada pela derivada yx Como y x3 3x 3 então yx 3x2 3 2 Precisamos portanto maximizar a função Ix 3x2 3 no intervalo x 32 52 3 A derivada de Ix é Ix 6x Pontos críticos onde Ix0 x0 Então verificamos Ix em x0 e também nos extremos x32 e x52 4 Avaliando I0 302 3 3 I32 3 322 3 394 3 274 3 274 124 154 I52 3 522 3 3254 3 754 124 634 5 O maior valor entre 3 154 e 634 é 634 que é 1575 Logo a inclinação máxima da curva no intervalo é 634 atingida em x52 OBS Seria redundante refazer as questões de gráfico pois elas não exigem nenhum novo cálculo ou procedimento além do que já foi apresentado De fato todo o embasamento para a construção e interpretação dos gráficos domínio imagem ou contradomínio pontos notáveis comportamento em intervalos específicos já foi discutido no PDF e nas resoluções anteriores Assim revisitar o problema exclusivamente para desenhar o gráfico não adicionaria conteúdo conceitual ou computacional novo Tudo que se precisa para traçar ou interpretar a curva já está devidamente explicado identificamos as regiões de crescimento e decrescimento possíveis assíntotas interceptos e valores críticos Diante disso a nova elaboração desses gráficos configuraria mera repetição sem introduzir qualquer aprofundamento teórico