Lista de Exercícios Cálculo e Matrizes - Avaliação Semestral

OBSERVAÇÃO Use caneta azul tradicional ou preta Deve conter todo o desenvolvimento das contas em todas as questões Data de Entrega 31 de março de 2023 01 20 pontos Os alunos da disciplina de Cálculo III em um curso universitário de uma universidade realizam quatro avaliações por semestre com os pesos de 10 25 35 e 30 respectivamente No final do semestre precisam obter uma média nas quatro avaliações de no mínimo 70 pontos para serem aprovados Um estudante dessa disciplina obteve os seguintes pontos nas três primeiras avaliações 60 50 e 70 respectivamente Determine o mínimo de pontos que esse estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado 02 20 pontos ENEM 2020 ADAPTADA Joaquim técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 190 m para no mínimo 2 m Para tanto dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe irá substituir os três mais baixos de estaturas 169 m 170 m e 170 m Para isso o técnico contratou um novo jogador de 203 m Os outros dois jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe Ele fixará a média das estaturas para os dois jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido Qual deverá ser a média mínima das estaturas em metro que ele deverá fixar para a dupla de novos jogadores que ainda irá contratar 03 10 ponto Sendo x o determinante da matriz A a b c d e y o determinante da matriz B 6a 6c 5b 5d determine o valor de yx 04 10 ponto Para saber o custo total em reais na produção de x vestidos para um grupo de mulheres primeiramente substituise cada elemento x da matriz a seguir pela quantidade de vestidos que se quer produzir e calculase o determinante dessa matriz obtendose assim o custo total na produção destes x vestidos é igual ao valor do determinante x 1 0 0 x 100 0 1 1 Dessa forma calcule o valor total em reais para produzir 50 vestidos 05 10 ponto FEI Sejam as matrizes A 1 0 2 4 1 3 1 0 1 B 4 3 5 1 0 0 e Ct 2 1 1 0 1 1 Determine a matriz X AC 2Bt 06 10 ponto UFAM ADAPTADA Sejam A 2x x2 4 x3 e B x 4x 2 2x com x ℝ Determine os valores de x para que a igualdade detA 2detB seja verdadeira 07 10 ponto Qual deve ser o valor de k para que o polinômio Px k2 25x4 k 5x3 kx2 2x 4 tenha grau 2 Justifique sua resposta 08 10 ponto Considere os polinômios px x80 3x79 x2 x 1 bx x2 2x 3 Sendo rx o resto da divisão de px por bx determine o valor de r 25 62 Vamos chamar a última nota de x Então a nota do estudante é N 1060 2550 7035 x30 6 125 245 03x 6 370 03x 43 03x Para que ele seja aprovado é necessário que sua nota N seja N 70 Portanto N 70 43 03x 70 03x 27 310 x 27 x 27 103 90 Logo é necessário que o estudante tire au menos 90 pontos em sua prova para aprovação 2 Antes da substituição temos que a média das alturas é m 29 tal que m S1525 S12 16 17 17 15 Onde S15 é a soma dos 15 atletas e S12 a soma dos doze atletas sem os tres menores Logo S12 16 2 17 15 m S12 15 19 16 34 235 Seja A a b c d e B 6a 6c 5b 5d Então temos x det A det a b c d a b c d ad bc Portanto x ad bc E para B temos y det B det 6a 6c 5b 5d 30ad 30bc 30 ad bc Portanto y 30 ad bc Então com efeito temos que yx 30 ad bc ad bc 30 yx 30 desde que ad bc 0 4 No caso em que temos x 50 vestidos temos que o cálculo do valor total será Valor total x 10 0 x 100 0 1 1 x 2 100 1 1 x 100 x50 x50 Logo o valor total é 50 100 50 é o valor total 5 Sejam A 1 0 2 4 1 3 1 0 1 B 9 3 5 1 0 0 e Ct 2 1 1 0 1 1 Calcularremos χ A C 2 Bt Com efeito χ A C 2 Bt A Ct2 2 Bt 1 0 2 4 1 3 1 0 1 2 1 1 0 1 1 t 2 9 3 5 1 0 0 t 1 0 2 4 1 3 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 4 1 3 0 5 0 202 1013 201 2102 013 001 2 4 1 3 0 5 0 9 2 10 4 3 1 6 2 6 0 10 0 12 4 16 4 13 1 Portanto χ 12 4 16 4 13 1 Matantre S12 235 A nova contratação dos três atletas fará o seguinte acréscimo S3 203 h1 h2 Onde 203 é a altura do atleta novo e h1 h2 h é a altura somada dos dois atletas restantes Então para nova média de m 2 metros m 2 metros 2 S12 203 h15 h 30 S12 203 h 497 Elege a soma de atletas novatos é h 497 m Então a média dessas alturas é 4472 2235 E 2235 metros é a resposta Sejam A 2x x2 4 x e B x 4x 2 2x com x R Vamos buscar os x R tais que det A 2 det B Com efeito det A 2 det B det 2x x2 4 x 2 det x 4x 2 2x 2x2 4x2 2 2x2 8x 2x2 2 2x2 8x 2x2 4x x 4 x2 9x x 4 0 x x 4x 4 0 x 5x 4 0 Logo as soluções são x 0 e 5x 4 0 x 45 Portanto para x 0 e x 45 são duas soluções que fazem com que det A 2 det B seja satisfeita Px x2 25 x4 x 5 x3 k x2 2 x 4 Para que Px seja de grau dois basta ver que os coeficientes de grau 3 e grau 4 sej devem ser nulos ambos nulos Logo De x4 temos x2 25 0 x2 25 x 25 5 De x3 temos k 5 0 k 5 Portanto o k que satisfaz ambas as igualdades é k 5 Logo para k 5 px tem grau 2 Para determinarmos rx fazemos a divisão de polinômios Com efeito Px bx x80 3x79 x2 x 1 x2 2x 3 Vamos fazer a divisão longa de polinômios Aqui teremos o seguinte x80 3x79 x2 x 1 x2 2x 3 x80 2x79 3x78 x78 3x78 x2 x 1 x79 2x78 3x77 x78 3x77 x2 x 1 x78 2x77 3x76 x77 3x76 x2 x 1