Calculo de Integrais e Integração

Apenas um integrante da equipe deverá entregar o documento com as respostas WORD ou PDF necessariamente É permitido inserir imagens Importante Essa avaliação deverá ser enviada com a resolução completa indicando como os resultados foram obtidos Assim em cada questão apresentar I 50 a resolução da questão ou seja o desenvolvimento detalhado indicando como o resultado foi gerado II 50 a solução da questão ou seja o resultado final da questão de acordo com o contexto proposto do valor pontuação da questão Bom trabalho Orientações para realização da avaliação Código de um dos Integrantes da Equipe 99333 A é o primeiro algarismo do seu código da esquerda para direita B é o segundo algarismo do seu código da esquerda para direita C é o terceiro algarismo do seu código da esquerda para direita D é o quarto algarismo do seu código da esquerda para direita E é o quinto algarismo do seu código da esquerda para direita F é o sexto algarismo do seu código da esquerda para direita Caso não exista o algarismo F adote F 0 M C 12 N D 1 P 5N Cinco vezes o valor de N Q 11N Onze vezes o valor de N R F 15 T E 2² Quadrado de E 2 Não devem ser feitos arredondamentos intermediários ou seja não devem ser feitos arredondamentos durante o processo de resolução das questões O arredondamento com duas casas decimais deve ser feito apenas no final do processo na resposta final Durante o desenvolvimento deve ser utilizado o máximo de casas decimais que o software calculadoras MS Excel oferece Essa prova tem como referência uma situação envolvendo integração indefinida e integração definida A seguir indicamos o desafio para vocês Bom trabalho A Importância do Radar Meteorológico na prevenção de desastres climáticos Fenômenos meteorológicos cada vez mais extremos alimentados pelas mudanças climáticas causaram um aumento nos desastres naturais nos últimos 50 anos As informações são da Organização Meteorológica Mundial OMM divulgadas no relatório de 2021 realizado em conjunto com o Escritório das Nações Unidas para a Redução do Risco de Desastres UNDRR As informações do radar agregadas a informações de pluviômetros estações hidrológicas e sensores geotécnicos além de outros instrumentos instalados em áreas de risco auxiliam no monitoramento de diversas regiões A tecnologia avançada traz como possibilidades a aplicação deste sistema em outras áreas como dar suporte ao controle de tráfego aéreo colaborar com a agricultura contribuir com a autonomia tecnológica nacional e salvaguardar vidas httpstecnodefesacombrrmt0200aimportanciadoradarmeteorologiconaprevencaodedesastres Considerem que a equipe de vocês fundou uma empresa que desenvolve radares meteorológicos inteligentes A partir do índice x associado aos níveis pluviométricos obtidos em tempo real o software desenvolvido por vocês estimaprojetaprevê a área de alagamento de um determinado setor após um certo tempo em horas possibilitando o envio de alertas para evacuação das regiões afetadas possibilitando que muitas vidas sejam salvas Em uma certa operação medição dos níveis pluviométricos pelo radar inteligente o software desenvolvido por vocês estima a seguinte área de alagamento para um determinado setor Adotem que nessa operação a partir dos dados obtidos pelo radar inteligente patenteado por vocês o software também projetado por vocês gerou as seguintes funções Questão 1 Valor 25 pontos Determine a área correspondente à Região I Integração de Funções Racionais por Decomposição em Frações Parciais Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Questão 2 Valor 25 pontos Determine a área correspondente à Região II Integração por Substituição Trigonométrica Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Questão 3 Valor 20 pontos Determine a área correspondente à Região III Integração por Partes Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Questão 4 Valor 20 pontos Determine a área correspondente à Região IV Integração por Substituição ou Mudança de Variável Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Questão 5 Valor 10 ponto Determine a área total projetada para alagamento coberta com água correspondente à FIGURA 1 Critérios utilizados para avaliação da atividade proposta Ausência de resolução da questão ou seja ausência do desenvolvimento indicando como os resultados apresentados foram obtidos Questões que apresentarem apenas a resposta sem o desenvolvimento sem a indicação de como o resultado foi obtido desconto de 50 do valor da questão Ausência de arredondamento na apresentação dos resultados desconto de 10 do valor da questão por item Durante o desenvolvimento devese utilizar o máximo de casas decimais Arredondamento incorreto nos resultados apresentados desconto de 10 do valor da questão por item Ausência de unidade de medida na apresentação dos resultados desconto de 10 do valor da questão por item Inversão entre a ou ausência da representação oficial do ponto e da vírgula na apresentação das respostas desconto de 10 do valor da questão por item Erros de notação ou uso de notações informais pessoais na apresentação dos resultados desconto de 10 do valor da questão por item A completude quanto mais completo melhor será a avaliação organização quanto mais organizado melhor será a avaliação e precisão quanto mais preciso em termos de resultados e notação melhor será a avaliação das análises propostas farão parte da avaliação da composição da nota Ótima avaliação para todos Questão 1 Valor 25 pontos Determine a área correspondente à Região I Integração de Funções Racionais por Decomposição em Frações Parciais Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Solução Substituindo os valores de P Q M N na função G x PxQ x 2M N xM N 20 x44 x 219 x60 Aplicando Decomposição em Frações Parciais temos 20x44 x 219 x60 20x44 x15x4 a x15 b x4 Logo 20 x44a x4bx15 20 x44ab x4 a15b Igualando os coeficientes temos ab20 4a15b44 Dai a20b Em 4 a15b44 temos 4 20b 15b44b36 11 Então a20 36 11 256 11 Assim G x 25611 x15 3611 x4 Agora calculemos a integral Definida 75 20 G x dx 75 20 25611 x15 3611 x4 dx 256 11 75 20 1 x15 dx36 11 75 20 1 x4 dx 256 11 256 11 256 11 ln 1 1236 11 ln 16 7152953892 Como a região I esta embaixo do eixo x sua área é área52955295 Portanto a área da região I é 5295k m 2 Questão 2 Valor 25 pontos Determine a área correspondente à Região II Integração por Substituição Trigonométrica Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Solução Substituindo os valores de M T na função H x M T x 2 15 25x 2 Calculemos primeiro a integral 15dx 25x 2 Aplicando a integração por Substituição Trigonométrica x5 tanu dx5 sec 2udu 15dx 25x 2 15dx 2525tan 2u 155 sec 2udu 51ta n 2u 15 se c 2udu 1ta n 2u 15 se c 2udu se c 2u 15 se c 2udu sec u 15 sec udu15 ln tan usec uC Como x5 tanu temos tan u x 5 Do gráfico secu x 225 5 Substituindo acima 15dx 25x 215ln x 5 x 225 5 C Agora calculemos a integral Definida Notemos que a função é par 15 15 15dx 25x 22 0 15 15 dx 25x 2215ln x 5 x 225 5 0 15 215ln 15 5 15 225 5 ln 012ln3 510 5 ln 01 30ln 310ln 130ln 31054553393 Como a região II esta por acima do eixo x sua área é área5455 Portanto a área da região II é 5455k m 2 Questão 3 Valor 20 pontos Determine a área correspondente à Região III Integração por Partes Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Solução Substituindo os valores de M T na função L xRx1e x15 x1e x Calculemos primeiro a integral 15 x1e x dx Aplicando a integração por Partes u15x1dve xdx d u15d x ve x Logo 15 x1e xdx15x1e x e x 15dx 15 x1e x15 e xdx 15 x1e x15e xC 15 x14 e xC Agora calculemos a integral definida 15 1 15x1e x dx15 x14 e x15 1 15 114 e 115 1514e 15 29e 1239e 15239e 1529e 1 1066843068 Como a região III esta embaixo do eixo x sua área é área106710 67 Portanto a área da região III é 1067k m 2 Questão 4 Valor 20 pontos Determine a área correspondente à Região IV Integração por Substituição ou Mudança de Variável Considere que a unidade de medida da área calculada é Km² Solução Substituindo os valores de R M P na função S x Rx M x 2P 15 x 15x 220 Calculemos primeiro a integral 15 xdx 15x 220 Aplicando a integração por Substituiçãou15x 220du30 xdx Na integral 15 xdx 15x 220 du 2 u 1 2u 12du1 2 2u 12Cu 12C Como u15x 220 15 xdx 15x 220 15 x 220 12C Agora calculemos a integral Definida 1 15 15 xdx 15x 220 15 x 220 1 21 15 15 15 220 1 215 1 220 1 2 3395 1235 1 25235054874 Como a região IV esta por acima do eixo x sua área é área5235 Portanto a área da região II é 5235k m 2 Questão 5 Valor 10 ponto Determine a área total projetada para alagamento coberta com água correspondente à FIGURA 1 Solução A área total projetada para alagamento vai ser a soma das áreas das regiões I II III IV calculadas anteriormente Então das questões anteriores temos Área total área região I área região II área região III área região IV 5295k m 25455k m 21067k m 25235k m 2 17052k m 2