Lista de Exercícios Cálculo I UERJ Esboço de Gráficos e Maximos e Minimos

UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANMAT DEPARTAMENTO DE ANÁLISE MATEMÁTICA IME 019297 e IME 014827 Cálculo I Profª Cristiane Oliveira de Faria LISTA 10 DE CÁLCULO I Esboço de Gráficos Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede domínio D de f paridade de f equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico intervalos de D em que f é contínua pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima onde é para baixo e os seus pontos de inflexão extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem imagem de f a fx x3 2 x b fx 16 x2 x 22 c fx x 123 d fx 3x 1 x2 2x 3 e fx 3x2 4 4x x2 f fx 1 1x 1x² g fx x sen x h fx x 5 arctan x i fx x ln x j fx ex² x k fx 1 ex l fx x2 ln x m fx ex² n fx xex RESPOSTAS UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANMAT DEPARTAMENTO DE ANÁLISE MATEMÁTICA IME 019297 e IME 014827 Cálculo I Profª Cristiane Oliveira de Faria LISTA 9 DE CÁLCULO I Máximos e Mínimos relativos e absolutos 1 Dê os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente a fx x 3x² b gt 3t² 4t 1 t² c Fu u² u 1 2u 1 2 Seja f uma função tal que f0 0 e fx x² 1 x² xR Mostre que 0 fx x x 0 3 Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalo dados a fx x3 3x² x 1 3 b fx 2 cos x sen2x x 0 4π c fx 15x5 3x3 2 x 2 2 4 Mostre que fx ln x x tem máximo absoluto em x e Conclua que πe eπ 5 Ache a inclinação máxima da curva y x3 3x 3 no intervalo 32 52 6 Prove que para todo x 0 vale a seguinte desigualdade x 1x 2 Sugestão estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e Determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado RESPOSTAS 1 a crescente em 0 ³6 decrescente em 0 ³6 b crescente em 12 2 decrescente em 12 2 c crescente em 0 2 decrescente em 0 1 0 2 Primeiro vamos mostrar que fx 0 x 0 a fx x² 1 x² 0 x 0 f é crescente em 0 0 b A função f é contínua em ℝ pois f é diferenciável em ℝ Por a e b concluímos f é crescente em 0 e contínua em 0 fx f0 x 0 Finalmente como por hipótese f0 0 concluímos que fx 0 x 0 Agora vamos mostrar que fx x x 0 Mas fx x x 0 x fx 0 x 0 Considerando Fx x fx temos que provar que Fx 0 x 0 Provando a Fx 1 x² 1 x² 1 1 x² 0 x 0 f é crescente em 0 0 b A função F é contínua em ℝ pois é a diferença de funções contínuas em ℝ Por a e b concluímos F é crescente em 0 e contínua em 0 Fx F0 x 0 Como F0 0 f0 0 concluímos que Fx 0 x 0 Lista 09 1 a fx x 3x² fx 1 32x x⁴ fx 1 6x³ fx x³ 6 x³ Estudando o sinal de fx temos x³ 0 x 0 x³ 6 0 x ³6 x³ 1 0 x x³ 6 ³6 x³ 6 x³ 0 crescente 0 ³6 decrescente 0 ³6 Digitalizado com CamScanner b gt 3t2 4t 1 t2 gt 6t 41t2 3t2 4t 2t 1t22 gt 4t2 6t 4 1t22 gt Analisar o sinal de gt 1t22 0 p todo tIR 4t2 6t 4 0 Δ 36 444 Δ 36 64 100 t 6 10 8 2 12 Logo crescente 12 2 decrescente 12 U 2 c Fμ μ2 μ 1 2μ 1 Fμ μμ2 2μ12 Analisar o sinal de Fμ μ12 0 p todo μIR μμ 2 μ2 2μ μ2 2μ 0 μ0 ou μ 2 0 2 crescente 0U2 decrescente 0 2 2 Q f0 0 Mostrar que 0 fx x fx x2 1 x2 fx x2 1 x2 fx x2 1 x2 dx fx arctgx x c f0 arctg0 0 c 0 c Logo fx arctgx x Para x 0 temos arctgx 0 Logo 0 fx x 3 Q a fx x3 3x2 x 1 3 f1 1 3 4 1 4 f3 27 39 27 27 0 30 fx 3x2 6x 0 x2 2x 0 x 0 ou x 2 f0 0 e f2 8 34 8 12 4 00 2 4 1 4 e 2 4 temos mínimo absoluto 00 e 30 temos máx absoluto b fx 2cosx sen2x x 04π f0 2cos0 sen0 2 0 2 f4π 2 cos2π sen8π 2 4π 2 fx 2senx 2cos2x 0 2senx 2cos2 x sen2 x 0 2senx 21 2sen2 x 0 senx 1 2sen2 x 0 2sen2 x senx 1 0 senx k 2k2 k 1 0 Δ 1 421 1 8 9 k 1 3 4 1 senx 1 12 senx 12 x π6 fx 26 π6 26 x 5π6 fx 26 5π6 26 x 3π2 fx 0 3π2 0 Máximo π6 26 e 13π6 26 Minimo 5π6 26 e 17π6 26 c fx x55 x33 2 x 22 f2 173 2 173 f2 573 2 573 fx x4 x2 0 x2 x2 1 0 x 0 ou x2 1 x 0 ou x 1 ou x 1 x 0 f0 2 x 1 f1 1866 x 1 f1 2133 Máx 2 573 Mín 2 173 4 Q fx ln xx Mostre que fx tem máx absoluto em x e Conclua que πe eπ fx 1x x ln xx2 1 ln xx2 0 1 ln x 0 ln x 1 x e1 e Máx absoluto 5 Q Inclinação máx de y x3 3x 3 em 32 52 y 3x2 3 0 0 3x2 1 0 x 1 f1 1 31 3 f2 5 f1 1 3 3 1 Note que f52 vale 11125 que é maior do que f1 5 porém a inclinação da função tem a ver com a derivada no ponto logo a maior inclinação de f no intervalo é dada por 1 5 ymax 5 6 Q x 0 x 1x 2 x 12 0 x2 2x 1 0 Como x 0 x2 2x 1x 0x x 2 1x 0 x 1x 2 A questão está com a desigualdade trocada observe que para x 10 o enunciado não vale Lista 20 a fx x3 2x domínio x 0 paridade fx x3 2x x3 2x fx fx Nem par nem ímpar Assíntotas fx x2 2x lim x fx lim x0 fx x 0 é assíntota vertical