Lista de Exercicios - Calculo II - Derivadas Parciais de Ordem Superior

Lista 4 Calculo II B 20121 16 Universidade Federal Fluminense EGM Instituto de Matematica GMA Departamento de Matematica Aplicada LISTA 4 20121 Derivadas parciais de ordem superior 1 Calcule todas as derivadas parciais de terceira ordem da funcao de producao Q 4K34L14 Use o teorema de Schwarz para acelerar o processo 2 Uma funcao z fx1 xn e harmˆonica se ela satisfaz a equacao de Laplace 2z x2 1 2z x2 2 2z x2n 0 Mostre que a funcao z fx y x3 3 xy2 e harmˆonica Quais das funcoes dos exercıcios 3 a 8 satisfazem a equacao de Laplace 3 z fx y ln x2 y2 4 z fx y x2 y2 5 z fx y y3 3 x2y 6 z fx y z ex sen y ey sen z 7 z fx y arctanxy 8 z fx y lnxy 9 Verifique que v sen k x sen ak t satisfaz a equacao da onda 2v t2 a2 2v x2 10 No estudo da penetracao da geada em uma rodovia a temperatura T no instante t e a profundidade x pode ser dada aproximadamente por T T0 eλx sen ω t λ x em que T0 ω e λ sao constantes Mostre que T satisfaz a equacao unidimensional do calor T t k 2T x2 com k 2 λ2w EXERCICIO OPCIONAL 11 O objetivo deste exercıcio e examinar uma funcao de classe C1 para a qual a tese do teorema de Schwarz falha as derivadas parciais mistas nao sao iguais Seja z fx y x3y xy3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 a Prove que f se anula sobre os eixos x e y Conclua entao que fx0 0 e fy0 0 sao iguais a zero b Calcule fx e fy para pontos x y 0 0 e conclua que fx0 y y e fyx 0 x c Mostre que 2f yx0 0 y f x 0 0 lim y0 f x0 y f x0 0 y 0 1 d Mostre que 2f xy 0 0 x f y 0 0 lim x0 f y x 0 f y 0 0 x 0 1 e conclua que as derivadas parciais mistas de f nao sao iguais em 0 0 e Calcule 2fxyx y para x y 0 0 f Use o item anterior para mostrar que f 2xyx x 0 para x 0 g Conclua que 2fxyx y e descontınua na origem 0 0 e assim f nao e uma funcao de classe C2 Logo a hipotese do teorema de Schwarz a saber f e uma funcao de classe C2 nao se verifica RESPOSTAS DA LISTA 4 1 QK 3K14L14 QL K34L34 QKK 34K54L14 QLL 34K34L74 QKKK 1516K94L14 QLLL 2116K34L114 QKL QLK 343K14L34 QKLK QLKK QKKL 3163K54L34 QKLL QLKL QLLK 9163K14L74 3 Sim 4 Sim 5 Nao 6 Sim 7 Sim 8 Nao