Lista de Exercícios Resolvidos: Cálculo de Função Custo Marginal e Pontos Críticos

A função custo está relacionada aos gastos de produção e aquisição de mercadoria ou produto Observe a seguinte situação Além de um custo de R 30000 por peça produzida a produção de uma determinada mercadoria tem um custo fixo mensal de R 200000 que inclui Conta de energia Conta de água Salários Nessa situação a função custo é dada por C x 300x2000 Em que x é o número de peças produzidas Diretivas de execução Suponha que a função de custo de quatro fabricantes seja dada por A B C D Agora responda Com o auxílio da primeira derivada calcule a função custo marginal para as funções acima Obs Sabendo que a função custo marginal é a derivada da função custo calcule a derivada primeira da função C X para os itens Calcule os pontos críticos de todas as funções Com o auxílio da segunda derivada classifique os pontos críticos como pontos de mínimo máximo ou de inflexão Lista de Exercícios Cálculo 1 Exercício 1 Suponha que a função de custo de quatro fabricantes seja dada por a Cx 106x3 0003x2 5x 1000 b Cx x3 6x2 13x 15 c Cx 7 106 30x d Cx 75 80x x2 Agora responda Com o auxílio da primeira derivada calcule a função custo marginal para as funções acima Obs Sabendo que a função custo marginal é a derivada da função custo calcule a derivada primeira da função Cx para os itens Com o auxílio da segunda derivada classifique os pontos críticos como pontos de mínimo máximo ou de inflexão Solução a Calculando a primeira derivada da função custo Cx ddx 106x3 0003x2 5x 1000 106 3 x2 0003 2 x 5 1 0 3 106x2 0006x 5 Logo a função custo marginal é dada por Cmgx 3 106x2 0006x 5 Para determinarmos os pontos críticos devemos verificar onde a função custo marginal se anula Cmgx 0 3 106x2 0006x 5 0 Δ b2 4ac 00062 4 3 106 5 0000036 000006 0000024 0 Logo a função custo não possui pontos críticos Calculando a segunda derivada da função custo Cx ddx 3 106x2 0006x 5 3 106 2 x 0006 1 0 6 106x 0006 Para determinarmos os pontos de inflexão devemos realizar o estudo do sinal da segunda derivada Cx 0 6 106x 0006 0 6 106x 0006 x 0006 6 106 x 1000 Cx 0 6 106x 0006 0 6 106x 0006 x 0006 6 106 x 1000 Logo a função custo possui ponto de inflexão em x 1000 mudando de concavidade para baixo para concavidade para cima Para determinarmos os pontos críticos b Calculando a primeira derivada da função custo Cx ddx x3 6x2 13x 15 3 x2 6 2 x 13 1 0 3x2 12x 13 Logo a função custo marginal é dada por Cmgx 3x2 12x 13 Para determinarmos os pontos críticos devemos verificar onde a função custo marginal se anula Cmgx 0 3x2 12x 13 0 Δ b2 4ac 122 4 3 13 144 156 12 0 Logo a função custo não possui pontos críticos Calculando a segunda derivada da função custo Cx ddx 3x2 12x 13 3 2 x 12 1 0 6x 12 Para determinarmos os pontos de inflexão devemos realizar o estudo do sinal da segunda derivada Cx 0 6x 12 0 6x 12 x 126 x 2 Cx 0 6x 12 0 6x 12 x 126 x 2 Logo a função custo possui ponto de inflexão em x 2 mudando de concavidade para baixo para concavidade para cima c Calculando a primeira derivada da função custo Cx ddx 7 106 30x 0 30 1 30 Logo a função custo marginal é dada por Cmgx 30 Para determinarmos os pontos críticos devemos verificar onde a função custo marginal se anula Cmgx 0 30 0 absurdo Logo a função custo não possui pontos críticos Calculando a segunda derivada da função custo Cx ddx 30 0 Como a segunda derivada é constante a função custo não possui pontos de inflexão d Calculando a primeira derivada da função custo Cx ddx 75 80x x2 0 80 1 2 x1 0 80 2x Logo a função custo marginal é dada por Cmgx 80 2x Para determinarmos os pontos críticos devemos verificar onde a função custo marginal se anula Cmgx 0 80 2x 0 80 2x x 802 x 40 Logo a função custo possui ponto crítico em x 40 Calculando a segunda derivada da função custo Cx ddx 80 2x 0 2 1 0 2 Para determinarmos se o ponto crítico é ponto de mínimo ou máximo devemos realizar o estudo do sinal da segunda derivada C40 2 0 Logo o ponto crítico é ponto de máximo