Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo I - Integrais

3º Trabalho de Cálculo I 1 Calcule as integrais dadas a b c d e f g h i j Bom trabalho a 3x 5 x 2x 1 dx Fazendo a substituição u x 1 du dx Podemos fazer 3x 5 sendo x u 1 3u 1 5 3u 3 5 3u 8 x 2 sendo x u 1 u 1 2 u 3 Então a integral fica na forma 3u 8 u 3 u du 3x xu 3 du 8 uu 3 du 3 u 3 du 3 lnu 3 8 uu 3 du 8 x 3u du 1 3u 3 du 8 13 lnu 13 lnu 3 a Então 3u 8 u 3u du 3 lnu 3 8 13 lnu 13 lnu 3 Substituindo o valor de u x 1 3x 5 x 2x 1 dx 3 lnx 2 8 13 lnx 1 13 lnx 2 c b ex cosx dx Fazendo por integral por partes dv cosx d v senx u ex du ex Então ex cosx dx ex senx ex senx dx ex senx dx Aplicamos integral por partes novamente u ex du ex dx dv senx dx v cosx ex cosx dx ex senx ex cosx ex cosx dx isolando ex cosx dx b 2 ex cosx dx ex senx ex cosx ex cosx dx ex senx 2 ex cosx 2 c c sen2x cos3x dx Podemos resolver sen2x cos2x cosx dx Sendo cos2x 1 sen2x Então sen2x 1 sen2x cosx dx Fazendo a substituição u senx du cosx dx Então a integral fica na forma u2 1 u2 du u2 u4 du u3 3 u5 5 c Substituindo o valor de u senx sen2x cos3x dx sen3x 3 sen5x 5 c e 3x 2 A x2 1 B x2 x C x2 x Com isso podemos tirar o sistema A B C 0 B C 3 A 2 A 2 Resolvendo o sistemas encontramos B 52 e C 12 Substituindo os valor na equação inicial 3x 2 x3 x dx 2x 5 2x 1 1 2x 1 dx 2x dx 52 1x 1 dx 12 1x 1 dx 2 lnx 52 lnx 1 12 lnx 1 c logo 3x 2 x3 x dx 2 ln x 52 ln x 1 12 ln x 1 c d e3x dx Fazendo a substituição u 3x du 3dx du3 dx Então eu du3 13 eu du 13 eu c Substituindo o valor de u 3x e3x dx 13 e3x c e 3x 2 x3 x dx Fazendo por frações parciais sendo x3 x x x1x1 Então 3x 2x3 x Ax Bx1 Cx1 3x 2x3 x A x1x1 B x1x C x x1 x x1x1 3x 2x3 x A x2 1 B x2 x C x2 x f cosx dx Pelas regras de integração cosx dx senx c g x 12 dx x2 2x 1 dx x2 2x 1 dx x33 x2 x c Então x 12 dx x33 x2 x c h x 1x5 dx Podemos reescrever na forma x 1x5 xx5 1x5 1x4 1x5 x 1x5 dx 1x4 1x5 dx x4 x5 dx x4 x5 dx 13x3 14x4 c h logo x1x5 dx 13x3 14x4 c i 22 3x dx Fazendo a substituição u 2 3x du 3 dx du3 dx 23 u du 23 u du 23 u12 du 23 23 u32 c Substituindo o valor de u 2 3x 2 2 3x dx 43 2 3x32 c 2 3ex ex 4 dx Fazendo a substituição u ex 4 du ex dx Então 3ex ex 4 dx 3 du u 3 du u du u 2 u12 c Substituindo o valor de u ex 4 3ex ex 4 dx 6 ex 412 c 6 ex 4 c