Lista de Exercícios Resolvidos Calculo II Unifei Itabira

QUESTÃO 2 Calcule E 2xx²y²z² dV onde E é o sólido entre os planos z 0 e z 2 entre os cilindros x² y² 1 x² y² 2 e abaixo do paraboloide z x² y² 4 RESOLUÇÃO UNIFEI CAMPUS ITABIRA CÁLCULO II PROF GUSTAVO MARINA 04122023 TPI ALUNO Mariana Silva da Mota QUESTÃO 1 Calcule E 11xyz dV onde E é o interior do tetraedro limitado pelos planos 3x 3y z 6 e pelos planos coordenados RESOLUÇÃO QUESTÃO 3 Calcule E sqrtx² y² z² dV onde E é o sólido dentro da esfera de raio 2 fora do cone cujo ângulo interno vale π6 e acima do plano z 0 RESOLUÇÃO QUESTÃO BÔNUS Calcule ₑ y z⁶ 13zz²1 x² y²² dV onde E é a região entre as esferas de raios 1 e 2 e entre os cones φ π4 e φ π3 UNIFEI CAMPUS ITABIRA CÁLCULO II PROF GUSTAVO MARBA 04122023 T3P1 ALUNO Adriana Silva da mato QUESTÃO 1 Calcule x 1 dV onde E é o interior do tetraedro limitado pelo plano 3x 3y z 6 e pelos planos coordenados RESOLUÇÃO i0 z 6 3x 3y 0 y 2 x 0 x 2 ii daí iii continuando 3 0² 0²x 0⁶ x1 axy dz d y d x 3 0² 0²x d x x² x y 2 x y d y d x 3 0² 2xy xy² xy²2 2 y xy y²2y0y2x dx 3 0² d x x² 2 xd x x x2 122 x² dx 3x² 4 x³ 12 x14 x² 4x 3x² 4 x³ 12 x³ 3x² 4 12 x³ 4 3x² 32 0² x³4 4x x³ dx 32 0² x³4 4x x³x0x2 32 164 8 8 6 QUESTÃO 3 Calcule x² y² z² dV onde E é o sólido dentro da esfera de raio 2 fora do cone cujo ângulo interno vale π6 e acima do plano z 0 RESOLUÇÃO i x p senφ cosθ y p senφ senθ z p cosφ jacobiano p² senφ ii limites 0 θ 2π 0 p 2 π6 φ π2 iii A integral será ₀²π π6π2 ₀² p³ senφ d p d φ d θ 2π cosφφπ2φπ6 p⁴4p0p2 2π 32 164 π 3 4 4 3 π QUESTÃO BÔNUS Calcule ₑ y z⁶ 13z z² 1 x² y²² dV onde E é a região entre as esferas de raios 1 e 2 e entre os cones φ π4 e φ π3 RESOLUÇÃO x p senφ cosθ y p senφ senθ z p cosφ limites 1 p 2 0 θ 2π π4 φ π3 jacobiano p² senφ 02π π4π3 ₁² p senφ senθ ₀ᵖ cos⁵ φ 13 p cosφ p² cos² φ 1 p² senφ dp dφ dθ senθ senφ Veja que ₀²π senθ dθ 0 então A integral da questão vale zero QUESTÃO 2 Calcule E 2xx2y2 dV onde E é o sólido entre os planos z0 e z2 entre os cilindros x2 y2 1 x2 y2 2 e abaixo do parabolóide z x2 y2 1 RESOLUÇÃO i faça x p cos θ y p sen θ daí teremos como limites 0 x 2 1 p 2 0 θ 2π ii jacobiano p iii 02π 12 02 2p cos θp2 p dz dp dθ 2 02π 01 cos θ 2 dz dp dθ 4 02π 2 1 cos θ dθ 4 2 1sen θ02π 0