Los Grupos O 3 Y So 3

Los grupos de rotaciones O(3) y SO(3) se define el grupo ortogonal en tres dimensiones O(3) como aquel que deja invariante la distancia al origen.\n\nx1² + x2² + x3² → invariante\n\nLos elementos de O(3) son matrices 3x3(O), que rotan x en x'.\n\nx' = O x, x' = x^T x O^T\n\nInvarianza de la distancia al origen significa que x^T x' = x^T x, o x' = x.\n\nEsto es,\n\n(O x)ᵀ (O x) = xᵀ x\nxᵀ(Oᵀ O) x = xᵀ x = (Oᵀ O) = 1 ⇒ Oᵀ = O⁻¹\n\nEntonces, los elementos de O(3) son matrices ortogonales 3x3. Observe que la relación de ortogonalidad implica que Det(O) = ±1. Entonces, el grupo O(3) se divide en dos subconjuntos:\n\nSO(3), cuyos elementos tienen Det = +1. Es un subgrupo de O(3).\n\nO(3) → elementos con Det = -1, no forman un grupo. Las observables asociadas al grupo SO(3) son las componentes del momento angular orbital:\n\nL = ℓ x p = Є_ijk x_j p_k\n\nL₁ → genera rotaciones en el plano x₂x₃\nL₂ → genera rotaciones en el plano x₁x₃\nL₃ → genera rotaciones en el plano x₁x₂\n\nSi L es constante de movimiento, entonces el sistema, caracterizado por la lagrangiana y hamiltoniana, es invariante bajo rotaciones.\n\nLas componentes de L satisface un álgebra, llamada álgebra de Lie, la cual es heredada a los generadores de las tres rotaciones independientes: O(ℓ₁), O(ℓ₂), O(ℓ₃). Se determina la estructura de esta álgebra o estructura del grupo SO(3).\n\nConsidere el progreso de Lie son dos componentes arbitrarias de L:\n\n[Lᵢ, Lⱼ] = Є_ijk L_k, Є_ijk x_j p_k\n\n= Є_ikl Є_jmn x_j p_l, x_m p_n\n\n= Є_ikl Є_jmn / x_k p_l, x_m p_n {\n\n= Є_ikl Є_jmn (∂(x_k p_l)/∂ x_r)(∂(x_m p_n)/∂ p_r)\n\n= Є_ikl Є_jmn (p_l x_m - x_k p_m)\n\n= Є_ikl (p_l x_m - x_i x_j)\n\n= -Є_ij Є_kmn {\n\n= x_i p_j - x_j p_i. H\nEsto es,\n{L2, L3} = X1B1 - X2P2.\nSi i=1 y j=2 => {L1, L2} = X1P2 - X2P1 = L3.\nEn realidad,\n{L2, L3} = εijkLk\n→ Álgebra de Lie de so(3)\n\nUsando el mismo método que en el caso de so(2),\npodemos encontrar que:\n\nL1 → O(θ1) = ( \n 1 0 0 \n 0 cos(θ1) -sin(θ1) \n 0 sin(θ1) cos(θ1) \n)\n\nL2 → O(θ2) = ( \n cos(θ2) 0 sin(θ2) \n 0 1 0 \n -sin(θ2) 0 cos(θ2) \n)\n\nL3 → O(θ3) = ( \n cos(θ3) -sin(θ3) 0 \n sin(θ3) cos(θ3) 0 \n 0 0 1 \n) Como un ejemplo, considere la rotación generada por L1,\nse tiene L1 = X2P3 - X3P2, así que esta observación\ngeneraliza desplazamientos del punto del espacio pase co-\ndxA\ndθ1 = {X1, L1} ⇒ dx1\ndθ1 = {X1, L3}, dP1\ndθ1 = {P2, L1}.\n\nSus desarrolldos de Taylor son:\nX'1 = X1 + θ1X2L1 + ...\n = X1 + θ1( X2 +.... | {X2 = X1(0)}\nP'1 = P1 + θ1P2L1 + ...\n = P1 + θ1P2(0)\n\nAhora,\nX'2 = X2 + θ1(-X3) + θ1^2/2! {−1}(X3, L1) + ...\n\n= X2 + θ1(-X3) + θ1^2/2! {L2,X1} + ... \n= X2(1 - θ1^2/2! + ...)- X3(θ1 - θ2^3/3! + ...)\n\n{ X1 \n X2 \n X3 } ⇒ { ( 1 0 0 \n 0 cos(θ1) -sin(θ1) \n 0 sin(θ1) cos(θ1) ) }\n = { (X1) \n X1(0)\n X2(0)\n X3(0) } Las matrices anteriores corresponden al punto de vista\nactivo. Las matrices que representan la rotación des-\nde el punto de vista de la rotación de coordenadas (punto\nde vista pasivo) se obtienen de las anteriores con el cam-\nbio Oe1 → Oi2 (i=1,2,3), es decir, son las matrices\ninversas, las cuales denotamos como O(θi):\n\nO(θ1) = ( \n 1 0 0 \n 0 cos(θ1) sin(θ1) \n 0 -sin(θ1) cos(θ1) \n)\n\nO(θ2) = ( \n cos(θ2) 0 -sin(θ2) \n 0 1 0 \n sin(θ2) 0 cos(θ2) \n)\n\nO(θ3) = ( \n cos(θ3) sin(θ3) 0 \n -sin(θ3) cos(θ3) 0 \n 0 0 1 \n) Los generadores están dados por\nTz = 1/i d(O(θi))\n\nd(θi)|θi=0,\n\nasí que\n\nT1 = 1/2\n(0 0 0)\n(0 0 0)\n(0 -1 0)\n= (0 0 0)\n(0 0 -1)\n= (0 2 0)\n\nT2 = 1/2\n(0 0 -1)\n(0 0 0)\n(1 0 0)\n= (0 0 2)\n\n= (0 0 0)\n(−2 0 0)\n(0 0 0)\n\nT3 = 1/2\n(0 -1 0)\n(0 0 0)\n(0 0 0)\n= (0 -2 0)\n\n(−i T3)\n(0 0 0)\n= (0 2 0)\n\n[ T1, T2 ] = T1 T2 - T2 T1\n\n= (0 -2 0)(0 0 0) - (0 0 0)(0 -2 0)\n\n= (-1 0 0) - (0 -1 0)\n= (0 0 0) - (0 0 0) = (0 0 0)\n= e²(i 0 0) = 2 i T3 Esto es,\n[T1, T2] = i T3\nEn general, se cumple que\n[Ti, Tj] = i zijk Tk\nAlgebra\nde Lie & so(3,\n\nVemos que el grupo su(2) satisface la misma\ngrafía de Lie de so(3), siendo, por tanto, iden-\nticos como grupos de Lie.\n\nEl conocimiento de los generadores Tz es su-\npliciente para construir cualesquiera elemento de so(3).\nPor ejemplo, considere una rotación infinitesimal\nen torno al eje x3.\n\n0(δθ3) = 11 + i T3 δθ3 → inrcidión en\nel entorno de la\nidentidad.\n\nDebido a la propiedad de conmutación del grupo,\nuna rotación finita por un ángulo θ3 debe estar\ndada por\n\n() (θ3) = O(δθ3) O(δθ2) ... = lim N→∞ [O(δθ2)] N\n\n= lim N→∞ [11 + iT3 θ2/N] N, θ2 = lim N→∞ θ3/N\n\n= e^(i² T3 θ3)\n\n= 1 + i (T3) θ3 + (i T3)² θ3²/z1 + (i T3)³ θ3³/z1² + (T3)³ θ3³/z1[+\n\npero\n\ni T3 =\n\n(0 1 0)\n(-1 0 0)\n(0 0 0)\n\n(i T3)³ = |(i T3)(i T3)² = -i (T3)\n\n(i T3)⁴ = −(i T3)²\n\n(i T3)⁵ = (i T3)³(i T3)² = −(i T3)(i T3)² = −(i T3)\n\n(i T3)⁶ = (i T3)³(i T3)³ = (i T3)² Athso, considera la siguiente matriz ortogonal\nO_p = \\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\\\\\ 0 & -1 & 0 \\\\\\ 0 & 0 & -1 \\end{pmatrix} = -1\n\nDet( O_p ) = -1\nEl efecto de esta transformación es:\n\nx' = O_p x\nX' = O_p X = -X\n\nEs, la operación de inversión espacial. A nivel cuántico se conoce como operación de paridad. Tiene implicaciones físicas muy importantes.\n\nLos elementos de O(3) tales que tienen Det -1 son de la forma\n\\begin{pmatrix} (O(\\theta) O_p ) \\end{pmatrix}\n\\downarrow\\downarrow\n\\text{e } SO(3)\n(O(\\theta) O_p \\in O(3) \\quad O_p \\in O(3) \\quad O_p \\in SO(3))