Matematica-enem-geometria-plana

PARTE I meSalva! meSalva! ENEM E VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I – Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato GEOMETRIA PLANA I – FIGURAS ELEMENTARES Nessa apostila faremos um estudo sobre o perímetro e as áreas das figuras geométricas planas, como quadrados, triângulos, losangos, círculos, etc. Como este é um campo bastante amplo, o estudo da geometria em duas dimensões foi dividido em três apostilas, para que possamos aprofundar nosso conhecimento e fazer relações entre essas formas. Por enquanto, divirta-se com os conceitos iniciais. Entendendo eles você verá que a geometria plana não é apenas um emaranhado de fórmulas, mas algo que intuitivamente você saberá podendo desenvolvê-la a partir do seu próprio conhecimento. PERÍMETRO DE FORMAS GEOMÉTRICAS PLANAS A placa abaixo contém um aviso que informa que naquele local é permitido o estacionamento de automóveis, desde que haja o pagamento de uma tarifa relacionada ao tempo de ocupação da vaga. Provavelmente você conhece esse sistema, chamado de Zona ou Área Azul Dependendo do município em que funciona, a Zona Azul tem como um dos objetivos permitir a ocupação de vagas de estacionamento nas áreas mais movimentadas da cidade por diversas pessoas, gerando maior rotatividade de veículos. Para a implementação desse sistema vários estudos são realizados, como uma pesquisa para saber em qual região as pessoas mais procuram estacionamento, qual a quantidade de veículos que circulam por lá, os horários de maior movimento, etc. A imagem abaixo mostra parte de um mapa de uma cidade. As linhas sinuosas presentes nas quadras Q1, Q2, Q3, Q4 e Q5 demarcam os locais em que se pretende implementar o estacionamento rotativo (Zona Azul) e os números indicam o comprimento das quadras em metros. Considerando que, em média, cada vaga de estacionamento tem 5,50 m de comprimento, quantas delas poderiam ser implementadas de acordo com o planejamento apresentado na figura? Um novo jeito de aprender. Só isso. | Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com meSalva! ENEM E VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I – Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato Vendo as quadras de cima, é possível perceber que cada uma delas tem uma forma geométrica. Uma das maneiras de saber a quantidade de vagas é calcular o perímetro das quadras, somar todos eles e dividir o resultado pelo tamanho médio das vagas. É bem simples! E fica ainda mais fácil se soubermos que o perímetro é apenas a soma de todos os lados da forma geométrica estudada e a figura fornece os comprimentos de cada um dos lados das quadras. Vamos iniciar as contas a cada quadra separadamente. Perímetro Q1: Perceba que a forma geométrica envolvida aqui é um retângulo de lados com tamanho de 250 m (os dois maiores) e 50 m (os dois menores). Por isso, esse perímetro será P = 250 + 50 + 250 + 50 = 600 m, ou seja, a soma de todos os lados. Mas atenção: Apenas um dos lados faz parte da Zona Azul, um dos lados de 250 m. Então, apesar de o perímetro da Q1 ser 600 m, o que nos interessa para fins de cálculo é só 250 m, ok? Um novo jeito de aprender. Só isso. | Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com MATEMÁTICA Geometria Plana I - Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato Perímetro Q1: Essa quadra é um triângulo retângulo (a seguir veremos com mais detalhes os tipos de triângulo e na apostila de Geometria Plana II). Perceba que o seu perímetro será P = 60 + 80 + 100 = 240 m. Perímetro Q2: Aqui temos uma forma chamada de trapézio. Por enquanto, basta sabermos que ela tem 4 lados e somarmos os valores fornecidos na figura para encontrar o perímetro, que será P = 90 + 90 + 80 + 10 = 270 m. Perímetro Q4: Essa quadra é um quadrado, já que os lados têm o mesmo comprimento. Assim, o perímetro dela será: P = 110 + 110 + 110 + 110 = 440 m. Perímetro Q5: Temos novamente um retângulo. O perímetro dessa quadra é: P = 200 + 50 + 200 + 50 = 500 m. Agora que já calculamos todos os perímetros, ou seja, a soma de todos os lados de cada uma das quadras, podemos somar todos e dividir pelo tamanho médio das vagas: Ptotal = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 Ptotal = 250 + 240 + 270 + 440 + 500 Ptotal = 1700 Lembrando que o tamanho médio das vagas é 5,5m: 1700/5,5 = 309,09 ≈ 309 vagas Ótimo! Sabemos agora que, nessa região, teremos por volta de 309 vagas para estacionamento rotativo já que não é possível ter 0,09 vagas, certo? É necessário um número inteiro de vagas e por isso realizamos a aproximação de 309 vagas. Podemos explorar um pouco mais essa questão, veja a seguir. Um novo jeito de aprender. Só jesus. É nosso. Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com MATEMÁTICA Geometria Plana I - Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato Exercício 1: (FVG) A quantidade de retângulos com lados de comprimento inteiro que é possível formar, tendo sempre um perímetro de 24 cm, é a) 6 retângulos b) 12 retângulos c) 36 retângulos d) Apenas um retângulo e) Um número infinito de retângulos Correta: A Exercício 2: Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é de 42 m, qual o comprimento do seu lado a) 10 m b) 7 m c) 6 m d) 8 m e) 9 m Correta: B ÁREA DE FORMAS GEOMÉTRICAS PLANAS Na seção anterior aprendemos a calcular quanto mede o contorno das formas geométricas planas para saber quantos veículos poderiam ser estacionados em uma determinada região. Mas e se quisermos saber qual é a área delimitada por essas quadras para a construção de imóveis com espaço para calçadas? Para cada forma geométrica há uma "fórmula" que permite saber qual é a área (simbolizada por A) delimitada por ela, mas é importante que você saiba que um desses encaixes é o mesmo: multiplicação da base (b) da forma pela altura (h, vem do inglês, height = altura). Além disso, a unidade de medida é sempre será uma unidade de comprimento ao quadrado (como km², m², cm² etc.), e tanto a base quanto a altura estão em uma dessas unidades.Vamos mostrar a seguir algumas das equações para o cálculo da área das formas geométricas mais comuns. Um novo jeito de aprender. Só jesus. É nosso. Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com MATEMÁTICA Geometria Plana I - Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato QUADRADO Essa forma é composta por 4 lados idênticos. Por isso a altura tem o mesmo tamanho da base e podemos escrever a equação para o cálculo da área das duas formas abaixo. A_quadrado = b.h A_quadrado = b² RETÂNGULO Também é um quadrilátero (possui quatro lados) e tem dois lados iguais maiores do que os outros dois lados iguais. A_retângulo = b.h Um novo jeito de aprender. Só jesus. É nosso. Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com me Salva! ENEM E VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I – Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato TRIÂNGULO Essa forma possui apenas 3 lados, mas eles podem formar figuras diferentes, como triângulo retângulo, triângulo equilátero ou triângulo qualquer. Por isso, é bastante comum que se “decore” três equações diferentes para calcular a área desses triângulos, mas você vai ver que só precisa saber uma. Triângulo retângulo: É caracterizado por ter um ângulo de 90°. Perceba que, se cortarmos um retângulo na diagonal, teremos dois triângulos retângulos, certo? Então, a área de um triângulo retângulo pode ser calculada a partir da área de um retângulo através da divisão por 2. hh Atriângulo = b.h Outra forma de fazer isso é utilizando o ângulo de 90° formado entre a base e a altura. No decorrer do nosso estudo da matemática você entenderá melhor o porquê do “sen”, mas por enquanto você precisará apenas aceitar algumas partes das equações que seguem. Veja: b h 2 .sen 90° sen 90° = 1 Atriângulo =Atriângulo = Atriângulo = b 2 · 1 .b h 2 .b h 2 Perceba que chegamos à mesma equação apresentada anteriormente, certo? mesalva.com Um novo jeito de aprender. Só isso. | Todos os direitos reservados © 2018. me Salva! ENEM E VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I – Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato Triângulo equilátero: Possui os três lados de mesmo tamanho e, portanto, seus ângulos internos também são iguais. Mais tarde você verá que a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é 180°. Isso significa que os ângulos internos de um triângulo equilátero serão sempre 60°. Assim, se não é fornecida a altura da forma, o cálculo da área desse triângulo é baseado no ângulo de 60°. Atriângulo = b.bsen 60° Atriângulo = b 2 sen 60° 2 Atriângulo = b2 2 Atriângulo = b 2 √3 3 Atriângulo = b 2 √3 b2√3 4 Se você tiver a informação da altura, é possível realizar o cálculo da área desse triângulo equilátero apenas dobrando a área do triângulo retângulo que ela forma com os outros dois lados. Um novo jeito de aprender. Só isso. | Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com me Salva! ENEM E VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I – Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato b h Triângulo qualquer: Esse triângulo tem lados e ângulos diferentes, mas o raciocínio para o cálculo de sua área é o mesmo de antes: utilizar o ângulo formado entre dois lados conhecidos. b.bsen b/2 Atriângulo = a.bc sen θ Caso o ângulo fosse formado pelos lados a e c a equação seria: Ou pelos lados b e c: Atriângulo = b. 2 sen θ Atriângulo = c b 2 sen θ Portanto, basta que você lembre essa última equação para calcular a área de qualquer triângulo! Não é ótimo? Losango: É também um quadrilátero bastante parecido com um quadrado esticado. Sempre tem uma diagonal maior do que a outra (se não tiver, é um quadrado!). Para saber a área dessa forma, basta multiplicar uma diagonal pela outra e dividir por 2. mesalva.com Um novo jeito de aprender. Só isso. | Todos os direitos reservados © 2018. meSalva! ENEM VESTIBULARES MATEMÁTICA Geometria Plana I - Figuras Elementares Tamara Salvatori, Arthur Lovato Alosango = \frac{D . d}{2} Paralelogramo: Outro quadrilátero parecido com um retângulo que está sendo "empurrado". Quadrados, retângulos e losangos também são paralelogramos, já que possuem laterais paralelas. Há duas formas de calcular a área dessa figura: uma é conhecendo a altura e a base; a outra é conhecendo dois lados e o ângulo formado entre eles. Aparalelogramo = b . h Aparalelogramo = a . b. sen θ Trapézio: Quadrilátero formado por duas "bases", uma maior do que a outra, unidas por duas laterais iguais ou não. Hexágono: É uma forma geométrica de seis lados que possui todos os lados e ângulos internos e externos iguais. Esse tipo de forma é chamado de polígono regular e nesse caso temos um polígono regular de 6 lados (o quadrado também é um polígono regular, mas de quatro lados). Perceba que podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros. Isso significa que, para calcular a área do hexágono, basta multiplicar a área do triângulo equilátero por 6, que é o número de triângulos que o compõem. Note que a altura do triângulo é chamada de apótema do hexágono e que o lado, que é igual à base (já que temos um triângulo equilátero), é chamado de raio. Note que o raio é maior do que a altura (apótema). Essa nomenclatura será útil no futuro. Um novo jeito de aprender. Só no jeito. | Todos os direitos reservados © 2018. mesalva.com