Matemática

01 Lívia quer pintar as quatro paredes do seu quarto de modo que paredes adjacentes tenham cores distintas e que sua parede preferida fique de cor preta Quantas opções de cores lhe são oferecidas De quantas maneiras diferentes pode pintar seu quarto A 24 maneiras B 48 maneiras C 60 maneiras D X 120 maneiras 02 Um restaurante oferece 3 opções de carne e 6 de saladas no prato feito PF Um cliente só pode escolher um tipo de carne e uma salada Quantas maneiras distintas um cliente pode montar sua refeição sabendo que ele colocar uma carne e uma salada A 2 maneiras B 8 maneiras C 10 maneiras D X 15 maneiras 3 Renata vai colorir uma senha de 4 dígitos distintos no celular ou seja sem dígitos repetidos Ela quer utilizar os algarismos 6 7 8 9 Quantas senhas diferentes Renata pode criar D X 24 4 Desculpe na sinal para os usuários de um sistema composto por três letras escolhidas entre as cinco letras A C D E e G ter uma senha formada por três letras em que as letras puder haver repetição mas se os algarismos forem todos distintos o número total de senhas possíveis é 1500 5 Com os algarismos 0 1 2 3 4 e 5 quantos são múltiplos de 5 compostos de 3 algarismos que podemos formar a 36 b 40 c 72 d 90 6 Quantos números de 7 dígitos maiores que 6000000 podem ser formados com os algarismos 0 1 3 4 6 7 e 9 sem repetição a 1800 b 7200 c 5400 d 2160 7 A quantidade de números inteiros positivos e ímpares formados por três algarismos distintos escolhidos dentre os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 é igual a 5 8 OBMEP Fábio tem cinco camisas uma preta de mangas curtas uma preta de mangas compridas uma azul uma cinza clara e uma branca Ele tem uma calça azul e um tênis vermelho De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores distintas por três algarismos distintos escolhidos 9 Até o ano de 1991 as placas dos carros no Brasil eram formadas por duas letras e quatro números Com o aumento da quantidade de carros começaram a faltar placas disponíveis para os veículos novos Sendo necessário mudar o sistema de placas começaram a ser colocadas três letras para os veículos novos a Considerando 26 letras as mesmas letras e os quatro algarismos Quantos veículos podem ser empregados b Depois da mudança do sistema 10 Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais e 3 algarismos distintos a 120 b 8000 c 25000 d 32000 e 120000 Resolução Exercício 1 Problema Lívia quer pintar as quatro paredes de seu quarto de modo que paredes adjacentes tenham cores distintas e ainda não sejam repetidas as cores Ela dispõe de cinco tipos de cores e considera que todas as paredes são diferentes Resolução As paredes são diferentes e adjacentes então como são 4 paredes e 5 cores disponíveis queremos contar o número de formas de pintar as 4 paredes usando 4 cores diferentes e ainda garantindo que duas paredes vizinhas não tenham a mesma cor Como nenhuma cor pode se repetir e todas são diferentes entre si isso equivale a contar todas as permutações possíveis de 4 cores escolhidas das 5 disponíveis Para a primeira parede 5 opções Para a segunda adjacente à primeira 4 opções não pode ser igual à anterior Para a terceira adjacente à segunda 3 opções sem repetir cor anterior Para a quarta adjacente à terceira e à primeira só pode ser diferente da terceira e da primeira restam 2 opções 5 4 3 2 120 maneiras Resposta D 120 maneiras Exercício 2 Problema Um restaurante oferece 3 opções de carne e 5 de saladas no prato feito PF Um cliente só pode escolher um tipo de carne e um tipo de salada De quantas maneiras distintas pode montar sua refeição Resolução Pelo princípio multiplicativo se há 3 opções de carne e 5 de salada 3 5 15 Resposta D 15 maneiras 1 Exercício 3 Problema Renata vai criar uma senha de 4 dígitos distintos usando 6 7 8 e 9 Quantas senhas diferentes são possíveis Resolução Como todos os dígitos são diferentes e devem ser usados 4 4 3 2 1 24 Resposta 24 senhas diferentes Exercício 4 Problema Criar senhas com 3 letras AE com repetição permitida seguidas de 4 algarismos distintos escolhidos entre 0 2 4 6 e 8 Resolução Parte das letras como pode repetir temos 5 5 5 53 125 Parte dos números sem repetição entre os 5 pares 5 4 3 2 120 125 120 15000 Resposta 15000 senhas possíveis Exercício 5 Problema Quantos múltiplos de 5 com 3 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 0 1 2 3 4 e 5 Resolução Um número é múltiplo de 5 quando termina em 0 ou 5 Caso 1 termina em 0 Última posição 0 1 opção Primeira posição 1 a 5 exceto 0 5 opções Segunda posição entre os dígitos restantes exceto o da 1ª e 3ª posição 4 opções 2 5 4 20 Caso 2 termina em 5 Última posição 5 1 opção Primeira posição 1 a 4 exceto 0 e 5 4 opções Segunda posição 0 a 4 sem repetir 4 opções 4 4 16 Total 20 16 36 Resposta b 36 Exercício 6 Problema Quantos números de 7 dígitos maiores que 6000000 podem ser formados com os algarismos 0 1 3 4 6 7 e 9 sem repetição Resolução Como queremos números com 7 dígitos e sem repetir e que sejam maiores que 6000000 o primeiro dígito deve ser 6 7 ou 9 3 opções Depois disso restam 6 dígitos e usaremos todos 3 6 3 720 2160 Resposta e 2160 Exercício 7 Problema Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os dígitos de 0 a 9 Resolução Números ímpares terminam em 1 3 5 7 ou 9 5 opções Para cada escolha de final Primeiro dígito não pode ser zero nem igual ao último 8 opções Segundo dígito restante dos dígitos excluindo os dois já usados 8 opções 5 8 8 320 Resposta 320 números 3 Exercício 8 Problema Fábio tem 5 camisas 2 pretas 1 azul 1 cinza e 1 branca e 4 calças 1 preta 1 azul 1 verde 1 marrom De quantas maneiras pode se vestir com camisa e calça de cores distintas Resolução Total sem restrição 5 4 20 Casos a excluir camisa e calça da mesma cor Camisa preta 2 com calça preta 1 2 combinações Camisa azul 1 com calça azul 1 1 combinação Total a excluir 2 1 3 20 3 17 Resposta 17 maneiras Exercício 9 Problema Quantos veículos podem ser emplacados considerando a placas com 2 letras 4 números b placas com 3 letras 4 números Resolução a 262 104 676 10000 6760000 b 263 104 17576 10000 175760000 Respostas a 6760000 veículos b 175760000 veículos Exercício 10 Problema Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais A E I O U com repetição e 3 algarismos distintos Resolução Parte das vogais 5 5 25 com repetição Parte dos números sem repetição 10 9 8 720 25 720 18000 Resposta b 18000 4