Notas-eletricidade magnetismo-u3-parte 2

ENERGIA MAGNÉTICA A lei de indução de Faraday diz que Ɛ = -dΦ/dt mas ΦB = LI. Assim Ɛ = -L dI/dt a fem Ɛ induzida num circuito relaciona-se com a taxa de variação de corrente I que circula por ele, e essa relação envolve a auto-indutância L do circuito. O agente externo, por sua vez, precisa produzir uma fem Eext oposta a essa, para forçar a corrente I a circular pelo circuito, de modo que Eext = L dI/dt Essa fem está associada com o trabalho produzido pelo agente externo, já que a potência introduzida por ele no circuito pode ser obtida através da equação dWext/dt = Eext I ou dWext/dt = LIdI/dt => dWext = LIdI Como esse trabalho é feito para estabelecer as correntes e, consequentemente, os campos magnéticos, ele é armazenado na forma de energia magnética, de modo que dWext = dU, du = LIdI Se integrarmos essa expressão desde a situação inicial, em que não havia uma corrente circulando pelo circuito, até a situação final, na qual a corrente I foi estabelecida nele, teremos a energia potencial total armazenada no campo magnético do circuito, ou seja, ∫0Idu' = ∫0LIdI' U = LI^2/2 Podemos reescrever essa expressão de outra forma, em termos do campo magnético. O fluxo magnético Φ = ∫SB⋅ndA onde S é a área definida pelo circuito. Desde que ∇⋅B = 0, podemos reescrever o campo magnético como B = ∇×A onde A é o potencial vetor magnético. Assim Φ = ∫S(∇×A)⋅ndA Do teorema de Stokes ∫S(∇×A)⋅ndA = ∮CA⋅dℓ temos Φ = ∮CA⋅dℓ e assim, LI = ∮CA⋅dℓ Agora, multiplicamos essa expressão por I/2, i.e, (1/2)LI^2 = I/2∮CA⋅dℓ Logo U = (1/2)∮CA⋅(Idℓ) Se a corrente se distribuir sobre um volume e não sobre o contorno de um circuito, a integral acima deve ser adaptada para esse caso, isto é, Idℓ ⟷ jdv de modo que temos U = (1/2)∫VĀ⋅jdv A densidade de corrente j pode ser escrita como ∇×H = j Temos, então U = 1/2 ∫VĀ⋅(∇×H)dv mas ∇⋅(Ā×b) = (∇×Ā)⋅b - Ā⋅(∇×b) Fazendo Ā= A e b = H e rearranjando os termos Ā⋅(∇×H) = (∇×Ā)⋅H - ∇⋅(Ā×H) Utilizando novamente B = ∇×Ā, ficamos com U = 1/2∫VB⋅Hdv - 1/2∫V∇⋅(Ā×H)dv Do teorema do divergente, a segunda integral pode ser reescrita como U = 1/2∫VB⋅Hdv - 1/2∮S(Ā×H)⋅ndA O volume no qual são feitas as integrações deve ser grande o suficiente para conter toda a distribuição de correntes j. Pode ser inclusive tomado como infinito, de modo que a grandeza Ā×H sobre uma superfície se anule. Assim, a integral de superfície vai a zero e resta a integral de volume efetuada sobre todo o espaço, isto é, U = 1/2∫VB⋅Hdv que fornece a energia potencial magnética armazenada no campo magnético B . Definindo a densidade volumétrica de energia magnética u = 1/2B⋅H Assim U = ∫vudv Para materiais magnéticos lineares, B = μH, então u = 1/(2μ)B⋅B ou u = B^2/(2μ) Se tivermos ao mesmo tempo, numa região do espaço um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de de energia eletromagnética total do campo é u = ue+um = E2 + B2 2 2μ Ex 4. Certa região do espaço tem um campo magnético uniforme de 0,0200T e um campo elétrico uniforme de 2,50 .10^6 N/C. Determine: (a) a densidade de energia eletromagnética total na região e (b) a energia em uma caixa cúbica de lado L=0,120m a) ue= 1 εo E2 = 1 (8,85 .10^-12 C/N.m2 ) (2,50 .10^6 N/C)2 2 2 ue = 27,7 J/m3 um = B2 = (0,0200T)2 = 159 J/m3 2μo 2 (4π.10^-7 N/A2 ) u = ue+um = 27,7 J/m3 + 159 J/m3 = 187 J/m3 b) U = uV = (187 J/m3 )(0,120 m)3 = 0,323 J Ex5 - Um cabo coaxial muito longo é formado por dois cilindros circulares coaxiais de raios R1 e R2 , sendo R1<R2. La) Determine, para essa configuração, a energia magnética armazenada quando o circuito é percorrido por uma corrente I, (b) a auto-indutância do cabo coaxial e também sua auto-indutância por unidade de comprimento L e c) obtenha o produto entre L c capacitancia por unidade de comprimento e do cabo coaxial. a) Na região entre os dois cilindros, o campo magnético é dado pela expressão. B = μo I 2πρ e H = B = I μo 2πρ Então u = 1 B . H = 1 ( μo I )( I ) = μo I2 2 2 2πρ 2πρ 8π2 ρ2 -10-