Processos Estocásticos - Definição, Exemplos e Diagrama de Transição

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES Pesquisa Operacional II 2 Processo Estocástico Um processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias indexadasxtonde t é índice geralmente o tempo Assim um processo estocástico é a descrição de um fenômeno aleatório que varia com o tempo t exemplo X 0 se a condição for ruim 1 se a condição for razoável 2 se a condição for boa t12 No exemplo x é uma variável aleatória discreta pois possui um número finito de estados 0 1 ou 2 e representa a condição de uma máquina na ocasião de uma manutenção preventiva a qual é realizada mensalmente O mês é representado pela letra t t1 representa mês 1 t2 o mês 2 e etc 3 Processo Estocástico Logo a cada mês t a condição da máquina pode ser ruimx0 razoávelx1 e boax2 Além disso temos que x1 é uma variável aleatória que expressa a condição da máquina no mês 1 x2 é uma variável aleatória que expressa a condição da máquina no mês 2 e assim por diante Portanto cada mês possui uma variável aleatória X1X2X3 que é o mesmo que escrever na forma Xt para t 12 a qual definimos como processo estocástico Ou seja temos um processo estocástico quando a nossa variável aleatória puder assumir valores diferentes em cada instante do tempo que nesse caso é o mês de maneira mais formal um processo estocástico é um conjunto de variáveis aleatórias xt onde t é um índice geralmente o tempo 4 Processo Estocástico Um processo estocástico x1x2x3 pode representar ainda a coleção das quantidades de carros que passam por um determinado ponto de uma rodovia a evolução dos níveis de estoque semanais de uma firma o comportamento de uma partícula de gás variações nas qualidades dos produtos evolução do desemprego num determinado pais etc 5 Processo Estocástico Diagrama de transição de estados Uma forma de representar um processo estocástico é através de grafos o qual identifica os estados da variável aleatória e suas probabilidades de transição como mostrado a seguir 6 Processo Estocástico Diagrama de transição de estados Nesse caso temos 3 estados 0 1 e 2 As setas indicam as probabilidades de transição de estado Por exemplo a seta marcada abaixo demostra que a probabilidade de a variável aleatória mudar do estado 0 para o estado 1 é de ½ ou 05 ou 50 No caso de grafos é mais comum numerarmos os estados começando do 1 não do 0 com fizemos então o grafo foi modificado para o grafo a seguir 7 Processo Estocástico Diagrama de transição de estados Considere agora pij a probabilidade de transição do estado i para o estado j Portanto p11 0 pois não existe transição do estado 1q para o estado 1 p12 ½ que é a probabilidade de transição do estado 1 para o 2 e assim por diante até p330 Uma forma de simplificar a visualização desses valores é através de uma matriz da seguinte forma Substituindo os valores obtidos anteriormente nessa matriz chegamos em 8 Processo Estocástico Diagrama de transição de estados Essa matriz acima é conhecida como Matriz de transição de estados ela é uma matriz quadrada cujo número de linhas e colunas é igual ao número de estados no nosso caso são 3 Repare que a soma de todos os elementos se cada linha sempre é 1100 Isso ocorre pois cada linha representa todas as probabilidades de transições daquele estado 9 Processo Estocástico Diagrama de transição de estados Exemplo Uma seguradora oferece 3 tipos de seguros No primeiro momento de vendas são 50 escolhem o seguro A 30 o seguro B e 20 o seguro C Das pessoas que escolhem a opção A 10 migram para B e 20 para C Das pessoas que escolhem a opção B 40 migram para A e 10 para C Das pessoas que escolhem a opção C 10 migram para A e 10 para B 10 Processo Estocástico Existem três marcas de detergentes designadas A B e C de grande consumo Um estudo de mercado revelou as seguintes percentagens de consumidores para cada uma das marcas tendo em atenção comportamento idêntico na semana anterior Consumidores Ao produto A 40 Ao produto B 35 Ao produto C 25 Consumidores que consomem um produto na semana tendo consumido outro na semana anterior Consomem A tendo consumido antes B 5 tendo consumido antes C 2 Consomem B tendo consumido antes A 15 tendo consumido antes C 3 Consomem C tendo consumido antes A 5 tendo consumido antes B 20