Prova Calculo 2

Faculdade de Tecnologia de São Bernardo do Campo Adib Moises Dib CURSO Tecnologia em Automação Industrial DISCIPLINA CÁLCULO II PROFESSOR A DELCINIO RICCI RM NOME CÓDIGO 104 SIGLA TURNO Manhã CICLO 2º DATA Junho 2025 AVALIAÇÃO OFICIAL 10 Valor das questões 1 35 2 35 3 330 M tem um custo de R 1800 e N tem um custo de R 2800 O pequeno empresário estima que se M for vendido a x reais e N a y reais aproximadamente 70 5 x 4 y são vendidos do componente M e 80 6 x 7 y são vendidos do componente N a cada dia Por quanto a que preço o empresário deve vender os componentes M e N para maximizar o lucro Nota Lucro total lucro com a venda de M lucro com a venda N 2 Dada a função f x y ln 3 x³ y² pedese 21 as derivadas parciais no ponto 2 1 22 o vetor gradiente da função f no ponto 21 lembrete não esquecer de colocar a fórmula 23 a derivada direcional da função f no pontos 21 e na direção de α 45 do sentido positivo do eixo x colocar a fórmula 3 Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções 31 f x y y²x 32 f x y 3 x³ y² 10 x y y ln 2 33 2 x y 5 x 4 y² Questão 1 Uma pequena indústria produz dois tipos de motores M e N com custos de produção de R 1800 e R 2800 respectivamente O empresário estima que as vendas diárias são dadas por Para M 70 5x 4y unidades Para N 80 6x 7y unidades onde x é o preço de venda de M e y é o preço de venda de N Primeiro de tudo vamos especificar o que é a função lucro total com cada motor Com efeito essa função L é dada por Lx y x 1870 5x 4y y 2880 6x 7y 70x 5x2 4xy 1260 90x 72y 6xy 7y2 168x 276y 2240 5x2 7y2 10xy 8x 204y 3500 Ou seja obtemos que a função lucro é Lx y 5x2 7y2 10xy 8x 204y 3500 1 Agora vamos ao cálculo das derivadas parciais com fins de obtermos os pontos críticos e depois os valores ótimos para obterse o desejado Para isso calculamos as derivadas parciais Para encontrar o máximo calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero Lx y x 10x 10y 8 0 2 Lx y y 14y 10x 204 0 3 Acima temos um sistema linear de duas variáveis x e y Então vamos resolver o sistema para tanto da equação 2 isolamos y 10x 10y 8 y x 08 4 Substituindo na equação 3 e obtemos 1 14 x 08 10 x 204 0 14 x 112 10 x 204 0 4 x 1928 0 x 19284 482 Substituindo x 482 na expressão para y y 482 08 490 5 Agora vamos verificar a existência dos valores de máximo Para isso façamos o uso do teste da derivada segunda Com efeito calculamos suas derivadas parciais que são relativamente simples de se obter Calculamos as derivadas ²Lxyx² 10 ²Lxyy² 14 ²Lxyxy ²Lxyyx 10 Logo a matriz Hessiana é H 10 1010 14 O determinante da matriz hessiana é D 10 14 10² 140 100 40 0 6 Como ²Lxyx² 10 0 e D 0 confirmamos que é um ponto de máximo Nesse sentido temos que a partir dos valores obtido para x e y segue que os preços que maximizam os lucro serão dados por Motor M R 4820 Motor N R 4900 O lucro máximo diário que é pedido pode ser calculado substituindo estes valores na função lucro L48 20 49 00 5 482² 7 490² 10 482 490 8 482 204 490 3500 R1322 20 e temos o valor desejado 2 Questão 2 Temos a Função f x y ln 3 x³ y² Vamos aos itens Item 21 Vamos obter as Derivadas Parciais no Ponto 2 1 Com efeito começamos simplificando a função f x y ln 3 x³ y² ¹² 12 ln 3 x³ y² Agora vamos calcular as Derivada parciais Em relação a variável x temos fₓ x y 12 13 x³ y² x 3 x³ y² 9 x² 2 3 x³ y² No ponto 2 1 fₓ 2 1 9 2² 2 3 2³ 1² 36 2 24 1 3650 1825 Agora vamos calcular as Derivada parciais Em relação a variável y temos fᵧ x y 12 13 x³ y² y 3 x³ y² 2 y 2 3 x³ y² y3 x³ y² No ponto 2 1 fᵧ 2 1 1 3 2³ 1² 125 Item 22 Agora vamos obter o Vetor Gradiente no Ponto 2 1 Com efeito o vetor gradiente de uma função f diferenciável é dado por f x y fₓ x y fᵧ x y Agora no ponto 2 1 f 2 1 1825 125 que é o resultado desejado Item 23 Agora vamos calcular a Derivada Direcional em 2 1 na Direção de α 45 Com efeito a derivada direcional de f no ponto a 2 1 na direção do vetor unitário u cos α sin α é dada 3 por Dufa fa u Para α 45 u cos 45 sin 45 22 22 que já é um vetor unitário Portanto podemos calcular a derivada direcional que nos dá Du f2 1 f2 1 u 1825 125 22 22 1825 22 125 22 19250 Questão 3 Item 31 Temos a função fx y y2x Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem isto é vamos calcular fx e fy Com efeito Derivada parcial em relação a x fx xy2x y2 xx1 y2 x2 y2x2 Derivada parcial em relação a y fy yy2x 1x yy2 1x 2y 2yx Item 32 Temos a função fx y 3x3y2 10xy y ln 2 Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem isto é vamos calcular fx e fy Com efeito Derivada parcial em relação a x fx x3x3y2 10xy y ln 2 3y2 xx3 10y xx xy ln 2 3y2 3x2 10y 1 0 9x2 y2 10y Derivada parcial em relação a y fy y3x3y2 10xy y ln 2 3x3 yy2 10x yy ln 2 yy 3x3 2y3 10x 1 ln 2 1 6x3 y3 10x ln 2 Item 33 Temos fx y 2xy 5x 4y2 Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem isto é vamos calcular fx e fy Em particular usaremos a regra da cadeia para derivar nesse caso com efeito temos Derivada parcial em relação a x Seja u 2xy 5x 4y então fx y u2 f x 2u u x 22xy 5x 4y 2y 5 Derivada parcial em relação a y f y 2u u y 22xy 5x 4y 2x 4 Portanto obtemos f x 22xy 5x 4y2y 5 f y 22xy 5x 4y2x 4 6