Prova Final de PréCálculo - Fundação Getulio Vargas - TDS Departamento de Tecnologia e Ciência de Dados - 13 de Junho de 2023

Fundação Getulio Vargas TDS Departamento de Tecnologia e Ciência de Dados Profª Larissa Marques Sartori Prova Final PréCálculo 13062023 Nome Turma INSTRUÇÕES Desliguem os telefones celulares Apenas calculadoras sem recurso gráfico são permitidas Resolva as questões na ordem Use caneta para indicar suas respostas Não faça qualquer pergunta ao professor Prova sem consulta a qualquer material Suas soluções devem mostrar o desenvolvimento completo Duração da prova 1h50 𝑦 𝑦0 𝑚𝑥 𝑥0 𝑦 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥𝑣 𝑏 2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 4𝑎 log𝑎𝑥𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 log𝑎 𝑥 𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 log𝑎𝑥𝑟 𝑟 log𝑎 𝑥 log𝑎𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑎 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑠𝑒 lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥𝑛 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑛 se 𝑛 ℕ Questão Nota 1 2 3 4 5 Questão 1 20 pts A função demanda de uma certa marca de chocolates é dada por 𝑝 001𝑥2 02𝑥 8 e a correspondente função de oferta é dada por 𝑝 001𝑥2 01𝑥 3 em que 𝑝 é expresso em dólares e 𝑥 em milhares de unidades Encontre a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado e faça o esboço de ambos os gráficos marcando os cruzamentos com os eixos e entre as funções Questão 2 20 pts O número de crocodilos de água salgada em uma certa área do norte da Austrália é dado por 𝑃𝑡 300𝑒0024𝑡 5𝑒0024𝑡 1 a 10 pts Quantos crocodilos há na população inicialmente e após 10 anos b 10 pts O que acontece com o número de crocodilos após muito tempo Justifique com limite Questão 3 15 pts A função de produção de um certo bem em relação à quantidade de matéria prima em quilogramas é dada por 𝑃𝑥 𝑥2 16 𝑥 4 Determine e interprete a produção quando se tem aproximadamente 4 quilogramas de matéria prima Questão 4 25 pts A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o tempo de espera para cirurgias O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever que em t meses o percentual de pacientes que podem ser operados sem entrar em lista de espera é ℎ𝑡 𝑡2 8𝑡 50 𝑠𝑒 0 𝑡 10 38𝑡 100 04𝑡 𝑠𝑒 𝑡 10 a 15 pts Estude a continuidade da função h b 10 pts Qual é o percentual que não poderá nunca ser atingido Questão 5 20 pts Descreva o domínio determine as assíntotas que houver e faça um esboço do gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 Questão 1 O ponto de equilíbrio é dado quando o valor da demanda e da oferta são iguais ou seja igualamos as duas funções 001x² 02x 8 001x² 01x 3 002x² 03x 5 0 2x² 30x 500 0 Resolução por Bhaskara x 30 30² 4 2 500 2 2 x 30 70 4 x1 25 x2 10 Como o valor negativo não faz sentido para o problema sabemos que a quantidade de equilíbrio vale 10 milhares de unidades Para alerta o valor substituimos x na equação da oferta p 001 10² 01 10 3 p 5 Gráfico px 001x² 02x 8 px 001x² 01x 3 RAÍZES PONTOS COMUNS x1 40 x1 25 x2 20 x2 10 PONTO DE INFLEXÃO PONTO DE INFLEXÃO x 10 y 9 x 5 y 275 y 20 15 10 5 0 5 10 15 20 40 30 20 10 0 10 20 30 x Questão 2 a Para determinar os crocodilos inicialmente atribuimos o valor de t 0 e substituimos na funcão dada P0 300 e⁰⁰²⁴0 5 e⁰⁰²⁴0 1 P0 300 1 5 1 1 P0 50 crocodilos Após 10 anos admitimos t 10 Desta forma P10 300 e⁰⁰²⁴10 5 e⁰⁰²⁴10 1 P10 300 0787 5 0787 1 P10 235988 3933 1 P10 47838 crocodilos Como não faz sentido o número decimal para este problema admitese como resposta o valor de 48 crocodilos b Para resolver tal problema calculamos o limite da função quando t tende ao infinito ou seja lim t 300 e⁰⁰²⁴t 5 e⁰⁰²⁴t 1 Como a exponencial é negativa quando tomamos t a volas tenderá a zero Assim lim 3000 0 0 t 50 1 1 Concluímos que o número de crocodilos será 0 depois de muito tempo Questão 3 A interpretação da função quando elo se aproxima ao 4 pode ser dado pelo limite quando x tende a 4 Desto forma lim x² 16 x4 x 4 lim x 4x 4 x4 x 4 lim x 4 8 x4 Assim apenas da função não está definida em 4 quando x tende a este valo a função se aproxima de 8 Questão 4 a Para estudar a continuidade da função precisamos verificar se ht está definda nos pontos de interesse se seu limite exato no ponto a é igual a função Ou seja ha está definda em a lim ht existe ta lim ht ha ta Em que a é o ponto de interesse Assim analisamos os pontos 0 e 10 h0 0² 80 50 50 lim t² 8t 50 0² 80 50 50 t0 ht é continua em 0 h10 10² 810 50 70 lim t² 8t 50 10² 810 50 70 t10 lim 38t 100 3810 100 70 t10 04t 0410 Os limites laterais em 10 existem e são iguais então o limite com t10 existe e é igual aos limites laterais Portanto ht é contínua em t10 b Para responder a esta pergunta tomamos limite de função com t tendendo ao infinito Lim 38t 100 1t t 04t 1t Lim 38 100t0 t 04 04 95 Com este resultado o maior percentual que será atingido será de 95 quando t se aproxima do infinito Logo nunca se atingirá este valor de 95